Funktor (teoria kategorii)

W teorii kategorii funktor to odwzorowanie jednej kategorii do drugiej zachowujące złożenia i morfizmy tożsamościowe. Można o nim myśleć jako o homomorfizmie wyższego rzędu. Ważne jest rozróżnienie dwóch typów funktorów: kowariantnych i kontrawariantnych.

Pojęcie kategorii, funktora i naturalnych transformacji funktorów wprowadzili do matematyki Samuel Eilenberg i Saunders Mac Lane w 1945.

Definicje

Funktor (czyli funktor kowariantny) $F$ z kategorii ${𝔎}_1$ do ${𝔎}_2$ to dwa przyporządkowania:

• jedno z nich, przyporządkowanie obiektowe z $\mathrm{O}\mathrm{b}{𝔎}_1$ do $\mathrm{O}\mathrm{b}{𝔎}_2,$ które każdemu obiektowi $X$ kategorii ${𝔎}_1$ przyporządkowuje obiekt $F(X)$ kategorii ${𝔎}_2,$
• drugie zaś, przyporządkowanie morfizmowe z $\mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{f}{𝔎}_1$ do $\mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{f}{𝔎}_2,$ które każdemu morfizmowi $f:X\to Y$ kategorii ${𝔎}_1$ przyporządkowuje morfizm $F(f):F(X)\to F(Y)$ kategorii ${𝔎}_2.$

Przyporządkowania te mają spełniać następujące dwa warunki:

• dla każdego obiektu $X$ kategorii ${𝔎}_1$ zachodzi $F({\mathrm{id}}_X)={\mathrm{id}}_{F(X)},$
• dla każdych dwóch morfizmów $f:X\to Y,$ $g:Y\to Z$ kategorii ${𝔎}_1$ zachodzi $F(g\circ f)=F(g)\circ F(f).$

Niech ${𝔎}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}$ oznacza kategorię dualną do $𝔎.$ Przez funktor kontrawariantny z ${𝔎}_1$ do ${𝔎}_2$ rozumiemy funktor kowariantny z ${𝔎}_1^{\mathrm{o}\mathrm{p}}$ do ${𝔎}_2.$ Funktor taki zamienia kierunki strzałek na przeciwne i odwraca kolejność składania.

Można też rozważać funktory wielu zmiennych, zwane multifunktorami, określone na odpowiednio zdefiniowanym produkcie kategorii ${𝔎}_1\times \dots \times {𝔎}_n.$ W przypadku n=2 używa się nazwy bifunktor. Funktory o tej samej dziedzinie i przeciwdziedzinie nazywa się funktorami równoległymi.

Jeśli $\mathrm{\Phi }:𝔄\to 𝔅$ i $\mathrm{\Psi }:𝔅\to ℭ$ są dwoma funktorami, to ich złożenie $\mathrm{\Psi }\circ \mathrm{\Phi }:𝔄\to ℭ$ powstaje przez złożenie poszczególnych przyporządkowań obiektowych $\mathrm{\Psi }\circ \mathrm{\Phi }(A)=\mathrm{\Psi }(\mathrm{\Phi }(A))$ dla $A\in \mathrm{O}\mathrm{b}𝔄$ i przyporządkowań morfizmowych $\mathrm{\Psi }\circ \mathrm{\Phi }(\alpha )=\mathrm{\Psi }(\mathrm{\Phi }(\alpha ))$ dla $\alpha :A_1\to A_2$ w $\mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{f}𝔄.$

Funktor $\mathrm{\Phi }:𝔄\to 𝔅$ nazywa się izomorfizmem kategorii $𝔄$ i $𝔅,$ gdy istnieje funktor $\mathrm{\Psi }:𝔅\to 𝔄$ taki, że oba złożenia $\mathrm{\Psi }\circ \mathrm{\Phi }:𝔄\to 𝔄$ i $\mathrm{\Phi }\circ \mathrm{\Psi }:𝔅\to 𝔅$ są odpowiednimi funktorami tożsamościowymi, tzn. takimi, że odpowiadające im przyporządkowania są tożsamościami. Łatwo sprawdzić, że funktor $\mathrm{\Phi }:𝔄\to 𝔅$ jest izomorfizmem kategorii wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadające mu przyporządkowania $A\mapsto \mathrm{\Phi }(A),$ $\alpha \mapsto \mathrm{\Phi }(\alpha )$ są bijekcjamiSzablon:Odn.

