Przykłady grup

Jest to spis przykładowych grup w sensie matematycznym, pochodzących z różnych działów matematyki, zarówno elementarnej, jak i wyższej. Przykładów grup dostarczają między innymi teoria mnogości, arytmetyka, algebra i geometria – grupy są tworzone między innymi przez zbiory, liczby, funkcje, macierze i wektory. Poniższa lista ma kilkadziesiąt punktów, przy czym niektóre z nich opisują nieskończone zbiory grup.

Grupy z dodawaniem

Oś liczbowa – interpretacja geometryczna zbioru liczb rzeczywistych

Wektory na płaszczyźnie mogą być dodawane i odejmowane, a przez własności tych działań tworzą grupę addytywną

W tych grupach działaniem jest dodawanie. Takie grupy bywają zaliczane do addytywnych, ale nie zawsze, ponieważ ten termin ma też inne znaczenia, opisane w odpowiednim artykule.

Dodawanie liczb

• Liczby całkowite $\mathbb{Z};$
  • liczby parzyste lub dowolny zbiór wielokrotności ustalonej liczby całkowitejSzablon:Odn $n\mathbb{Z},n\in \mathbb{Z};$
  • w szczególności zero z dodawaniem to przykład grupy trywialnej;
• liczby wymierneSzablon:Odn $\mathbb{Q};$
• liczby rzeczywisteSzablon:Odn $ℝ;$
  • liczby rzeczywiste postaci $a+b\sqrt{2}$, gdzie liczby $a,b$ są wymierneSzablon:Odn: $a,b\in \mathbb{Q};$
• liczby zespoloneSzablon:Odn $ℂ;$
• liczby całkowite modulo dowolna liczba całkowita dodatniaSzablon:Odn ${\mathbb{Z}}_n,n\in {\mathbb{Z}}_{+};$
• liczby rzeczywiste modulo 1 $(ℝ/(1))$ – przedział $[0;1)$ z działaniemSzablon:Odn:

$a\oplus b=\{\begin{array}{cc}a+b& \text{dla }a+b<1\\ a+b-1& \text{dla }a+b⩾1;\end{array}$

• analogiczny zbiór liczb rzeczywistych modulo dowolna liczba rzeczywista dodatniaSzablon:Odn: $ℝ/(d),d\in {ℝ}_{+};$
  • analogiczny zbiór liczb wymiernych modulo dowolna liczba wymierna dodatniaSzablon:Odn: $\mathbb{Q}/(d),d\in {\mathbb{Q}}_{+}.$

Dodawanie innych obiektów

• Potęgi kartezjańskie powyższych zbiorów – zbiory krotek złożonych z ich elementów, np. ${\mathbb{Z}}^n=\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\times ...\times \mathbb{Z},{\mathbb{Q}}^n,{ℝ}^n,{ℂ}^n$ itd., z dodawaniem odpowiednich elementówSzablon:Odn:

$(a_i{)}_{i=1}^n+(b_i{)}_{i=1}^n=(a_i+b_i{)}_{i=1}^n.$

Niektóre z nich są nazywane przestrzeniami współrzędnych, a ${ℝ}^n$ – przestrzeniami kartezjańskimi;

• wektory na prostej, płaszczyźnie lub w dowolnej innej przestrzeni euklidesowejSzablon:Odn;
• zbiory wielomianów o współczynnikach z powyższych grup: $\mathbb{Z}[X],\mathbb{Q}[X],ℝ[X],ℂ[X]$ itp.Szablon:Odn

Grupy z mnożeniem liczb

Okrąg jednostkowy na diagramie Arganda – płaszczyźnie zespolonej z kartezjańskim układem współrzędnych

W poniższych grupach działaniem jest mnożenie liczb:

