Forma wieloliniowa

Forma $k$-liniowa, funkcjonał $k$-liniowy, albo $k$-tensor na przestrzeni liniowej $V$ nad ciałem $K$ to funkcja postaci

$F:V^k\to K,$

liniowa względem wszystkich swoich argumentów. Formy $k$-liniowe stanowią uogólnienie form liniowych i dwuliniowych oraz jeden ze sposobów sformalizowania pojęcia tensora. Odgrywają bardzo ważną rolę w geometrii różniczkowej gdzie z reguły za ich pomocą definiuje się formy różniczkowe i (pośrednio) całkę z formy różniczkowej po rozmaitości.

Definicja

Niech $V$ będzie przestrzenią liniową nad ciałem $K.$ Funkcję $F:V^k\to K,$ która jest liniowa względem każdego ze swoich argumentów, tzn.

$F(v_1,\dots ,v_i+{v_i}^{\prime },\dots ,v_k)=F(v_1,\dots ,v_i,\dots ,v_k)+F(v_1,\dots ,{v_i}^{\prime },\dots ,v_k)$

oraz

$F(v_1,\dots ,\alpha v_i,\dots ,v_k)=\alpha F(v_1,\dots ,v_i,\dots ,v_k)$

dla dowolnych $v_1,\dots ,v_k,{v_i}^{\prime }\in V,\alpha \in K$ i $i=1,\dots ,k$ nazywamy formą $k$-liniową, funkcjonałem $k$-liniowym lub krótko: $k$-formą lub $k$-tensorem na $V$.

Zbiór $k$-tensorów na $V$ oznaczamy $T^k(V).$

Struktura przestrzeni liniowej

W $T^k(V)$ na przestrzeni liniowej $V$ nad ciałem $K$ wprowadzamy strukturę przestrzeni liniowej definiując działania punktowo:

$(F+G)(x):=F(x)+G(x),$

$(\alpha F)(x):=\alpha F(x)$

dla $x\in V^k$ i $\alpha \in K.$

Iloczyn tensorowy form wieloliniowych

Szablon:Zobacz też Bardzo ważnym działaniem na formach wieloliniowych jest iloczyn tensorowy form wieloliniowych $\otimes :T^k(V)\times T^l(V)\to T^{k+l}(V)$ dany wzorem

$(F\otimes G)(v_1,\dots ,v_k,v_{k+1},\dots ,v_{k+l}):=F(v_1,\dots ,v_k)\cdot G(v_{k+1},\dots ,v_{k+l})$

dla $v_1,\dots ,v_{k+l}\in V.$ Działanie to będziemy w dalszym ciągu nazywać krótko iloczynem tensorowym.

Iloczyn tensorowy jest łączny:

$(F\otimes G)\otimes H=F\otimes (G\otimes H),$

i rozdzielny względem dodawania:

$F\otimes (G+H)=F\otimes G+F\otimes H$

$(F+G)\otimes H=F\otimes H+G\otimes H$

nie jest jednak przemienny:

$F\otimes G\ne G\otimes F.$

Istotnie, załóżmy, że przestrzeń liniowa $V$ ma wymiar $n⩾2$ i rozpatrzmy rzutowania $e^i$ na $i$-tą współrzędną względem bazy $(e_i{)}_{i=1}^n$ tzn. funkcje $e^i:V\to K,i=1,\dots ,n$ dane wzorem

$e^i(v)=e^i\left(\sum _{j=1}^n{v}_j{e}_j\right):=v_i.$

Rzutowania $e^i$ są $1$-formami, ma więc dla nich sens iloczyn tensorowy. Mamy

$e^1\otimes e^2(e_1,e_2)=e^1(e_1)e^2(e_2)=1\cdot 1\ne 0\cdot 0=e^2(e_1)e^1(e_2)=e^2\otimes e^1(e_1,e_2).$

Baza i przedstawienie

Załóżmy, że przestrzeń liniowa $V$ nad $K$ jest $n$-wymiarowa i rozpatrzmy rzutowania na $i$-tą współrzędną względem bazy $(e_i{)}_{i=1}^n$ przestrzeni $V,$ tzn. funkcje $e^i:V\to K$ postaci

$e^i(v)=e^i\left(\sum _{j=1}^n{v}_j{e}_j\right):=v_i.$

Rzutowania te są $1$-formami, ma zatem sens ich iloczyn tensorowy. Utwórzmy iloczyny

$e^{i_1}\otimes \dots \otimes e^{i_k}$

dla pewnych indeksów $1⩽i_1,\dots ,i_k⩽n.$ Iloczyny te stanowią bazę przestrzeń $T^k(V).$ W szczególności wynika z tego, że każdą $k$-formę na $V$ można jednoznacznie przedstawić w postaci