Przykłady funktorów

• Niech $G_X$ oznacza grupę wolną generowaną przez zbiór $X$ jej wolnych generatorów, $X\subset G.$ Wówczas każda funkcja $f:X\to Y$ ma jednoznaczne przedłużenie do homomorfizmu $F(f):G_X\to G_Y.$ W ten sposób otrzymuje się funktor kowariantny z kategorii Set (zbiorów i funkcji ze zbioru w zbiór) do kategorii Grp (grup i homomorfizmów).
• Funktory zapominania (ang. forgetful functors) to szeroka klasa funktorów polegających na pomijaniu jakiejś struktury lub jej części („zapominaniu” o niej). Na przykład przyporządkowując każdej grupie $G$ jej nośnik (tzn. zbiór jej elementów, bez żadnego działania) i każdemu homomorfizmowi $f:G\to H$ tę samą funkcję z $G$ do $H,$ otrzymujemy funktor z kategorii grup Grp w kategorię zbiorów Set. Podobnie określone są funktory zapominania z Vect_$ℝ$ do Ab, bo każda przestrzeń liniowa jest też grupą abelową z działaniem +, a każdy operator liniowy jest zarazem homomorfizmem grup („zapomina się” o mnożeniu przez skalary). Można też rozważać np. funktor zapominania z Metr do kategorii Top przestrzeni topologicznych i przekształceń ciągłych („zapomina się” o metryce, zachowując wyznaczoną przez nią topologię).
• Funktor $-\times B$ z Set do Set mnożenia kartezjańskiego przez ustalony zbiór $B$ przyporządkowuje każdemu zbiorowi $X$ zbiór $\mathrm{\Phi }(X)=X\times B,$ a każdej funkcji $\alpha :X\to Y$ przyporządkowuje funkcję $\mathrm{\Phi }(\alpha ):X\times B\to Y\times B$ zdefiniowaną jako $\mathrm{\Phi }(\alpha )(x,b)=(\alpha (x),b)$ dla $x\in X,$ $b\in B.$ Analogicznie dla ustalonego obiektu $A$ definiuje się funktor $A\times -$ z Set do Set.
• Bifunktor $-\times -$ z Set$\times$Set do Set mnożenia kartezjańskiego przyporządkowuje każdej parze zbiorów $X,Y$ zbiór $\mathrm{\Phi }(X,Y)=X\times Y,$ a każdej parze funkcji $\alpha :X_1\to X_2,$ $\beta :Y_1\to Y_2$ przyporządkowuje funkcję $\mathrm{\Phi }(\alpha ,\beta ):X_1\times Y_1\to X_2\times Y_2$ zdefiniowaną jako $\mathrm{\Phi }(\alpha ,\beta )(x_1,y_1)=(\alpha (x_1),\beta (y_1))$ dla $x_1\in X_1,$ $y_1\in Y_1.$
• Funktorami między dwoma zbiorami częściowo uporządkowanymi (posetami) traktowanymi jako kategorie są funkcje monotoniczne.

Funktory główne

Niech $𝔎$ będzie kategorią. Jeśli $A,B$ są jej obiektami, oznaczmy przez $\mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{f}(A,B)$ lub ${\mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{f}}_{𝔎}(A,B)$ zbiór wszystkich morfizmów z $A$ do $B.$ Wymaga to założenia, że $𝔎$ jest kategorią lokalnie małą (tzn. taką, że owe klasy są zbiorami).

