Przekształcenie dwuliniowe

Przekształcenie dwuliniowe – funkcja z iloczynu kartezjańskiego dwóch ustalonych przestrzeni liniowych w pewną przestrzeń liniową, która jest liniowa względem obu zmiennych.

Definicja formalna

Niech $U_1,U_2,V$ będą przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem $K.$ Przekształcenie $A:U_1\times U_2\to V$ nazwiemy dwuliniowym, jeśli dla każdego $a\in U_2$ funkcja $h_1:U_1\to V$ zdefiniowana jako $h_1(x)=A(x,a)$ jest przekształceniem liniowym dla każdego $x\in U_1,$ oraz jeśli dla każdego $b\in U_1$ funkcja $h_2:U_2\to V$ zdefiniowana jako $h_2(x)=A(b,x)$ jest przekształceniem liniowym dla każdego $x\in U_2.$ Innymi słowy, przekształcenie $A:U_1\times U_2\to V$ nazwiemy dwuliniowym, jeśli jest ono liniowe względem każdej zmiennej.

Uwaga

Z definicji łatwo wynika, że złożenie przekształcenia dwuliniowego $A:U\times U\to V,$ gdzie $U$ jest przestrzenią liniową, z rzutami ${\pi }_x,{\pi }_y:U\times U\to U,$ ${\pi }_x(x,y)=x,{\pi }_y(x,y)=y$ jest przekształceniem liniowym.

Zobacz też

• przekształcenie liniowe
• przekształcenie wieloliniowe
• przekształcenie antyliniowe
• forma dwuliniowa
• forma wieloliniowa