$F=\sum _{i_1,\dots ,i_k=1}^n{r}_{i_1,\dots ,i_k}{e}^{i_1}\otimes \dots \otimes e^{i_k}$

dla pewnych skalarów $r_{i_1,\dots ,i_k}\in K.$

Cofnięcie formy

Rozpatrzmy przestrzeń $T^k(W).$ Każde przekształcenie liniowe $L:V\to W$ indukuje odwzorowanie $L^{*}:T^k(W)\to T^k(V)$ dane wzorem

$L^{*}F(v_1,\dots ,v_k):=F(L{v}_1,\dots ,L{v}_k),$

dla $F\in T^k(W),$ które nazywamy cofnięciem formy. $L^{*}F$ jest już $k$-tensorem na $V.$

Formy antysymetryczne

W matematyce i fizyce szczególne znaczenie mają formy antysymetryczne, gdyż pola tensorów antysymetrycznych to jedyne pola tensorowe, które można całkować. Szablon:Zobacz też

Definicja

Niech $F\in T^k(v).$ Niech $S_k$ oznacza rodzinę permutacji zbioru $\{1,\dots ,k\}.$ Powiemy, że $F$ jest formą antysymetryczną, jeżeli dla dowolnej permutacji $\sigma \in S_k$ zachodzi

$F(v_{\sigma (1)},v_{\sigma (2)},\dots ,v_{\sigma (k)})=\mathrm{sgn}(\sigma )F(v_1,v_2,\dots ,v_k).$

Uwagi do definicji

(1) Innymi słowy $F$ jest formą antysymetryczną, jeżeli zamieniając miejscami dwa dowolne argumenty zmienia się znak formy $F$ na przeciwny.

(2) Ponieważ jedyną permutacją zbioru $\{1\}$ jest identyczność i jej znak wynosi 1, to każda $1$-forma jest antysymetryczna.

(3) Zbiór $k$-form antysymetrycznych na przestrzeni liniowej $V$ oznaczamy ${\mathrm{\Lambda }}^k(V).$

(4) ${\mathrm{\Lambda }}^k(V)$ tworzy przestrzeń liniową wraz z działaniami zdefiniowanymi punktowo.

(5) Z powodu warunku antysymetryczności ${\mathrm{\Lambda }}^k(V)$ na $n$-wymiarowej przestrzeni liniowej $V$ jest przestrzenią liniową $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$-wymiarową. Wynika to z postaci bazy przestrzeni ${\mathrm{\Lambda }}^k(V).$ W szczególności dla $k>n$ formy antysymetryczne są tożsamościowo równe 0.

Antysymetryzacja

Dowolną formę $F\in T^k(V)$ można „przerobić” na formę antysymetryczną za pomocą odwzorowania nazywanego antysymetryzacją albo alternacją $\mathrm{A}\mathrm{l}\mathrm{t}:T^k(V)\to {\mathrm{\Lambda }}^k(V)$ danego wzorem

$\mathrm{A}\mathrm{l}\mathrm{t}F(v_1,\dots ,v_k):=\frac{1}{k!}\sum _{\sigma \in S_k}\mathrm{sgn}(\sigma )F(v_{\sigma (1)},v_{\sigma (2)},\dots ,v_{\sigma (k)}).$

Jeżeli $F\in T^k(V)$ jest formą antysymetryczną to

$\mathrm{A}\mathrm{l}\mathrm{t}F=F,$

czyli odwzorowanie alternacji nie zmienia form antysymetrycznych.

Iloczyn zewnętrzny form wieloliniowych

Ponieważ wynikiem iloczynu tensorowego form antysymetrycznych może nie być forma antysymetryczna, to wprowadza się „poprawiony” iloczyn tensorowy $\wedge :{\mathrm{\Lambda }}^k(V)\times {\mathrm{\Lambda }}^l(V)\to {\mathrm{\Lambda }}^{k+l}(V)$ tak aby wynik mnożenia był formą antysymetryczną. Definiujemy go wzorem

$F\wedge G:=\frac{(k+l)!}{k!l!}\mathrm{A}\mathrm{l}\mathrm{t}(F\otimes G).$

Nazywamy go iloczynem zewnętrznym, albo alternującym. Iloczyn zewnętrzny jest łączny:

$(F\wedge G)\wedge H=F\wedge (G\wedge H),$

rozdzielny względem dodawania:

$(F+G)\wedge H=F\wedge H+G\wedge H,$

$F\wedge (G+H)=F\wedge G+F\wedge H.$

Ponadto zachodzi:

$F\wedge G=(-1{)}^{kl}G\wedge F$

dla $F\in {\mathrm{\Lambda }}^k(V),G\in {\mathrm{\Lambda }}^l(V).$

Baza i przedstawienie

Niech $V$ będzie $n$-wymiarową przestrzenią liniową nad ciałem $K.$ Utwórzmy iloczyny

$e^{i_1}\wedge \dots \wedge e^{i_k}$

dla $1⩽i_1<\dots <i_k⩽n.$ Iloczyny te stanowią bazę przestrzeni ${\mathrm{\Lambda }}^k(V).$ W szczególności wynika z tego, że każdą formę $F\in {\mathrm{\Lambda }}^k(V)$ można jednoznacznie przedstawić w postaci

$F=\sum _{1⩽i_1<\dots <i_k⩽n}{r}_{i_1,\dots ,i_k}{e}^{i_1}\wedge \dots \wedge e^{i_k}$

dla pewnych skalarów $r_{i_1,\dots ,i_k}\in K.$

Przykłady

(1) Zdefiniujmy $F:{ℝ}^2\times {ℝ}^2\to ℝ$ wzorem

$F(x,y)=F((x_1,x_2),(y_1,y_2)):=x_1{y}_1+2x_1{y}_2+3x_2{y}_1+4x_2{y}_2.$

$F$ jest $2$-tensorem. Możemy go zapisać w postaci

$\begin{array}{cc}& F((x_1,x_2),(y_1,y_2))\\ =& e^1(x)e^1(y)+2e^1(x)e^2(y)+3e^2(x)e^1(y)+4e^2(x)e^2(y)\\ =& e^1\otimes e^1(x,y)+2e^1\otimes e^2(x,y)+3e^2\otimes e^1(x,y)+4e^2\otimes e^2(x,y),\end{array}$

gdzie $e^1,e^2:{ℝ}^2\to ℝ$ to rzutowania zdefiniowane

$e^1(x_1,x_2):=x_1,e^2(x_1,x_2):=x_2.$

Widzimy, że $F$ możemy zapisać

$F=e^1\otimes e^1+2e^1\otimes e^2+3e^2\otimes e^1+4e^2\otimes e^2.$

(2) Iloczyn skalarny $⟨\cdot ,\cdot ⟩:V\times V\to ℝ$ to funkcja taka, że

$⟨\alpha v_1+\beta v_2,v⟩=\alpha ⟨v_1,v⟩+\beta ⟨v_2,v⟩,$

$⟨v,\alpha v_1+\beta v_2⟩=\alpha ⟨v,v_1⟩+\beta ⟨v,v_2⟩.$

Wynika z tego, że iloczyn skalarny jest $2$-tensorem na $V.$

(3) Definicja aksjomatyczna wyznacznika mówi, że wyznacznik to funkcja $\det :({ℝ}^n{)}^n\to ℝ$ taka, że

$\det (v_1,\dots ,v_i+{v_i}^{\prime },\dots ,v_n)=\det (v_1,\dots ,v_i,\dots ,v_n)+\det (v_1,\dots ,{v_i}^{\prime },\dots ,v_n),$

$\det (v_1,\dots ,\alpha v_i,\dots ,v_n)=\alpha \det (v_1,\dots ,v_i,\dots ,v_n),$

$\det (v_1,\dots ,v_i,\dots ,v_j,\dots ,v_n)=-\det (v_1,\dots ,v_j,\dots ,v_i,\dots ,v_n),$

Gdzie $v_1,v_2,\dots ,v_n$ oznaczają tutaj kolumny macierzy $(v_1,v_2\dots ,v_n).$ Oznacza to, że wyznacznik jest $n$-tensorem na ${ℝ}^n.$ Co więcej, jest to tensor antysymetryczny.

(4) Niech $V$ będzie przestrzenią liniową z pewną bazą $(e_i{)}_{i=1}^n.$ Obliczmy $e^i\wedge e^j.$ Z definicji iloczynu zewnętrznego mamy

$\begin{array}{cc}& (e^i\wedge e^j)(v_1,v_2)\\ =& \frac{2!}{1!1!}\mathrm{A}\mathrm{l}\mathrm{t}(e^i\otimes e^j)(v_1,v_2)\\ =& 2!\frac{1}{2!}(e^i\otimes e^j(v_1,v_2)-e^i\otimes e^j(v_2,v_1))\\ =& e^i\otimes e^j(v_1,v_2)-e^j\otimes e^i(v_1,v_2).\end{array}$

Widzimy, że

$e^i\wedge e^j=e^i\otimes e^j-e^j\otimes e^i.$

W szczególności wynikają z tego przydatne związki

$e^i\wedge e^j=-e^j\wedge e^i,e^i\wedge e^i=0.$

Zobacz też

• forma różniczkowa
• iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych
• tensor

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę