Rozmaitość różniczkowa

(1) Przykład wprowadzenia rozmaitości różniczkowej klasy $C^0$ na sferze: mapy tworzące tę rozmaitość zawierają linie współrzędnych, które są krzywymi w ogólności niegładkimi (na mapie środkowej i z prawej strony zwrotnik Raka jest krzywą gładką, ale na mapie z lewej ma ostre zagięcie – ta ostatnia krzywa nie ma pochodnej w punkcie zagięcia). (2) Aby rozmaitość różniczkowa była klasy $C^1$ (lub wyższej) trzeba wprowadzić na mapach współrzędne krzywoliniowe, których krzywe współrzędnych są krzywymi gładkim.

Rozmaitość różniczkowa lub rozmaitość różniczkowalna to zbiór, który lokalnie tzn. w otoczeniu każdego punktu wygląda jak ${ℝ}^n$ (ściślej: jak zbiór otwarty w ${ℝ}^n$), ponadto nie ma kantów. Rozmaitości różniczkowe są podstawowym obiektem badań geometrii różniczkowej.

Naturalne przykłady rozmaitości różniczkowych to podzbiory ${ℝ}^n$ takie jak sfera i torus jednakże rozmaitości różniczkowe nie muszą być podzbiorami ${ℝ}^n$ i mogą mieć bardzo złożoną naturę.

Rozmaitość różniczkową definiuje się jako przestrzeń Hausdorffa wyposażoną w zbiór map, które pokrywają całą rozmaitość. Mapy składają się z podzbioru rozmaitości oraz funkcji, która przyporządkowuje punktom tego podzbioru współrzędne. Tę funkcję nazywa się układem współrzędnych. Dopuszcza się istnienia wielu map dla danej rozmaitości, ponieważ w ogólności jedna mapa nie wystarcza do opisania jej w całości. Np. dla sfery nie istnieje (w sensie geometrii różniczkowej) globalny układ współrzędnych, ale można ją odwzorować za pomocą dwóch częściowo pokrywających się map (np. dwóch map nieco większych niż półsfery, zachodzących na siebie), na których wprowadza się współrzędne sferyczne (linie współrzędnych są wtedy funkcjami klasy $C^{\mathrm{\infty }}$).

Bardzo ważnym obiektem związanym z rozmaitościami różniczkowymi jest przestrzeń styczna. Przestrzeń styczna do rozmaitości różniczkowej w punkcie $p$ to intuicyjnie zbiór wektorów stycznych do rozmaitości w tym punkcie. Geometria różniczkowa formalizuje tę intuicję. Przestrzeń styczna pozwala mówić o wektorach na zbiorach, które nie mają struktury przestrzeni liniowej i umożliwia zdefiniowanie pól wektorowych i tensorowych na rozmaitościach. Poprzez zdefiniowanie form różniczkowych i całki z formy możliwe jest uprawianie rachunku różniczkowego i całkowego na rozmaitościach.

Wprowadzenie struktury rozmaitości różniczkowej ma duże znaczenie np. w fizyce: w szczególnej i ogólnej teorii względności czas i przestrzeń modeluje się za pomocą 4-wymiarowej czasoprzestrzeni, która jest rozmaitością różniczkową (przy czym dodatkowo określa się geometrię czasoprzestrzeni definiując tzw. tensor metryczny).

Definicja

Mapą na przestrzeni topologicznej $M$ w otoczeniu punktu $p\in M$ nazwiemy parę $(U,\phi )$, gdzie $U\subset M$ zawiera $p$, a $\phi :U\to \phi (U)\subset {ℝ}^n$ jest homeomorfizmem. Zbiór $U$ nazywamy dziedziną mapy $(U,\phi )$, funkcję $\phi$ nazywamy układem współrzędnych w otoczeniu punktu $p$, funkcję do niej odwrotną ${\phi }^{-1}$ nazywa się parametryzacją w otoczeniu punktu $p$, a funkcje $x^i:={\pi }^i\circ \phi :U\to ℝ$, gdzie ${\pi }^i:{ℝ}^n\to ℝ$ są rzutowaniami na $i$-tą współrzędną względem bazy standardowej ${ℝ}^n$:

${\pi }^i(x_1,x_2,\dots ,x_n):=x_i$

nazywamy współrzędnymi wyznaczonymi przez mapę $(U,\phi )$. Zbiór map, których dziedziny pokrywają całe $M$ nazywamy atlasem na $M$. Przestrzeń Hausdorffa na której istnieje $n$-wymiarowy atlas nazywamy $n$-wymiarową rozmaitością topologiczną.

Atlas $𝔐$ na $M$ nazwiemy klasy $C^r$ jeżeli dla dowolnych dwóch map $(U,\phi ),(V,\psi )\in 𝔐$ takich, że $U\cap V\ne \mathrm{\varnothing }$ odwzorowania zamiany współrzędnych $\phi \circ {\psi }^{-1}:\psi (U\cap V)\to \phi (U\cap V)$ i $\psi \circ {\phi }^{-1}:\phi (U\cap V)\to \psi (U\cap V)$ są klasy $C^r$.

Mapę $(U,\phi )$ na $M$ nazwiemy $C^r$-zgodną z atlasem $𝔐$ na $M$ jeżeli dla każdej mapy $(V,\psi )\in 𝔐$ takiej, że $U\cap V\ne \mathrm{\varnothing }$ odwzorowania zamiany współrzędnych są klasy $C^r$.

Mając dany atlas $𝔐$ klasy $C^r$ na $M$ możemy dołączyć do niego wszystkie mapy $C^r$-zgodne z nim. W ten sposób otrzymamy maksymalny atlas $\overline{𝔐}$. Parę: rozmaitość topologiczną wraz z maksymalnym atlasem klasy $C^r$ nazywamy rozmaitością różniczkową klasy $C^r$.

Funkcje różniczkowalne pomiędzy rozmaitościami

Niech $M,N$ będą rozmaitościami różniczkowymi klasy $C^k$ i niech $f:M\to N$. Powiemy, że funkcja $f$ jest różniczkowalna klasy $C^r$ ($r⩽k$) w punkcie $p$ jeżeli dla pewnej mapy $(U,\phi )$ w otoczeniu punktu $p$ i dla pewnej mapy $(V,\psi )$ w otoczeniu punktu $f(p)$ funkcja $F:=\psi \circ f\circ {\phi }^{-1}:\phi (U)\to \psi (V)$ jest różniczkowalna, klasy $C^r$ w punkcie $\phi (p)$.

W definicji korzystamy z pewnych map, ale definicja nie zależy od wyboru map, gdyż dla innych map $(U_1,{\phi }_1),(V_1,{\psi }_1)$ w otoczeniu odpowiednio $p$ i $f(p)$ mamy

$F_1={\psi }_1\circ f\circ {\phi }_1^{-1}=({\psi }_1\circ {\psi }^{-1})\circ (\psi \circ f\circ {\phi }^{-1})\circ (\phi \circ {\phi }_1^{-1})=({\psi }_1\circ {\psi }^{-1})\circ F\circ (\phi \circ {\phi }_1^{-1}).$

Ponieważ odwzorowania zamiany współrzędnych ${\psi }_1\circ {\psi }^{-1}$ i $\phi \circ {\phi }_1^{-1}$ są klasy $C^k$, to $F$ i $F_1$ są tej samej klasy gładkości.

Funkcję $f:M\to N$ pomiędzy rozmaitościami nazywamy różniczkowalną klasy $C^r$ jeżeli jest różniczkowalna klasy $C^r$ w każdym punkcie swojej dziedziny.

Przestrzeń styczna

Szablon:Zobacz też Przestrzeń styczna do $n$-wymiarowej rozmaitości różniczkowej $M$ w punkcie $p$ to intuicyjnie zbiór wektorów stycznych do rozmaitości w tym punkcie. Wektory te rozpinają $n$-wymiarową przestrzeń liniową co pozwala mówić o wektorach na zbiorach, które nie mają struktury przestrzeni liniowej. Poniższa konstrukcja formalizuje tę intuicję.

Krzywą klasy $C^r$ na $M$ przechodzącą przez punkt $p$ nazwiemy odwzorowanie $\gamma$ klasy $C^r$ dowolnego przedziału $(-ϵ,ϵ)\subset ℝ$ w $M$ takie, że $\gamma (0)=p$. Oznaczmy zbiór krzywych klasy $C^1$ przechodzących przez punkt $p$ przez ${\overline{T}}_{p}M$. W ${\overline{T}}_{p}M$ dokonamy utożsamienia krzywych, które po przeniesieniu do ${ℝ}^n$ za pomocą pewnej mapy $(U,\phi )$ mają równy wektor styczny w zerze. Mianowicie w ${\overline{T}}_{p}M$ wprowadźmy relację

${\gamma }_1\sim {\gamma }_2\iff \frac{d}{dt}(\phi \circ {\gamma }_1)(0)=\frac{d}{dt}(\phi \circ {\gamma }_2)(0).$

Relacja $\sim$ jest relacją równoważności. Relacja ta nie zależy od wyboru mapy $(U,\phi )$. Oznaczmy zbiór klas abstrakcji relacji $\sim$ przez $T_{p}M$. $T_{p}M$ nazywamy przestrzenią styczną do $M$ w punkcie $p$.

Zdefiniujmy funkcję ${\mathrm{\Theta }}_{\phi }:T_{p}M\to {ℝ}^n$ wzorem

${\mathrm{\Theta }}_{\phi }([\gamma ]):=\frac{d}{dt}(\phi \circ \gamma )(0)$,

gdzie $[\gamma ]$ oznacza klasę abstrakcji krzywej $\gamma$. ${\mathrm{\Theta }}_{\phi }$ jest bijekcją i pozwala przenieść strukturę przestrzeni liniowej z ${ℝ}^n$ do $T_{p}M$. Działania dodawania wektorów z $T_{p}M$ i mnożenia ich przez skalar definiujemy mianowicie w następujący sposób.

$v+w:={\mathrm{\Theta }}_{\phi }^{-1}({\mathrm{\Theta }}_{\phi }(v)+{\mathrm{\Theta }}_{\phi }(w))$,

$\alpha \cdot v:={\mathrm{\Theta }}_{\phi }^{-1}(\alpha \cdot {\mathrm{\Theta }}_{\phi }(v)).$

Struktura liniowa w $T_{p}M$ uzyskana w ten sposób nie zależy od wyboru mapy $(U,\phi )$.

Mapa $(U,\phi )$ w otoczeniu punktu $p\in M$ na $n$-wymiarowej rozmaitości indukuje bazę $T_{p}M$ daną wzorami

$\frac{\partial }{\partial {\phi }_i}:={\mathrm{\Theta }}_{\phi }^{-1}(e_i),i=1,\dots ,n,$

gdzie $(e_i)$ oznacza bazę standardową ${ℝ}^n$. Bazę tę nazywamy bazą naturalną dla mapy $(U,\phi )$. Wektory tej bazy oznacza się również $\frac{\partial }{\partial x_i},{\partial }_i$ lub podobnie.

Algebry funkcji C^r(M) i C^r(M, p)

Szablon:Zobacz też Dla rozmaitości różniczkowej $M$ klasy $C^r$ oznaczmy zbiór funkcji $f:M\to ℝ$ różniczkowalnych klasy $C^r$ przez $C^r(M).$ $C^r(M)$ tworzy algebrę nad $ℝ$ z działaniami zdefiniowanymi punktowo.

Dla punktu $p$ na rozmaitości różniczkowej $M$ rozpatrzmy zbiór par postaci $(f,U)$, gdzie $U$ jest pewnym otoczeniem punktu $p$, a $f:U\to ℝ$ jest funkcją różniczkowalną klasy $C^r$. W zbiorze tym wprowadźmy relację $\sim$

$(f_1,U_1)\sim (f_2,U_2)\iff$ istnieje otoczenie $U\subset U_1\cap U_2$ punktu $p$ takie, że $f_1(x)=f_2(x)$ dla $x\in U$

Relacja $\sim$ jest relacją równoważności. Klasy abstrakcji tej relacji nazywamy kiełkami funkcji klasy $C^r$ w otoczeniu punktu $p$. Ich zbiór oznaczamy $C^r(M,p)$. W $C^r(M,p)$ możemy wprowadzić strukturę algebry nad $ℝ$ definiując działania

$[(f,U)]+[(g,V)]:=[(f+g,U\cap V)],$

$\alpha [(f,U)]:=[(\alpha f,U)],$

$[(f,U)]\cdot [(g,V)]:=[(f\cdot g,U\cap V)],$

gdzie $[(f,U)]$ oznacza klasę abstrakcji pary $(f,U).$

Przestrzeń kostyczna

Szablon:Zobacz też Przestrzeń $T_p^{*}M$ dualną do przestrzeni $T_{p}M$ nazywamy przestrzenią kostyczną do $M$ w punkcie $p$.

Dla funkcji $f\in C^{\mathrm{\infty }}(M,p)$ zdefiniujmy odwzorowanie $df:T_{p}M\to ℝ$ wzorem

$df([\gamma ]):=\frac{d}{dt}(f\circ \gamma )(0).$

Dla $x^i:={\pi }^i\circ \phi$ różniczki $d{x}^i:T_{p}M\to ℝ$ są bazą dualną do bazy $\left(\frac{\partial }{\partial x_i}\right)$ naturalnej dla mapy $(U,\phi )$ tzn. spełniają równania

$d{x}^i(v)=d{x}^i\left(\sum _{j=1}^n{v}_j\frac{\partial }{\partial x_j}\right)=v_i,i=1,\dots ,n.$

Odwzorowanie styczne

Szablon:Zobacz też Uogólnieniem pochodnej funkcji $f:{ℝ}^n\to {ℝ}^m$ na przypadek funkcji pomiędzy rozmaitościami jest tzw. odwzorowanie styczne. Niech $M,N$ będą rozmaitościami różniczkowymi. Odwzorowaniem stycznym funkcji $f:M\to N$ różniczkowalnej w punkcie $p\in M$ nazywamy odwzorowanie $T_{p}f:T_{p}M\to T_{f(p)}N$ dane wzorem

$T_{p}f([\gamma ]):=[f\circ \gamma ].$

Odwzorowanie styczne przyjmuje jako argumenty wektory styczne z $T_{p}M$ i "przenosi je" do przestrzeni stycznej $T_{f(p)}N$ analogicznie do pochodnej $Df(p)$ funkcji $f:{ℝ}^n\to {ℝ}^m$, która przenosi wektory z ${ℝ}^n$ do ${ℝ}^m$. Odwzorowanie $T_{p}f$ nazywa się również pochodną funkcji $f$ w punkcie $p$ lub różniczką funkcji $f$ w punkcie $p$ i oznacza $d_{p}f$ lub podobnie.

Korzystając z mapy $(U,\phi )$ w otoczeniu punktu $p\in M$ oraz mapy $(V,\psi )$ w otoczeniu punktu $f(p)$ można badanie różniczkowalnej funkcji $f:M\to N$ sprowadzić do badania odwzorowania $\mathrm{\Phi }:=\psi \circ f\circ {\phi }^{-1}$. Wówczas odwzorowanie styczne $T_p\mathrm{\Phi }$ można zinterpretować jako pochodną $D\mathrm{\Phi }(p)$ w sensie zwykłego rachunku różniczkowego na ${ℝ}^n$.

