Grupa wolna
Szablon:Spis treści Grupa wolna – grupa zawierająca podzbiór o tej własności, że każdy element grupy daje się jednoznacznie przedstawić jako iloczyn skończenie wielu elementów tego podzbioru oraz ich odwrotności (z wyłączeniem trywialnych wariantów takich jak gdzie należą do takiego podzbioru).
Podzbiór grupy o powyższej własności nazywamy wolnym układem generatorów lub bazą grupy.
Definicja formalna
Równoważnie pojęcie grupy wolnej można zdefiniować następująco: grupę nazywamy wolną, gdy zawiera podzbiór taki, że każde przekształcenie w dowolną grupę można przedłużyć jednoznacznie do homomorfizmu
Można udowodnić, że każdy taki zbiór musi być układem generatorów grupy tzn. nie ma podgrupy spełniącej i
Układem generatorów grupy jest opisany wyżej zbiór Każde dwa układy generatorów są równoliczne – moc dowolnego z nich nazywa się rangą grupy wolnej.
Własności
- Każda grupa wolna o randze większej od 1 ma nieskończenie wiele układów wolnych generatorów.
- Każda grupa jest obrazem ustalonego homomorfizmu pewnej grupy wolnej
- Jeżeli to obraz układu wolnych generatorów grupy tworzy układ generatorów grupy
- Układem relacji dla tych generatorów nazywamy układ równań taki, że gdzie są generatorami ( oznacza element neutralny grupy). Wskazanie układu generatorów i układu relacji jednoznacznie wyznacza grupę
- Grupa wolna o randze większej od 1 nie jest abelowa.
Przykłady
- Grupa liczb całkowitych z dodawaniem jest grupą wolną rangi 1. Jej układem wolnych generatorów jest {1} (lub {-1}).
- Rozpatrzmy wszystkie skończone napisy składające się z liter w których nie występują pary Działaniem niech będzie konkatenacja napisów z ewentualnym usunięciem zakazanych par, czyli np.:
- czyli ciąg pusty.
- tak określona struktura jest grupą wolną. Układem wolnych generatorów jest np.: Elementem odwrotnym do jest odwrotnym do jest Elementem odwrotnym do danego ciągu jest ciąg napisany w odwrotnej kolejności z zamienionymi parami liter oraz Elementem neutralnym – ciąg pusty.