Niech $A$ będzie ustalonym obiektem. Jeżeli $\beta :B_1\to B_2$ jest morfizmem w $𝔎,$ to dla każdego $\alpha :A\to B_1$ należącego do $\mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{f}(A,B_1)$ złożenie $\beta \alpha :A\to B_2$ należy do $\mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{f}(A,B_2).$ Oznaczmy przez $\mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{f}(A,\beta )$ opisane tu przyporządkowanie $\alpha \mapsto \beta \alpha .$ Powstaje w ten sposób funktor kowariantny z $𝔎$ do Set, oznaczany $\mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{f}(A,-);$ jest to funktor główny kowariantny wyznaczony przez obiekt $A$. Bywa też zwany Szablon:Link-interwiki (zwłaszcza w kontekście algebry) i oznaczany

$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(A,-)$ lub $𝔎(A,-),$ lub $(A,-{)}_{𝔎},$ lub ${\mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{f}}_{𝔎}(A,-).$

Jeśli $B$ jest ustalonym obiektem kategorii $𝔎,$ to analogicznie definiuje się funktor główny kontrawariantny $\mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{f}(-,B),$ przyporządkowujący każdemu morfizmowi $\alpha :A_1\to A_2$ przekształcenie $\mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{f}(\alpha ,B)$ przyporządkowujące morfizmom $\beta :A_2\to B$ należącemu do $\mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{f}(A_2,B)$ złożenie $\beta \alpha :A_1\to B$ należące do $\mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{f}(A_1,B).$

Można też rozważać bifunktor główny $\mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{f}(-,-)$ z ${𝔎}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}\times 𝔎$ do Set, kontrawariantny w pierwszej zmiennej i kowariantny w drugiej.

Funktory wierne i pełne

Załóżmy, że $\mathrm{\Phi }:𝔄\to 𝔅$ jest funktorem. Obcinając przyporządkowanie $\mathrm{\Phi }$ do zbioru ${\mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{f}}_{𝔄}(A_1,A_2),$ otrzymamy funkcję ${\mathrm{\Phi }}_{A_1,A_2}$ z tego zbioru do ${\mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{f}}_{𝔅}(\mathrm{\Phi }(A_1),\mathrm{\Phi }(A_2)).$ Mówimy, że funktor $\mathrm{\Phi }$ jest wierny, gdy dla każdej pary obiektów $(A_1,A_2)$ kategorii $𝔄$ indukowana funkcja ${\mathrm{\Phi }}_{A_1,A_2}$ jest iniekcją. Jest to pojęcie ważne z uwagi na to, że często funktor wierny $\mathrm{\Phi }$ nie jest iniektorem, tzn. warunek ${\alpha }_1\ne {\alpha }_2$ nie pociąga tego, że $\mathrm{\Phi }({\alpha }_1)\ne \mathrm{\Phi }({\alpha }_2).$ Np. funktor zapominania z kategorii Top przestrzeni topologicznych i odwzorowań ciągłych do Set jest wierny, ale nie jest iniektorem, bowiem jeżeli X, Y są dwiema przestrzeniami topologicznymi o tym samym nośniku (np. odcinek [0,1] ze zwykłą topologią i ten sam zbiór punktów z topologia dyskretną), to ${\mathrm{id}}_X$ i ${\mathrm{id}}_Y$ są dwoma różnymi morfizmami w Top, a ich obrazy w Set są identyczne.

Mówimy, że funktor $\mathrm{\Phi }$ jest pełny, gdy dla każdej pary obiektów $(A_1,A_2)$ kategorii $𝔄$ indukowana funkcja ${\mathrm{\Phi }}_{A_1,A_2}$ jest suriekcją. Funktor zapominania Top→Set nie jest pełny, bowiem np. w obrazie zbioru ${\mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{f}}_{𝐓𝐨𝐩}(ℝ,ℝ)$ są funkcje nieciągłe. Podkategoria $𝔄$ kategorii $𝔅$ jest pełna, gdy funktor inkluzji podkategorii $𝔄\to 𝔅$ jest pełnySzablon:OdnSzablon:Odn.

Zobacz też

• teoria kategorii
• kategoria (matematyka)
• transformacja naturalna
• funktory sprzężone

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę

Literatura dodatkowa

• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Marek Zawadowski, Elementy teorii kategorii, skrypt dla studentów Wydziału MIM UW, 29 listopada 2019 [dostęp 2021-08-17].
• Szablon:Otwarty dostęp Functor Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].