• niezerowe liczby wymierneSzablon:Odn ${\mathbb{Q}}_{\ne 0};$
  • jedynka i minus jedynkaSzablon:Odn $\{1,-1\};$
  • dodatnie liczby wymierneSzablon:Odn ${\mathbb{Q}}_{+};$
  • jedynka z mnożeniem to inny przykład grupy trywialnej;
• niezerowe liczby rzeczywisteSzablon:Odn ${ℝ}_{\ne 0};$
  • dodatnie liczby rzeczywisteSzablon:Odn ${ℝ}_{+};$
  • liczby rzeczywiste postaci $a+b\sqrt{2}$, gdzie liczby $a,b$ są wymierne i nie są jednocześnie zerowe: $a,b\in \mathbb{Q},(a,b)\ne (0,0)$Szablon:Odn;
• niezerowe liczby zespoloneSzablon:Odn ${ℂ}_{\ne 0};$
  • liczby zespolone o module jednostkowymSzablon:Odn – grupa okręgu ${ℂ}_1;$
  • pierwiastki algebraiczne ustalonego stopnia z jedynkiSzablon:Odn: ${𝔼}_n=\{z\in ℂ:z^n=1\}.$

Takie grupy bywają zaliczane do multiplikatywnych, ale nie zawsze, ponieważ ten termin ma też inne znaczenia, opisane w odpowiednim artykule.

Grupy przekształceń

Wykres przykładowej funkcji liniowej w kartezjańskim układzie współrzędnych

W ich przypadku działaniem jest złożenie funkcji. Elementy rozważanych grup to bijekcje i jednocześnie funkcje, dla których przeciwdziedzina pokrywa się dziedziną – działania jednoargumentowe: $f:X\to X.$

Funkcje rzeczywiste

• Rzeczywiste funkcje 1. stopniaSzablon:Odn:

$f(x)=ax+b,a\in {ℝ}_{\ne 0},b\in ℝ;$

• uogólnienie powyższych – rzeczywiste homografieSzablon:Odn:

$f(x)=\frac{ax+b}{cx+d},a,b,c,d\in ℝ,$$ad-bc\ne 0;$

• cztery przykłady takich homografii, konkretniej proporcjonalności – dwóch prostych i dwóch odwrotnychSzablon:Odn:

$id(x)=x,f(x)=-x,g(x)=\frac{1}{x},$

$h(x)=f\circ g(x)=g\circ f(x)=-\frac{1}{x};$

Tablica Cayleya tej grupySzablon:Odn:

$\circ$	$id$	$f$	$g$	$h$
$id$	$id$	$f$	$g$	$h$
$f$	$f$	$id$	$h$	$g$
$g$	$g$	$h$	$id$	$f$
$h$	$h$	$g$	$f$	$id$

• sześć przykładów rzeczywistych homografiiSzablon:Odn:

$id(x)=x,f(x)=1-x,g(x)=\frac{1}{x},$

$k(x)=f\circ g(x)=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x};$

$l(x)=g\circ f(x)=\frac{1}{1-x};$

$m(x)=g\circ k(x)=\frac{x}{x-1};$

• bijekcje zbioru liczb rzeczywistych w siebie, dla których $f(1)=1$, czyli jedynka jest punktem stałymSzablon:Odn; por. stabilizator;
• bijekcje zbioru liczb rzeczywistych w siebie, dla których $f(\mathbb{Q})=\mathbb{Q}$ – obrazem zbioru liczb wymiernych jest on samSzablon:Odn; por. zbiór niezmienniczy;
• bijekcje zbioru liczb rzeczywistych w siebie, które są rosnąceSzablon:Odn;
• bijekcje zbioru liczb rzeczywistych w siebie, które są ściśle monotoniczneSzablon:Odn.

Inne funkcje

Trójkąt równoboczny ma trzy osie symetrii i zachowuje ustawienie przy trzech obrotach wokół środka – o 120°, 240° i 360°. Dlatego mówi się, że jego grupa diedralna ma 6 elementów. Jest ona izomorficzna z trzecią grupą permutacji: $D_3\cong S_3.$

