Funkcja homograficzna

Wykres przykładowej funkcji homograficznej: y = 1/x. Dla każdego niezerowego x liczba y przedstawia jego odwrotność.

Funkcja homograficzna, homografia – różnie definiowany typ funkcji wymiernej:

• w sensie szerokim jest to każdy iloraz funkcji liniowych niebędący stałą:

$f(z)=\frac{az+b}{cz+d},$

gdzie współczynniki $a,b,c,d$ spełniają warunek $ad-bc\ne 0$;

• w sensie wąskim są to ilorazy funkcji liniowych niebędące funkcjami liniowymi – zdarza się dodatkowy warunek $c\ne 0$.

Powyższy wzór jest znany jako postać ogólna homografii, a oprócz niej istnieje także postać kanoniczna:

$f(z)=\frac{r}{z-p}+q,r\ne 0.$

Dziedziną homografii może być podzbiór:

• liczb rzeczywistych: $f:ℝ\mathrm{\setminus }\{-\frac{d}{c}\}\to ℝ,a,b,c,d\in ℝ;$
• liczb zespolonych: $f:ℂ\mathrm{\setminus }\{-\frac{d}{c}\}\to ℂ,a,b,c,d\in ℂ;$
• dowolnego ciała $K,$ gdzie $f:K\mathrm{\setminus }\{-\frac{d}{c}\}\to K,$ gdzie $a,b,c,d\in K.$

Dla ustalonej dziedziny zbiór wszystkich homografii rozumiany szeroko tworzy grupę przekształceń. W dziedzinie zespolonej homografie należą do przekształceń konforemnych.

Funkcji tego typu używa się m.in. w kartografii i fizyce, np. mechanice płynów.

Podstawowe własności

Dziedzina i zbiór wartości

Przypadek $c\ne 0.$

Funkcja homograficzna $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$

• jest określona dla $x\ne -\frac{d}{c},$ czyli poza miejscem zerowym mianownika, czyli dziedziną jest $K\setminus \{-\frac{d}{c}\},$
• nie przyjmuje wartości $\frac{a}{c},$ czyli zbiorem wartości jest $K\setminus \{\frac{a}{c}\},$ bo w przeciwnym razie spełniona byłaby równość

$\frac{ax+b}{cx+d}-\frac{a}{c}=\frac{bc-ad}{c(cx+d)}=0,$

która jest sprzeczna z tym, że $bc-ad\ne 0.$

Przypadek $c=0.$

Funkcja homograficzna $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$

• jest określona dla dowolnego $x\in K,$
• przyjmuje dowolne wartości ciała $K.$

Różnowartościowość homografii

Homografia jest funkcją różnowartościową niezależnie od ciała, w którym jest określona.

Istotnie, jeśli $f(x_1)=f(x_2),$ czyli

$\frac{a{x}_1+b}{c{x}_1+d}=\frac{a{x}_2+b}{c{x}_2+d},$

to

$(a{x}_1+b)(c{x}_2+d)=(a{x}_2+b)(c{x}_1+d).$

Po rozpisaniu obu stron, redukcji i zwinięciu wyrażenia dostajemy

$(ad-bc)(x_1-x_2)=0,$

a ponieważ $ad-bc\ne 0,$ więc

$x_1=x_2.$

Przedłużenie homografii

Jeśli powiększymy ciało $K$ o pewien element $\mathrm{\infty },$ nazywany punktem w nieskończoności, to na zbiorze $\hat{K}=K\cup \{\mathrm{\infty }\}$ można przedłużyć funkcję homograficzną $f$ następująco:

• dla $c=0f(\mathrm{\infty })=\mathrm{\infty },$
• dla $c\ne 0f(\mathrm{\infty })=\frac{a}{c},f(-\frac{d}{c})=\mathrm{\infty }.$

Ponieważ jednocześnie

• dla $c=0x\ne \mathrm{\infty }\Rightarrow f(x)\ne \mathrm{\infty },$
• dla $c\ne 0x\ne \mathrm{\infty }\Rightarrow f(x)\ne \frac{a}{c},x\ne -\frac{d}{c}\Rightarrow f(x)\ne \mathrm{\infty },$

to homografia $f:\hat{K}\to \hat{K}$ jest funkcją wzajemnie jednoznaczną.

Ciągłość homografii

Jeśli $K=ℝ$ lub $K=ℂ,$ to homografia jako funkcja wymierna jest funkcją ciągłą w swojej dziedzinie.

Po uzwarceniu ciała liczb rzeczywistych $ℝ$ lub ciała liczb zespolonych $ℂ$ punktem $\mathrm{\infty }$ i przedłużeniu homografii na zbiory odpowiednio $\widehat{ℝ}$ i $\widehat{ℂ},$ zachodzą następujące zależności:

• dla $c=0f(\mathrm{\infty })=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)$
• dla $c\ne 0f(\mathrm{\infty })=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x),f(-\frac{d}{c})=\underset{x\to -\frac{d}{c}}{\lim }f(x)$

co oznacza, że homografia przedłużona jest także ciągła.

Oczywiście $\widehat{ℝ}$ jest homeomorficzny z okręgiem, $\widehat{ℂ}$ ze sferą.

Grupowe własności funkcji homograficznych

Zbiór wszystkich funkcji homograficznych określonych w danym ciele (włączając przypadek $c=0$) tworzy grupę ze względu na składanie.

Rzeczywiście, jeśli

$g(x)=\frac{a_{1}x+b_1}{c_{1}x+d_1},f(x)=\frac{ax+b}{cx+d},$

gdzie $a_1{d}_1-b_1{c}_1\ne 0,ad-bc\ne 0,$

to

$(g\circ f)(x)=g(f(x))=\frac{(a_{1}a+b_{1}c)x+a_{1}b+b_{1}d}{(c_{1}a+d_{1}c)x+c_{1}b+d_{1}d},$

gdzie $(a_{1}a+b_{1}c)(c_{1}b+d_{1}d)-(a_{1}b+b_{1}d)(c_{1}a+d_{1}c)=(a_1{d}_1-b_1{c}_1)(ad-bc)\ne 0.$

Czyli $g\circ f$ też jest homografią.

Homografia $f(x)=x$ jest jednością (elementem neutralnym) tej grupy.

Dla homografii $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ elementem odwrotnym jest homografia $f^{-1}(x)=\frac{dx-b}{-cx+a}.$

Oznaczmy przez $M_f=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ macierz złożoną ze współczynników homografii $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}.$

Zauważmy, że warunek dla współczynników $ad-bc\ne 0$ oznacza, iż $M_f$ jest macierzą nieosobliwą.

Zauważmy też, że współczynniki złożenia $g\circ f$ są elementami iloczynu macierzy $M_g\cdot M_f.$

Można to symbolicznie zapisać

$M_{g\circ f}=M_g\cdot M_f.$

Oznacza to, że grupę homografii nad pewnym ciałem można zanurzyć w grupie nieosobliwych macierzy $2\times 2$ nad tym samym ciałem.

Możliwość skracania/rozszerzania ułamka definiującego homografię utrudnia ustalenie izomorfizmu – jednej homografii odpowiada cała klasa macierzy „proporcjonalnych” do siebie. Dla niektórych ciał znalezienie izomorfizmu jest jednak dość proste – dla ciała R wystarczy ograniczyć się do grupy macierzy o wyznaczniku równym 1 lub −1, natomiast dla ciała C wystarczy grupa macierzy o wyznaczniku 1.

Rozkład homografii

Dla homografii, dla której $c\ne 0$ dostajemy

$f(z)=\frac{az+b}{cz+d}=\frac{bc-ad}{c}\cdot \frac{1}{z+\frac{d}{c}}+\frac{a}{c}.$

Jest więc ona złożeniem kolejno poniższych funkcji:

1. translacji: $f_1(z)=z+\frac{d}{c},$
2. inwersji: $f_2(z)=\frac{1}{z},$
3. jednokładność: $f_3(z)=\frac{bc-ad}{c^2}\cdot z,$
4. translacja: $f_4(z)=z+\frac{a}{c}.$

Jeśli zaś $c=0,$ to natychmiast widać, że homografia jako przekształcenie liniowe jest złożeniem dwóch funkcji:

1. jednokładności: $f_1(z)=\frac{a}{d}\cdot z,$
2. translacji: $f_2(z)=z+\frac{b}{d}.$

W języku macierzowym oznacza to, że każda macierz $2\times 2$ może być przedstawiona jako iloczyn macierzy postaci

$\left(\begin{array}{cc}1& a\\ 0& 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right).$

Weźmy dwie dowolne homografie:

$f(x)=\frac{ax+b}{cx+d},g(x)=\frac{a^{\prime }x+b^{\prime }}{c^{\prime }x+d^{\prime }},$

gdzie $c,c^{\prime }\ne 0.$

Wówczas oznaczając $D=ad-bc,D^{\prime }=a^{\prime }{d}^{\prime }-b^{\prime }{c}^{\prime },$ dostaniemy:

$f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}=\frac{c{\text{'}}^{2}D}{c^2{D}^{\prime }}\cdot \frac{a^{\prime }(x+\frac{d}{c}-\frac{d^{\prime }}{c^{\prime }})+b^{\prime }}{c^{\prime }(x+\frac{d}{c}-\frac{d^{\prime }}{c^{\prime }})+d^{\prime }}-\frac{a^{\prime }{c}^{\prime }D}{c^2{D}^{\prime }}+\frac{a}{c}=\frac{c{\text{'}}^{2}D}{c^2{D}^{\prime }}\cdot g(x+\frac{d}{c}-\frac{d^{\prime }}{c^{\prime }})-\frac{a^{\prime }{c}^{\prime }D}{c^2{D}^{\prime }}+\frac{a}{c},$

czyli

$f(x)=(h_2\circ g\circ h_1)(x),$

gdzie h₂, h₁ są liniowymi funkcjami:

$h_2(x)=\frac{c{\text{'}}^{2}D}{c^2{D}^{\prime }}\cdot x-\frac{a^{\prime }{c}^{\prime }D}{c^2{D}^{\prime }}+\frac{a}{c},$

$h_1(x)=x+\frac{d}{c}-\frac{d^{\prime }}{c^{\prime }}.$

Jedną homografię można więc otrzymać z innej przemnażając (w sensie składania) lewostronnie i prawostronnie przez pewne funkcje liniowe. Przydaje się to przy budowaniu i analizowaniu wykresów.

Funkcja homograficzna jako przekształcenie rzutowe prostej

Dowolne niezdegenerowane przekształcenie liniowe przestrzeni 2-wymiarowej nad dowolnym ciałem ma postać:

$y_1=a{x}_1+b{x}_2,$

$y_2=c{x}_1+d{x}_2,$

gdzie $ad-bd\ne 0$ oraz $x_i,y_i$ są współrzędnymi odpowiednich wektorów w ustalonej bazie.

Istnieje odpowiedniość wzajemnie jednoznaczna między zbiorem podprzestrzeni 1-wymiarowych w 2-wymiarowej przestrzeni liniowej a zbiorem punktów na prostej rzutowej (tak buduje się jeden z modeli dla geometrii rzutowej). Stąd wystarczy potraktować współrzędne wektorów w jakiejkolwiek bazie jako zapis współrzędnych punktów rzutowych w układzie współrzędnych jednorodnych.

Ponieważ

$\frac{y_1}{y_2}=\frac{a{x}_1+b{x}_2}{c{x}_1+d{x}_2}=\frac{a\frac{x_1}{x_2}+b}{c\frac{x_1}{x_2}+d},$

więc przechodząc od współrzędnych jednorodnych do zwykłych (tj. rzutowych) $x:=\frac{x_1}{x_2},y:=\frac{y_1}{y_2}$ dostaniemy:

$y=\frac{ax+b}{cx+d}.$

Czyli dostaniemy funkcję homograficzną w pewnym układzie współrzędnych rzutowych. Oznacza to, że homografia jest analityczną postacią przekształcenia rzutowego prostej rzutowej na siebie. Zauważmy jeszcze, że jeśli w tym układzie współrzędnych przyjmiemy $c=0,$ to wyróżnimy grupę przekształceń afinicznych prostej rzutowej na siebie. Nie możemy jednak wyróżnić podobieństw i izometrii nie mając określonego iloczynu skalarnego.

