Element odwrotny

Element odwrotny jest uogólnieniem pojęcia odwrotności liczby.

Niech $\mathrm{♢}$ oznacza działanie dwuargumentowe w zbiorze $S.$ Element $x$ nazywa się elementem odwrotnym do $y$ jeżeli spełnione są dwa warunki:

1. $x\mathrm{♢}y=e,$
2. $y\mathrm{♢}x=e,$

gdzie $e$ oznacza element neutralny działania $\mathrm{♢}.$

Jeżeli działanie $\mathrm{♢}$ zapisywane jest za pomocą symboli $+,\oplus ,\cup ,\vee ,$ itp. w celu zaznaczenia jego addytywności, to element odwrotny nazywamy przeciwnym i używamy oznaczenia $-x.$ Nazwa odwrotny używana jest w przypadku notacji multiplikatywnej, tj. gdy działanie oznaczamy symbolem zarezerwowanym dla mnożenia: $*,\cdot ,\otimes ,\cap ,\wedge ,\star ,$ itp. i oznaczamy $x^{-1}$

Odwrotności jednostronne

Często rozważa się element odwrotny lewostronny do danego, gdy spełniony jest jedynie pierwszy warunek i element odwrotny prawostronny, jeżeli spełniony jest wyłącznie drugi warunek. „Zwykły” element odwrotny nazywa się wtedy elementem odwrotnym obustronnym.

Dany element może mieć wiele elementów odwrotnych prawostronnych i lewostronnych jednocześnie, i nie muszą one być sobie równe! Jeśli jednak działanie jest łączne i dany element ma element odwrotny lewostronny i element odwrotny prawostronny to, są one sobie równe i element ten jest elementem odwrotnym obustronnym. A więc jeśli istnieje, element odwrotny jest tylko jeden.

W większości ważnych praktycznie struktur algebraicznych jak grupy i ciała zwykle postuluje się, aby za pewnymi wyjątkami każdy element był odwracalny.

Przykłady

• Niech $\mathrm{♢}$ będzie dodawaniem liczb rzeczywistych. Elementem odwrotnym do liczby $2$ jest liczba $-2.$ Mamy bowiem: $2+(-2)=0$ oraz $(-2)+2=0$ (zero jest elementem neutralnym dodawania).
• Jeżeli $\mathrm{♢}$ jest mnożeniem liczb rzeczywistych, to elementem odwrotnym do liczby $2$ jest liczba $\frac{1}{2},$ bo $2\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}\cdot 2=1$ (jedynka jest elementem neutralnym mnożenia).

Ostatni przykład pokazuje, że nie każdy element musi mieć element odwrotny – liczba zero nie ma elementu odwrotnego względem mnożenia.