Monomorfizm

Diagram przemienny monomorfizmu

Monomorfizm – w teorii kategorii morfizm $f:X\to Y$ mający lewostronną własność skracania w tym sensie, że dla wszystkich morfizmów $g_1,g_2:Z\to X$ zachodziSzablon:Odn:

$f\circ g_1=f\circ g_2\Rightarrow g_1=g_2.$

Wielu autorów książek o algebrze abstrakcyjnej i uniwersalnej definiuje monomorfizm jako homomorfizm różnowartościowy (iniektywny). Każdy monomorfizm w ten sposób zdefiniowany jest monomorfizmem w sensie teorii kategorii; mimo wszystko istnieją kategorie, w których się one nie pokrywają. Pojęciem dualnym do monomorfizmu jest epimorfizm.

Związek z odwracalnością

Przekształcenia lewostronnie odwracalne są monomorfizmami: jeśli $l$ jest lewostronną odwrotnością $f,$ tzn. $l\circ f={\mathrm{id}}_X,$ to $f$ jest monomorfizmem, gdyż

$f\circ g_1=f\circ g_2\Rightarrow lf{g}_1=lf{g}_2\Rightarrow g_1=g_2.$

Przekształcenia lewostronnie odwracalne nazywa się sekcjami albo koretrakcjami.

Przekształcenie $f:X\to Y$ jest monomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy przekształcenie indukowane $f_{*}:\mathrm{Hom}(Z,X)\to \mathrm{Hom}(Z,Y)$ zdefiniowane dla wszystkich morfizmów $h:Z\to X$ wzorem $f_{*}h=f\circ h$ jest różnowartościowe dla wszystkich $Z.$

Monomorfizm normalny

Monomorfizm jest normalny, jeśli jest jądrem jakiegoś morfizmu. Jeśli każdy monomorfizm pewnej kategorii jest normalny, to nazywamy ją kategorią normalnąSzablon:Odn.

W kategorii Gr każdy monomorfizm można utożsamić z włożeniem homomorficznym jednej grupy w drugą. Monomorfizm ten jest normalny, jeśli obraz grupy wkładanej jest dzielnikiem normalnym tej drugiej. Dlatego kategoria Gr nie jest normalna. Natomiast kategorie Ab i Vect są kategoriami normalnymi.

Zobacz też

• izomorfizm
• podobiekt
• zanurzenie

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę

Literatura dodatkowa

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj stronę