Algebra ogólna

Szablon:Nie mylić z Szablon:Spis treści Algebra (ogólna) czasem: algebra uniwersalna lub abstrakcyjna – to ciąg postaci

(A, f_{1}, \dots, f_{m}, a_{1}, \dots, a_{n}),

gdzie:

$A$ – pewien zbiór,
$a_{1}, \dots, a_{m} \in A$ – pewne wyróżnione elementy,
$f_{i} : A^{k_{i}} \to A$ – pewne funkcje, które interpretuje się jako $k_{i}$ -argumentowe działania w $A .$

Przykładami algebr są grupa addytywna

(G, +, 0),

grupa multiplikatywna

(G, \cdot, 1),

oraz pierścień

(R, +, \cdot, 0) .

Algebra ogólna jest przedmiotem badań algebry uniwersalnej (zwanej też algebrą ogólną)^[1]^[2].

Szczególnie ważną klasę algebr stanowią algebry równościowo definiowalne^[3].

Definicja

Algebrą (lub algebrą ogólną) nazywamy skończony ciąg postaciSzablon:Odn:

(A, f_{1}, f_{2}, \dots, f_{m}, a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}),

gdzie:

A

jest niepustym zbiorem zwanym nośnikiem (albo uniwersum algebry),

a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}

są pewnymi elementami zbioru

A

(nazywanymi elementami wyróżnionymi),

f_{1}, f_{2}, \dots, f_{m}

są działaniami określonymi w zbiorze

A,

przy czym

f_{i}

jest działaniem

k_{i}

-argumentowym, tzn. jest funkcją postaci

f_{i} : A^{k_{i}} \to A

oraz

k_{i} > 0 .

Zwykle żąda się aby elementy wyróżnione i działania spełniały pewne własności.

Algebry podobne

Dwie algebry:

(A, f_{1}, f_{2}, \dots, f_{m}, a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})

i

(B, g_{1}, g_{2}, \dots, g_{r}, b_{1}, b_{2}, \dots, b_{s})

nazywamy algebrami podobnymi (lub algebrami tego samego typu) jeśli $m = r$ oraz $n = s,$ oraz dla każdego $i \in {1, 2, \dots, m}$ działania $f_{i}$ oraz $g_{i}$ są działaniami o tej samej liczbie argumentów, tzn. $f_{i} : A^{k_{i}} \to A$ oraz $g_{i} : B^{k_{i}} \to B$ Szablon:Odn.

Działania zgodne z relacją równoważności

Szablon:Główny artykuł

Niech $\sim$ będzie relacją równoważności w zbiorze $A .$ $k$ -argumentowe działanie $f$ w $A$ nazywa się zgodnym z relacją $\sim$ jeśli dla każdych $x_{1}, \dots, x_{k}, y_{1}, \dots, y_{k} \in A$

x_{1} \sim y_{1} \land \dots \land x_{k} \sim y_{k} \Rightarrow f (x_{1}, \dots, x_{k}) \sim f (y_{1}, \dots, y_{k})

Szablon:Odn.

W szczególności gdy $f$ jest działaniem jednoargumentowym oznacza to, że dla każdych $x_{1}, y_{1}$

x_{1} \sim y_{1} \Rightarrow f (x_{1}) \sim f (y_{1}),

a gdy $f = \circ$ jest działaniem dwuargumentowym, to

x_{1} \sim y_{1} \land x_{2} \sim y_{2} \Rightarrow x_{1} \circ x_{2} \sim y_{1} \circ y_{2} .

Innymi słowy działanie $f$ w zbiorze $A$ jest zgodne z relacją $\sim$ jeśli daje równoważne wyniki na równoważnych argumentach.

Kongruencje

Relację równoważności $\sim$ w algebrze $(A, f_{1}, \dots, f_{m}, a_{1}, \dots, a_{n})$ nazywa się kongruencją jeżeli dla każdego $1 ⩽ i ⩽ m$ działanie $f_{i}$ jest zgodne z relacją $\sim$ Szablon:Odn.

Algebra ilorazowa

Szablon:Zobacz też Dysponując kongruencją $\sim$ na algebrze $𝒜 = (A, f_{1}, \dots, f_{m}, a_{1}, \dots, a_{n})$ można skonstruować algebrę podobną do $𝒜 .$ Niech $A /_{\sim}$ będzie zbiorem ilorazowym. Algebrę $ℬ$ definiujemy jako

ℬ : = (A /_{\sim}, g_{1}, \dots, g_{m}, b_{1}, \dots, b_{n}),

gdzie elementy wyróżnione $b_{j}, 1 ⩽ j ⩽ n$ są skonstruowane jako klasy abstrakcji elementów $a_{j}$ względem relacji $\sim$ tzn.

b_{j} : = [a_{j}]_{\sim} .

a działania $g_{1}, \dots, g_{m}$ są zdefiniowane wzoramiSzablon:Odn:

g_{i} ([x_{1}]_{\sim}, \dots, [x_{k_{i}}]_{\sim}) : = [f_{i} (x_{1}, \dots, x_{k_{i}})]_{\sim} .

Aby działania $g_{i}$ były dobrze zdefiniowane muszą nie zależeć od wyboru reprezentantów $x_{1}, \dots, x_{k_{i}} .$ Jest to równoważne żądaniu aby dla każdych $x_{1}, \dots, x_{k_{i}}, y_{1}, \dots, y_{k_{i}} \in A$

x_{1} \sim y_{1} \land \dots \land x_{k_{i}} \sim y_{k_{i}} \Rightarrow f_{i} (x_{1}, \dots, x_{k_{i}}) \sim f_{i} (y_{1}, \dots, y_{k_{i}})

co z kolei jest równoważne żądaniu aby relacja $\sim$ była kongruencją.

Homomorfizm algebr

Homomorfizmem algebr podobnych $(A, f_{1}, \dots, f_{m}, a_{1}, \dots, a_{n})$ i $(B, g_{1}, \dots, g_{m}, b_{1}, \dots, b_{n})$ nazywa się funkcję $h : A \to B$ taką, że

h (f_{i} (x_{1}, \dots, x_{k_{i}})) = g_{i} (h (x_{1}), \dots, h (x_{k_{i}}))

dla $i = 1, \dots, m .$ W szczególności, gdy $f_{i} = \circ, g_{i} = ∙$ są działaniami dwuargumentowymi oznacza to

h (x_{1} \circ x_{2}) = h (x_{1}) ∙ h (x_{2}) .

Alternatywne definicje algebry

Szablon:Zobacz też W algebrze uniwersalnej stosuje się bardziej abstrakcyjną definicję algebry. Niech $D = {⋃ \cdot}_{i = 0}^{n} D_{i}$ będzie rozłączną sumą zbiorów. Elementy zbioru $D$ nazywamy symbolami i interpretujemy jako symbole działań, przy czym $d_{k} \in D_{k}$ są symbolami działań $k$ -argumentowych. Algebrą nazwiemy zbiór $A$ wraz z przyporządkowaniem każdemu symbolowi $d_{k} \in D_{k}$ $k$ -argumentowego działania $ϕ_{k} : A^{k} \to A .$ Bardzo często wygodnie jest utożsamiać symbole $d_{k}$ z działaniami $ϕ_{k} .$

Algebrę można zdefiniować jeszcze inaczej. Parę $ℱ = (F, μ),$ gdzie $F$ jest zbiorem, a $μ : F \to ℕ$ nazywa się typem algebry. Parę $𝒜 = (A, F_{A})$ nazywa się algebrą typu $ℱ$ jeśli zbiory $F_{A}$ i $F$ są równoliczne i każdemu $f \in F$ odpowiada $f_{A} \in F_{A}$ taki, że $f_{A} : A^{μ (f)} \to A .$ Element $f_{A}$ nazywa się działaniem lub operacją $μ (f)$ -argumentową.

Przykłady

Półgrupa

Algebrę $(G, \circ)$ nazywa się półgrupą jeśli działanie $\circ$ jest łączne, tzn. dla każdych $a, b, c \in G$

(a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c) .

Grupa

Algebrę $(G, \circ, e)$ nazywa się grupą jeśli jest półgrupą oraz ponadto

Dla każdego $a \in G$ zachodzi

a \circ e = a .

Dla każdego $a \in G$ istnieje $b \in G$ takie, że

a \circ b = e .

Element $e$ nazywa się elementem neutralnym działania $\circ,$ a $b$ elementem odwrotnym do $a$ lub elementem przeciwnym do $a$ i oznacza odpowiednio $a^{- 1}$ lub $- a .$

Grupa abelowa

Grupę $(G, \circ, e)$ w której działanie jest przemienne, tzn. dla każdych $a, b \in G$ zachodzi

a \circ b = b \circ a

nazywa się grupą przemienną lub abelową.

Grupa addytywna i multiplikatywna

Grupę w której działanie interpretuje się jako dodawanie oznacza się $(G, +, 0)$ i nazywa się grupą addytywną, a grupę w której działanie interpretuje się jako mnożenie oznacza się $(G, \cdot, 1)$ i nazywa grupą multiplikatywną.

Pierścień (łączny)

Algebrę $(R, +, \cdot, 0)$ nazywa się pierścieniem (łącznym) jeśli

$(R, +, 0)$ jest grupą przemienną,
$(R, \cdot)$ jest półgrupą,

ponadto mnożenie jest rozdzielne względem dodawania, tzn. dla każdych $a, b, c \in R$

a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c,

(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c .

Zobacz też

Szablon:Wikibooks Szablon:Wikisłownik

algebra nad ciałem

Przypisy

Szablon:Przypisy

Bibliografia

Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

Szablon:Otwarty dostęp General algebra Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-10-10].

Szablon:Struktury algebraiczne

Szablon:Kontrola autorytatywna

↑ Szablon:Cytuj książkę
↑ Szablon:Cytuj książkę
↑ Algebrom tym poświęcone są: rozdz. XIV, § 7 w książce: H. Rasiowa, Wstęp do matematyki współczesnej, Warszawa, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1968 oraz § 5.5 w książce: Szablon:Cytuj książkę

[1] Szablon:Cytuj książkę

[2] Szablon:Cytuj książkę

[3] Algebrom tym poświęcone są: rozdz. XIV, § 7 w książce: H. Rasiowa, Wstęp do matematyki współczesnej, Warszawa, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1968 oraz § 5.5 w książce: Szablon:Cytuj książkę

[1]

[2]

[3]