• Grupy bijekcji – zbiór wzajemnie jednoznacznych przekształceń zbioru w siebie, czasem też nazywany grupą symetrycznąSzablon:Odn $S_X,$ gdzie $X$ to dowolny zbiór;
  • grupy permutacji – bijekcji zbioru skończonego w siebieSzablon:Odn $S_n,n\in \mathbb{N};$
  • grupy alternujące – permutacji parzystych ustalonego zbioru $A_n,n\in \mathbb{N};$
  • funkcja tożsamościowa na dowolnym zbiorze $id(x)=x$ to inny przykład grupy trywialnej;
• grupa izometrii płaszczyzny euklidesowejSzablon:Odn: $I(E^2);$
  • grupy diedralne – wszystkich izometrii własnych wielokąta foremnegoSzablon:Odn: $D_n,n\in {\mathbb{N}}_{\ge 3};$
• pełne grupy liniowe – grupy wszystkich izomorfizmów liniowych ustalonej przestrzeni liniowej: $\text{GL}(n,K),$ gdzie $n\in \mathbb{N},$ a $K$ to dowolne ciało. Inne znaczenie terminu pełna grupa liniowa, związane z macierzami kwadratowymi, podano niżej.

Grupy z mnożeniem macierzy

Macierze kwadratowe:

• odwracalne (nieosobliwe) elementów ustalonego ciałaSzablon:Odn i ustalonego wymiaru – taka grupa to jedno ze znaczeń terminu pełna grupa liniowaSzablon:Odn: $\text{GL}(n,K).$ Inne znaczenie tej nazwy podano wyżej;
• postaciSzablon:Odn: $\left[\begin{array}{cc}1& a\\ 0& 1\end{array}\right],a\in ℝ;$
• postaciSzablon:Odn: $\left[\begin{array}{cc}(-1{)}^a& a\\ 0& (-1{)}^a\end{array}\right],a\in \mathbb{Z};$
• postaciSzablon:Odn: $\left[\begin{array}{ccc}1& 0& a\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right],a\in ℂ.$

Inne grupy

Diagram Venna dla $A\mathrm{\Delta }B$ – różnica symetryczna zbiorów jest oznaczona fioletowo

Grupy są też tworzone przez działania dwuargumentowe inne niż dodawanie, mnożenie liczb, złożenie funkcji czy mnożenie macierzy.

Grupy liczb

• Liczby całkowite $\mathbb{Z}$ z działaniemSzablon:Odn: $a\oplus b=(-1{)}^{a}a+(-1{)}^{b}b;$
• liczby wymierne bez jedynki ${\mathbb{Q}}_{\ne 1}$ z działaniem: $a*b=a+b-ab;$
• przedział otwarty $(1;+\mathrm{\infty })$ z działaniemSzablon:Odn: $a*b=ab-a-b+2.$

Grupy innych obiektów

• Podzbiory ustalonego zbioru – czyli zbiór potęgowy – z działaniem różnicy symetrycznejSzablon:OdnSzablon:Odn: $(𝒫(X),\mathrm{\Delta }),$ gdzie:
  • $X$ to dowolny zbiór;
  • $𝒫(X)$ – jego zbiór potęgowy;
  • $\mathrm{\Delta }$ to różnica symetryczna: $A\mathrm{\Delta }B=(A\cup B)\setminus (A\cap B).$
• Jeśli $(G,*)$ jest dowolną grupą, a $X$ – dowolnym zbiorem, to grupą jest też zbiór wszystkich funkcji na tym zbiorze i o wartościach w tej grupie, z odpowiednim działaniem na tych funkcjach:

$G^X:=\{f:X\to G\},$

$(f*g)(x):=f(x)*g(x);$

• Jeśli jednocześnie:
  • $(G_1,*)$ jest dowolną grupą;
  • $f:G_1\to G_2$ jest dowolną bijekcją na zbiorze $G_1;$
  • działanie dwuargumentowe $\odot :G_2^2\to G_2$ jest zdefiniowane wzorem

$a\odot b:=f(f^{-1}(a)*f^{-1}(b)),$

to $(G_2,\odot )$ jest grupąSzablon:Odn.

Zobacz też

• Grupa czwórkowa Kleina
• Grupa modularna
• Grupa obrotów
  • Grupa SO(2)
• Symetria unitarna
  • Specjalna grupa unitarna
  • Grupa SU(2)
• Grupa kwaternionów
• Grupa Galileusza
• Grupa Poincarégo
  • Grupa Lorentza
• Grupa Heisenberga
• Grupa Mathieu
• Grupa monstrum
• Grupa Prüfera

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę