Algebra nad ciałem

Algebra nad ciałem (algebra liniowa) – przestrzeń liniowa wyposażona w dwuliniowe (wewnętrzne) działanie dwuargumentowe, nazywane mnożeniem (wektorów), które czyni z niej pierścień (niekoniecznie łączny).

Definicja algebry

Niech $X$ będzie przestrzenią liniową nad ciałem $K.$ Jeżeli dane jest działanie dwuargumentowe $X\times X\to X$ mnożenia wektorów, które dla dowolnych $𝐱,𝐲,𝐳\in X$ oraz $a\in K$ spełnia warunki

• lewostronnej i prawostronnej rozdzielności względem dodawania wektorów,

  $(𝐱\mathbf{+}𝐲)𝐳=𝐱𝐳\mathbf{+}𝐲𝐳,$

  $𝐱(𝐲\mathbf{+}𝐳)=𝐱𝐲\mathbf{+}𝐱𝐳,$

• zgodności z działaniem mnożenia przez skalary,

  $a(𝐱𝐲)=(a𝐱)𝐲=𝐱(a𝐲),$

to $X$ z tak wprowadzoną strukturą nazywa się algebrą nad ciałem $K$ bądź $K$-algebrą.

Baza i wymiar algebry. Podalgebra. Ideał

Bazą algebry $X$ nazywa się bazę przestrzeni liniowej $X.$

Wymiarem algebry $X$ jest wymiar przestrzeni $X.$

Podalgebrą algebry $X$ nazywa się jej podprzestrzeń liniową $Y,$ która jest zarazem podpierścieniem pierścienia $X,$ tzn. jeżeli $𝐲,𝐳\in Y,$ to $𝐲𝐳\in Y$ oraz $𝐳𝐲\in Y.$

Ideałem lewostronnym (lub ideałem prawostronnym) algebry nazywa się taką jej podprzestrzeń liniową $Y,$ która jest lewostronnym (odpowiednio prawostronnym) ideałem pierścienia $X,$ a więc jeżeli $𝐲\in Y$ oraz $𝐱\in X,$ to $𝐱𝐲\in Y$ (odpowiednio $𝐲𝐱\in Y$).

Szczególne rodzaje algebr

Algebra łączna

– algebra, w której mnożenie wektorów jest łączne.

Powstały pierścień jest łączny (jest to jeden z najczęściej nakładanych na pierścienie warunków).

Algebra przemienna

– algebra, w której mnożenie wektorów jest przemienne.

Algebra przemienna tworzy wtedy pierścień przemienny, a warunki lewo- i prawostronnej rozdzielności są równoważne.

Algebra z jedynką

– zwana też algebrą unitarną, nieściśle: algebrą z jednością – algebra, w której działanie ma element neutralny różny od elementu zerowego $\mathrm{𝟎}.$

Oznacza to, że pierścień ma jedynkę i jest przy tym nietrywialny.

Algebra z dzieleniem

– algebra z jedynką, w której każdy niezerowy element jest odwracalny.

Oznacza to, że pierścień jest z dzieleniem.

Tw. Algebra łączna i przemienna z dzieleniem tworzy ciało.

Homomorfizm algebr

Ponieważ algebra jest jednocześnie przestrzenią liniową i pierścieniem to homomorfizmem algebr nazywamy funkcję która jest jednocześnie homomorfizmem przestrzeni liniowych i homomorfizmem pierścieni. Tzn. homomorfizmem algebr $(A_1,\cdot ),(A_2,\bullet )$ nad tym samym ciałem $K$ nazywamy funkcję $h:A_1\to A_2$ która spełnia

$h(v+w)=h(v)+h(w)$

$h(\alpha v)=\alpha h(v)$

$h(v\cdot w)=h(v)\bullet h(w).$

Przykłady algebr

• Dowolne ciało tworzy algebrę nad samym sobą (w tym ciało liczb zespolonych).
• Algebra kwaternionów (pierścień z dzieleniem) – to algebra nieprzemienna.
• Każde rozszerzenie ciała $L\supseteq K$ może być traktowane jako $K$-algebra przemienna z mnożeniem zewnętrznym elementów z $L$ przez elementy z $K$ zdefiniowanym jako zawężenie mnożenia $\cdot :L\times L\to L$ do $\cdot {|}_K:K\times L\to L.$
• Algebra macierzy: zbiór macierzy kwadratowych stopnia $n>1$ nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych, z dodawaniem i mnożeniem macierzy przez siebie oraz mnożeniem macierzy przez skalar; jest to algebra nieprzemienna o wymiarze $n^2.$
• Algebra endomorfizmów: zbiór wszystkich endomorfizmów przestrzeni liniowej (zob. przekształcenie liniowe) $V$ wymiaru większego niż $1$ z działaniami ich dodawania i mnożenia oraz mnożenia endomorfizmów przez skalary (określonymi punktowo) jest algebrą nieprzemienną.
• Pierścień wielomianów $K[X]$ oraz ciało wyrażeń wymiernych $K(X)$ (bądź odpowiednio funkcji wielomianowych oraz funkcji wymiernych) z dodawaniem i mnożeniem elementów oraz mnożeniem ich przez skalar (określonymi punktowo, zob. przestrzeń funkcyjna) tworzą zwykle algebry nieprzemienne.
• Algebra Liego – algebra, w której mnożenie wektorów jest dwuliniowe, antysymetryczne i spełnia tożsamość Jacobiego. Mnożenie to nazywa się nawiasem Liego.
• Algebra Leibniza – algebra, w której mnożenia spełnia tożsamość Leibniza. Algebra Leibniza jest algebrą Liego wtedy i tylko wtedy, gdy mnożenie jest antyprzemienne. Każdą algebrę łączną można przekształcić w algebrę Liego / Leibniza, jeżeli zdefiniuje się działanie mnożenia jako komutator / antykomutator.
• Funkcje schodkoweSzablon:Fakt;
• Algebra zerowa, w której iloczyn dowolnych dwóch elementów wynosi 0, jest algebrą łączną i przemienną, ale nie unitarną. Może być rozszerzona do algebry z jedynką poprzez wzięcie sumy prostej jej i ciała, czego przykładem są liczby dualne.
• Algebra grupowa, zdefiniowana dla dowolnej grupy skończonej $G$ jako zbiór wszystkich wyrażeń formalnych postaci $\sum _{g\in G}{\alpha }_{g}g,$ gdzie współczynniki są elementami ciała. Działania dodawania i mnożenia przez skalary są określone tak jak w przestrzeniach wektorowych. Mnożenie jest zdefiniowane jako mnożenie wyrażeń algebraicznych, gdzie mnożeniu elementów $G$ odpowiada działanie grupowe.
• Algebra incydencji, zdefiniowana dla dowolnego lokalnie skończonego częściowego porządku $(X,⩽)$ jako zbiór funkcji na parach $a,b$ elementów $X$ równych 0 dla wszystkich par niespełniających $a⩽b.$ Dodawanie i mnożenie przez skalar są zdefiniowane punktowo; mnożenie za pomocą splotu $(f*g)(a,b)=\sum _{a⩽x⩽b}f(a,x)g(x,b).$ Dla porządku lokalnie skończonego taka suma ma skończenie wiele składników.

Zobacz też

• *-algebra
• algebra Jordana
• algebra Leibniza