Kategoria (matematyka)

Kategoria – pojęcie wyodrębniające pewne algebraiczne własności rodzin morfizmów między obiektami matematycznymi tego samego typu, np. zbiorów, przestrzeni topologicznych, przestrzeni liniowych, grup itp. Zakłada się, że taka rodzina zawiera odwzorowanie tożsamościowe i jest zamknięta ze względu na wykonywanie superpozycji (iloczynu) odwzorowań. Teoria kategorii jest działem matematyki zapoczątkowanym w 1945 przez Eilenberga i Mac Lane’aSzablon:Odn

Definicja

Formalnie każda kategoria $𝔎$ składa się z dwóch klas:

• klasy $Ob𝔎,$ której elementy nazywamy obiektami kategorii $𝔎,$
• klasy $Mor𝔎,$ której elementy nazywamy morfizmami (lub strzałkami) kategorii $𝔎,$ przy czym spełnione mają być następujące warunki:
  • każdej parze uporządkowanej $⟨A,B⟩$ dwóch obiektów $A,B$ przyporządkowana jest klasa $Mor(A,B)$ morfizmów z $A$ do $B,$ oznaczana też czasem $H_{𝔎}(A,B),$ $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(A,B)$ lub $𝔎(A,B).$ Jeżeli $f\in Mor(A,B),$ to obiekt $A$ nazywamy początkiem lub dziedziną morfizmu $f,$ a $B$ – jego końcem lub kodziedziną; zamiast $f\in Mor(A,B)$ pisze się też $f:A\to B,$
  • każdy morfizm $f$ należy do tylko jednej klasy $Mor(A,B),$
  • w klasie $Mor𝔎$ określone jest częściowe prawo mnożenia: iloczyn morfizmów $f:A\to B,$ $g:C\to D$ jest określony wtedy i tylko wtedy, gdy $B=C;$ gdy warunek ten jest spełniony, iloczyn do zbioru $Mor(A,D).$ Nazywamy go złożeniem morfizmów $f$ i $g$ oraz oznaczamy $g\circ f$ lub $gf.$
  • złożenie morfizmów jest łączne: jeżeli $f:A\to B,$ $g:B\to C$ oraz $h:C\to D,$ to wówczas $h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f,$
  • do każdego $Mor(A,A)$ należy taki morfizm ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_A,$ że dla dowolnych morfizmów $f:X\to A$ i $g:A\to Y$ mamy $f=i{d}_A\circ f$ oraz $g=g\circ i{d}_A.$ Morfizmy ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_A$ nazywa się morfizmami identycznościowymi, morfizmami tożsamościowymi lub jednościami.

Z aksjomatów tych wynika, że dla każdego obiektu istnieje dokładnie jeden morfizm identycznościowy.

Jeżeli $f\in \mathrm{Mor}(A,B),$ to piszemy $A=\mathrm{dom}(f)$ i $B=\mathrm{cod}(f).$

Jeżeli rozpatrywane klasy obiektów i klasy morfizmów są zbiorami, to wówczas kategorię nazywamy małą. Istnieje wiele ważnych kategorii które nie są małe.

Jeżeli dla każdych obiektów $A,B$ klasa $\mathrm{Mor}(A,B)$ jest zbiorem, to wówczas kategorię nazywamy lokalnie małą.

Przykłady

Każda kategoria jest określana przez jej obiekty, morfizmy i regułę składania morfizmów.

• Kategoria Set wszystkich zbiorów wraz z funkcjami pomiędzy nimi (w niektórych źródłach oznaczana jako Ens, od francuskiego ensemble). Jej obiektami są zbiory, a morfizmami są odwzorowania ze zbioru w zbiór. $Ho{m}_{Set}(A,B)$ jest zbiorem odwzorowań zbioru $A$ w zbiór $B.$ Złożeniem morfizmów jest złożenie odwzorowań.
• Kategoria Gr (niekiedy Grp), której obiektami są grupy, a morfizmami homomorfizmy. $Ho{m}_{Gr}(A,B)$ jest zbiorem homomorfizmów grupy $A$ w grupę $B.$ Złożeniem morfizmów jest złożenie homomorfizmów.
• Kategoria Ab, której obiektami są grupy abelowe, a morfizmy są ich homomorfizmami. $Ho{m}_{Ab}(A,B)$ jest zbiorem homomorfizmów grupy $A$ w grupę $B.$ Złożeniem morfizmów jest złożenie homomorfizmów.
• Kategoria Vect_K, której obiektami są przestrzenie wektorowe nad ciałem $K,$ a morfizmy są odwzorowaniami $K$-liniowymi. $Ho{m}_{Vec{t}_K}(A,B)$ jest zbiorem odwzorowań liniowych przestrzeni $A$ w przestrzeń $B.$ Złożeniem morfizmów jest złożenie odwzorowań liniowych.
• Kategoria Metr, której obiektami są przestrzenie metryczne, a morfizmami – odwzorowania nierozszerzające. $Ho{m}_{Metr}(A,B)$ jest zbiorem odwzorowań nierozszerzających przestrzeni $A$ w przestrzeń $B.$ Złożeniem morfizmów jest złożenie odwzorowań nierozszerzających.
• Kategoria Top, której obiektami są przestrzenie topologiczne, a morfizmami są przekształcenia ciągłe. $Ho{m}_{Top}(A,B)$ jest zbiorem przekształceń ciągłych przestrzeni $A$ w przestrzeń $B.$ Złożeniem morfizmów jest złożenie przekształceń.
• Kategoria Cat małych kategorii wraz ze wszystkimi funktorami.
• Kategoria Rel Ens relacji dwuargumentowych (binarnych) na zbiorach; klasa obiektów tej kategorii pokrywa się z klasą ObEns, a morfizmami ze zbioru $A$ w zbiór $B$ są wszystkie relacje dwuargumentowe między tymi zbiorami, tzn. podzbiory zbioru $A\times B;$ złożenie morfizmów jest składaniem relacji.
• Ważnym przykładem kategorii, który jednocześnie pokazuje, że morfizmami nie zawsze muszą być przekształcenia, jest poset. Obiektom kategorii odpowiadają tu elementy posetu. Ponadto dla każdych dwóch obiektów (tj. elementów danego posetu) $x,y$ istnieje morfizm z $x$ do $y$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x⩽y.$ Łatwo można sprawdzić, że ze zwrotności relacji częściowego porządku wynika istnienie morfizmu identycznościowego dla każdego obiektu $x,$ a z przechodniości wynika możliwość składania morfizmów.
• Każdy monoid można traktować jako kategorię z dokładnie jednym obiektem, przy czym morfizmy odpowiadają elementom monoidu.

Do każdej kategorii $𝔎$ można utworzyć jej kategorię dualną ${𝔎}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}.$

Zobacz też

• epimorfizm
• funktor (teoria kategorii)
• izomorfizm
• inwolucja
• monomorfizm
• morfizm zerowy
• obiekt (teoria kategorii)
• obiekty początkowy i końcowy
• teoria kategorii
• transformacja naturalna

Bibliografia

• Szablon:Cytuj pismo

Literatura dodatkowa

Polskojęzyczna

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę

Obcojęzyczna

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Marek Zawadowski, Elementy teorii kategorii, skrypt dla studentów Wydziału MIM UW [dostęp 2021-08-08].
• Szablon:Otwarty dostęp Category Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].
• Szablon:Cytuj stronę