Homografia jako funkcja zmiennej rzeczywistej

Rozważając homografie jako funkcje zmiennej rzeczywistej wymagamy, aby współczynniki $a,b,c,d$ były liczbami rzeczywistymi.

Wykres

Rysunek pokazuje wykres typowej homografii. Szare linie symbolizują asymptoty wykresu.

Wykres funkcji homograficznej jest przesunięciem równoległym pewnej hiperboli; posiada on dwie asymptoty:

pionową $x=\frac{-d}{c}$  i   poziomą $y=\frac{a}{c}.$

Punkt $S=(\frac{-d}{c};\frac{a}{c})$ to środek symetrii tego wykresu. Funkcja homograficzna jest monotoniczna na każdym z przedziałów $(-\mathrm{\infty },-\frac{d}{c})$ oraz $(-\frac{d}{c},\mathrm{\infty }).$ Jest ona

• przedziałami malejąca gdy $ad-bc<0$ oraz
• przedziałami rosnąca $ad-bc>0.$

Przesunięcie wykresu hiperboli

Wykażmy, że wykres funkcji homograficznej $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d},$ gdzie $c\ne 0$ oraz $ad-bc\ne 0$ powstaje w wyniku przesunięcia równoległego wykresu pewnej hiperboli o pewien wektor. Zauważmy w tym celu, że dla wszystkich $x$ mamy

$\frac{ax+b}{cx+d}=\frac{a}{c}-\frac{ad-bc}{c^{2}x+cd}=\frac{bc-ad}{c^2(x+\frac{d}{c})}+\frac{a}{c}.$

Zatem wykres funkcji $f$ powstaje w wyniku translacji hiperboli o równaniu

$y=\frac{bc-ad}{c^{2}x}$

o wektor $\overrightarrow{u}=[-\frac{d}{c},\frac{a}{c}].$

Homografia jako funkcja zmiennej zespolonej

Homografia określona w ciele liczb zespolonych C jest funkcją holomorficzną.

Użycie ciała C do wprowadzenia układu współrzędnych na płaszczyźnie (w uproszczeniu: $C\equiv R^2$) dostarcza nowych faktów geometrycznych – homografia okazuje się być wówczas odwzorowaniem konforemnym, czyli równokątnym odwzorowaniem płaszczyzny na siebie (dotyczy to zresztą wszystkich funkcji holomorficznych w punktach, w których pochodna nie zeruje się).

Homografia wyróżnia się jeszcze jedną ciekawą własnością geometryczną – jest funkcją $C\cup \{\mathrm{\infty }\}\to C\cup \{\mathrm{\infty }\}$ zachowującą okręgi, tzn. obrazem okręgu jest okrąg (za okręgi uznajemy także proste). W szczególności taką własność ma inwersja zespolona $f(z)=\frac{1}{z}.$ Geometrycznie zdefiniowaną inwersję otrzymujemy składając inwersję zespoloną ze sprzężeniem, czyli stosując funkcję $f(z)=\frac{1}{\overline{z}}.$

Homografia określona w ciele C nazywana jest także odwzorowaniem MöbiusaSzablon:Fakt.

Przykłady i zastosowania

• Suma nieskończonego szeregu geometrycznego jest homograficzną funkcją ilorazu ciągu.
• Ułamek łańcuchowy to złożenie wielu, nawet nieskończenie wielu homografii.
• W optyce geometrycznej, zarówno katoptryce, jak i dioptryce, używane jest równanie zwierciadła lub soczewki. Odległość przedmiotu, odległość obrazu oraz ogniskowa są funkcjami homograficznymi siebie nawzajem.
• Efekt Dopplera, m.in. w optyce falowej i akustyce: przy ruchu źródła fali względem ośrodka zmiana długości fali oraz odbieranej częstotliwości jest homograficzną funkcją prędkości źródła.
• W szczególnej teorii względności Einsteina używany jest inny wzór na składanie prędkości niż w mechanice klasycznej. Prędkość w jednym układzie inercjalnym jest homograficzną funkcją prędkości w innym układzie.

Zobacz też

• Grupa modularna

Linki zewnętrzne

• Szablon:Cytuj stronę – animacja pokazująca przekształcenie Möbiusa generowane przez funkcję homograficzną w dziedzinie zespolonej