Izomorfizm

Szablon:Inne znaczenia Szablon:Grafika rozwinięta Szablon:Spis treści Izomorfizm (gr. isos – równy, morphe – kształt) – funkcja wzajemnie jednoznaczna (bijekcja) z jednego obiektu matematycznego w drugi, która zachowuje funkcje, relacje i wyróżnione elementy.

W przypadku obiektów algebry uniwersalnej (takich jak grupy, pierścienie, moduły itp.) izomorfizmem nazywamy wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie $f$ takie, że $f$ i jego odwrotność $f^{-1}$ są homomorfizmami.

O strukturach $𝒜$ i $ℬ$ powiemy, że są izomorficzne, jeżeli istnieje izomorfizm z $𝒜$ w $ℬ.$

Obiekty izomorficzne nie mogą być odróżnione tylko na podstawie własności użytych do zdefiniowania izomorfizmu i dlatego mogą być uważane za identyczne (różniące się w zasadzie tylko oznaczeniami) jeśli bierze się pod uwagę tylko te własności. W ten sposób w klasie wszystkich obiektów danego rodzaju wprowadzana jest relacja równoważności.

Przykłady

• Izomorfizm z grupy $(A,\circ )$ w grupę $(B,\bullet )$ to bijekcja $f:A\to B$ zachowująca działanie grupowe, czyli taka, że ${\mathrm{\forall }}_{a,b\in A}f(a\circ b)=f(a)\bullet f(b).$
• Izomorfizm z ciała $(K,\circ ,+)$ w ciało $(L,\bullet ,◊)$ to bijekcja $g:K\to L$ taka, że ${\mathrm{\forall }}_{a,b\in K}g(a\circ b)=g(a)\bullet g(b)\wedge g(a+b)=g(a)◊g(b).$
• Izomorfizm z częściowego porządku $(P,<)$ w częściowy porządek $(Q,◃)$ to funkcja wzajemnie jednoznaczna $h:P\to Q:{\mathrm{\forall }}_{a,b\in P}a<b⟺h(a)◃h(b).$

Teoria kategorii

Morfizm $f:X\to Y$ nazywa się izomorfizmem, jeżeli istnieje morfizm $g:Y\to X$ taki, że $f\circ g={\mathrm{id}}_Y$ oraz $g\circ f={\mathrm{id}}_X$.

Jeżeli morfizm posiada lewą i prawą odwrotność i są one równe, to $f$ jest izomorfizmem, zaś $g$ nazywane jest po prostu odwrotnością $f.$ Morfizm odwrotny do danego, jeżeli istnieje, jest dokładnie jeden. Odwrotność $g$ jest także izomorficzna z odwrotnością $f.$ O dwóch obiektach, między którymi istnieje izomorfizm, mówi się, iż są izomorficzne lub równoważne.

Własności

1. Każdy izomorfizm jest monomorfizmem i epimorfizmem.
2. Morfizmy identycznościowe są izomorfizmami.

Przykłady

• W Set izomorfizmami są bijekcje.
• W Grp izomorfizmami są izomorfizmy grup.
• W Vec_K izomorfizmami są bijektywne przekształcenia liniowe.
• W Top izomorfizmami są homeomorfizmy.
• W Met izomorfizmami są izometrie.
• W Pos izomorfizmami są izomorfizmy porządków.

Zobacz też

• morfizm
• algebra ogólna
• homomorfizm
• epimorfizm
• monomorfizm

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę

Literatura dodatkowa

Polskojęzyczna

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę

Anglojęzyczna

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Isomorphism Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].