Homomorfizm

Homomorfizm (gr. ὅμοιος, homoios – podobny; μορφή, morphē – kształt, forma) – funkcja odwzorowująca jedną algebrę ogólną (np. monoid, grupę, pierścień czy przestrzeń wektorową) w drugą, zachowująca przy tym odpowiadające sobie działania, jakie są zdefiniowane w obu algebrach.

Homomorfizm bijektywny, nazywa się izomorfizmem algebr i z punktu widzenia algebry oznacza ich identyczność.

Ogólna definicja homomorfizmu

Niech $𝒜=(A;g_1,\dots ,g_n)$ i $ℬ=(B;h_1,\dots ,h_n)$ oznaczają algebry ogólne tego samego typu (monoidy, grupy, pierścienie itp.), gdzie:

• $A,B$ są zbiorami,
• $g_1,\dots ,g_n$ są działaniami zdefiniowanymi na elementach zbioru $A,$ (np. +, *, potęgowanie itp.),
• $h_1,\dots ,h_n$ są działaniami zdefiniowanymi na elementach zbioru $B,$ odpowiadającymi działaniom w zbiorze $A,$
• liczby argumentów $a(g_i)$ działania $g_i$ są równe liczbie argumentów $a(h_i)$ działania $h_i,$ $i=1,\dots ,n.$

Funkcja $f:A\to B$ przekształcającą zbiór $A$ w zbiór $B$ jest homomorfizmem algebry $𝒜$ w algebrę $ℬ,$ jeśli dla wszystkich odpowiadających sobie działań $g_i$ oraz $h_i$ i dla każdego ciągu $(x_1,x_2,\dots ,x_{a(g_i)})$ elementów zbioru $A$ zachodzi równość:

$f[g_i(x_1,x_2,\dots ,x_{a(g_i)})]=h_i[(f(x_1),f(x_2),\dots ,f(x_{a(h_i)})].$

O funkcji $f$ mówi się, że przeprowadza każde działanie $g_i$ w odpowiadające mu działanie $h_i.$

Rodzaje homomorfizmów

Szablon:Galeria Homomorfizm, który jest:

• iniekcją, nazywamy monomorfizmem,
• suriekcją, nazywamy epimorfizmem,
• bijekcją, nazywamy izomorfizmem (zatem każdy monomorfizm będący jednocześnie epimorfizmem jest izomorfizmem),
• odwzorowaniem struktury w samą siebie nazywamy endomorfizmem,
• wzajemnie jednoznacznym odwzorowaniem struktury w samą siebie (tzn. będący jednocześnie izomorfizmem i endomorfizmem), nazywamy automorfizmem.

Typy homomorfizmów

Każdy typ struktury algebraicznej posiada swój własny typ homomorfizmu, czyli istnieją:

• homomorfizm grup,
• homomorfizm pierścieni,
• homomorfizm przestrzeni liniowych,
• homomorfizm modułów.

Homomorfizm grup

Niech $\mathrm{G}=(G,+,0)$ oraz $\mathrm{H}=(H,\oplus ,\theta )$ oznaczają grupy w zapisie addytywnym (niekoniecznie abelowe).

Odwzorowanie $f$ nazywamy homomorfizmem grupy $\mathrm{G}$ w grupę $\mathrm{H}$ jeżeli spełnione są warunki:

a) $f:G\to H,$

tzn. $f$ jest funkcją ze zbioru $G$ w zbiór $H,$

b) ${\mathrm{\forall }}_{a,b\in G}f(a+b)=f(a)\oplus f(b),$

tzn. wynik działania $+$ wykonanego na wszystkich parach elementów $a,b$ zbioru $G$ i następnie odwzorowany do zbioru $H$ za pomocą funkcji $f$ jest równy wynikowi działania $\oplus$ wykonanego na obrazach $f(a),$ $f(b)$ elementów $a,b$ (wynik ten jest na pewno elementem zbioru $H,$ ponieważ operacja $\oplus$ jest działaniem w $H$).

Mówimy, że homomorfizm przeprowadza działanie grupowe $+$ na działanie $\oplus .$

Twierdzenie

Tw. Jeżeli $f$ jest homomorfizmem $f:G\to H,$ to

a) $f$ przekształca element neutralny działania $+$ w $\mathrm{G}$ na element neutralny działania $\oplus$ w $\mathrm{H},$ tzn.

$f(0)=\theta ,$

b) $f$ przekształca element odwrotny działania $+$ w $\mathrm{G}$ na element odwrotny działania $\oplus$ w $\mathrm{H},$ tzn.

${\mathrm{\forall }}_{a\in G}f(-a)=\ominus f(a),$

gdzie $-a$ oznacza element przeciwny do elementu $a$ w $\mathrm{G},$ zaś $\ominus f(a)$ oznacza element przeciwny do $f(a)$ w $\mathrm{H}.$

Przykłady

Homomorfizm pierścieni

(1) Rozważmy dwa pierścienie:

a) pierścień $ℝ$ liczb rzeczywistych z działaniami dodawania liczb i mnożenia liczb,

b) pierścień ${𝕄}_{\mathrm{𝟚}\mathrm{𝟚}}$ macierzy 2×2 (tj. zbiór macierzy 2×2) z działaniami dodawania macierzy i mnożenia macierzy.

(2) Definiujemy funkcję ze zbioru $ℝ$ na zbiór macierzy ${𝕄}_{\mathrm{𝟚}\mathrm{𝟚}}$

$f:ℝ\to {𝕄}_{22},$$f(r)=\left(\begin{array}{cc}r& 0\\ 0& r\end{array}\right).$

(3) Funkcja $f$ jest homomorfizmem powyższych pierścieni, gdyż:

1) zachowuje dodawanie przy przejściu z jednego pierścienia do drugiego

$f(r+s)=\left(\begin{array}{cc}r+s& 0\\ 0& r+s\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}r& 0\\ 0& r\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}s& 0\\ 0& s\end{array}\right)=f(r)+f(s),$

2) zachowuje mnożenie

$f(r\cdot s)=\left(\begin{array}{cc}r\cdot s& 0\\ 0& r\cdot s\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}r& 0\\ 0& r\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}s& 0\\ 0& s\end{array}\right)=f(r)\cdot f(s),$

3) element neutralny dodawania w $ℝ$ przechodzi w element neutralny dodawania macierzy

$f(0)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right),$

4) element neutralny mnożenia w $ℝ$ przechodzi w element neutralny mnożenia macierzy

$f(1)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right).$

Z powyższych własności wynika, że funkcja $f:ℝ\to {𝕄}_{22}$ jest homomorfizmem ze zbioru $ℝ$ do zbioru ${𝕄}_{22}.$

Ponadto:

5) funkcja $f:ℝ\to {𝕄}_{22}$ jest injekcją (funkcją różnowartościową), gdyż każdym dwóm elementom ze zbioru $ℝ$ odpowiadają dokładnie dwa różne elementy ze zbioru ${𝕄}_{22}.$ Z powyższych własności wynika, że funkcja $f:ℝ\to {𝕄}_{22}$ jest monomorfizmem zbiorów $ℝ$ oraz ${𝕄}_{22}.$

Brak homomorfizmu pierścieni

Zbiory $ℂ$ oraz $ℝ$ są pierścieniami z działaniami dodawania i mnożenia liczb. Rozważmy funkcję $f:ℂ\to ℝ,$ która przypisuje liczbie zespolonej jej moduł, tj.

$f(z)=|z|$

Funkcja ta nie jest homomorfizmem, gdyż na ogół nie zachowuje dodawania, tj. na ogół

$|z_1+z_2|\ne |z_1|+|z_2|.$

Np. niech $z_1=3,$ $z_2=4i.$ Wtedy mamy:

$|z_1|=3,|z_2|=4,$

ale

$|3+4i|=5.$

Homomorfizm grup

Jeżeli ograniczymy odpowiednio wyżej omawiane zbiory, to możemy zdefiniować homomorfizm grup.

(1) Rozważmy zbiory niezerowych liczb zespolonych ${ℂ}_{\ne 0}=ℂ-\{0\}$ oraz niezerowych liczb rzeczywistych ${ℝ}_{\ne 0}=ℝ-\{0\}.$ Zbiory te tworzą grupy z działaniami mnożenia liczb.

(2) Definiujemy funkcję $f:{ℂ}_{\ne 0}\to {ℝ}_{\ne 0},$ która przypisuje liczbie zespolonej jej moduł (który jest liczbą rzeczywistą)

$f(z)=|z|.$

(3) Funkcja $f$ jest homomorfizmem z ${ℂ}_{\ne 0}$ w ${ℝ}_{\ne 0},$ gdyż odtwarza działanie mnożenia w ${ℝ}_{\ne 0},$ tj.

$f(z_1\cdot z_2)=|z_1\cdot z_2|=|z_1|\cdot |z_2|=f(z_1)\cdot f(z_2).$

Homomorfizm monoidów

[[Plik:Exponentiation as monoid homomorphism svg.svg|thumb|283x283px|Homomorfizm $f$ z monoidu ([[Chlorowodór|Szablon:Kolor]]) do monoidu ([[N, *, 1|Szablon:Kolor]]), taki że: $1=f(n)=2^n.$ Homomorfizm ten jest injektywny, ale nie surjektywny.]] 1) Niech $f$ będzie funkcją z monoidu liczb naturalnych z działaniem dodawania (N, +, 0) do monoidu liczb naturalnych z działaniem mnożenia (N, *, 1), taką że:

$f(n)=2^n.$

Funkcja ta jest homomorfizmem z (N, +, 0) do (N, *, 1), gdyż

$f(n+m)=f(n)*f(m)$ oraz $f(0)=1,$

tzn.

$2^{n+m}=2^n*2^m$ oraz $2^0=1,$

czyli działanie + w pierwszym monoidzie przechodzi na działanie * w drugim, a element neutralny działania + przechodzi na element neutralny działania *.

Homomorfizm ten jest injektywny, ale nie surjektywny, tzn. nie wszystkim elementom monoidu (N, *, 1) będzie przypisany element monoidu (N, +, 0).

2) Niech $\mathrm{G}$ oznacza zbiór liczb naturalnych z działaniem dodawania $+,$ a $\mathrm{H}$ oznacza zbiór liczb rzeczywistych z działaniem mnożenia *. Homomorfizmem jest np. funkcja wykładnicza $f(n)=\exp (n).$ Uzasadnienie jest identyczne jak w poprzednim przykładzie.

Zobacz też

• antyhomomorfizm
• jądro homomorfizmu

Bibliografia

• T. Trajdos, Matematyka, cz. III, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 2004, s. 1–27.

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Homomorphism Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].