Pola tensorowe na rozmaitościach

Szablon:Zobacz też Niech $T^{r,s}(V)$ oznacza zbiór tensorów typu $(r,s)$ $r$-krotnie kowariantnych i $s$-krotnie kontrawariantnych na przestrzeni liniowej $V$. Funkcję $t:M\to \bigcup _{p\in M}{T}^{r,s}(T_{p}M)$ taką, że $t(p)\in T^{r,s}(T_{p}M)$ nazywamy polem tensorowym typu $(r,s)$ na $M$ $r$-krotnie kowariantnym i $s$-krotnie kontrawariantnym. Innymi słowy pole tensorowe to funkcja, która każdemu punktowi $p$ przyporządkowuje tensor na przestrzeni stycznej do rozmaitości w tym punkcie.

W bazie naturalnej dla mapy $(U,\phi )$ można pole tensorowe $t$ na $n$-wymiarowej rozmaitości przedstawić lokalnie tzn. w dziedzinie tej mapy w następujący sposób

$t=\sum _{i_1,\dots ,i_r,j_1,\dots ,j_s=1}^n{t}_{i_1,\dots ,i_r}^{j_1,\dots ,j_s}d{x}^{i_1}\otimes \dots \otimes d{x}^{i_r}\otimes \frac{\partial }{\partial x_{j_1}}\otimes \dots \otimes \frac{\partial }{\partial x_{j_s}},$

gdzie $\otimes$ oznacza iloczyn tensorowy, a $(d{x}^i(p))$ oznacza bazę dualną do bazy $\left(\frac{\partial }{\partial x_i}\right)$ tzn. daną wzorami

$d{x}^i(p)(v)=d{x}^i(p)\left(\sum _{j=1}^n{v}_j\frac{\partial }{\partial x_j}\right)=v_i.$

Funkcje $t_{i_1,\dots ,i_r}^{j_1,\dots ,j_s}:U\to ℝ$ nazywamy naturalnymi współrzędnymi pola $t$ (w mapie $(U,\phi )$). Jeżeli funkcje te są klasy $C^k$ (gładkie) w punkcie $p\in M$ to pole $t$ nazywamy klasy $C^k$ (gładkim) w punkcie $p$. Definicja ta nie zależy od wyboru mapy. Pole $t$ nazywamy klasy $C^k$ (gładkim) jeżeli jest klasy $C^k$ (gładkim) w każdym punkcie rozmaitości.

Rachunek różniczkowy i całkowy na rozmaitościach

Szablon:Zobacz też Bardzo ważnymi polami tensorowymi są antysymetryczne, kowariantne pola tensorowe, czyli formy różniczkowe, ponieważ to jedyne pola tensorowe, które można całkować. W lokalnym układzie współrzędnych $x^i:={\pi }^i\circ \phi$ można lokalnie, tzn. w dziedzinie mapy $(U,\phi )$, przedstawić $k$-formę różniczkową $\omega$ na $n$-wymairowej rozmaitości różniczkowej $M\supset U$ w postaci

$\omega =\sum _{1⩽i_1<\dots <i_k⩽n}{f}_{i_1,\dots ,i_k}d{x}^{i_1}\wedge \dots \wedge d{x}^{i_k},$

gdzie $\wedge$ oznacza tzw. iloczyn zewnętrzny.

Jeżeli forma różniczkowa $\omega$ na $M$ ma nośnik zwarty i zawarty w dziedzinie mapy $U\subset M$ to całkę z niej definiujemy

$\underset{U}{\int }\omega :=\underset{\phi (U)}{\int }({\phi }^{-1}{)}^{*}\omega ,$

gdzie $({\phi }^{-1}{)}^{*}\omega$ to forma cofnięta przez parametryzację ${\phi }^{-1}$. $({\phi }^{-1}{)}^{*}\omega$ jest już formą różniczkową na zbiorze otwartym w ${ℝ}^n$ i całkę z niej można zdefiniować jako całkę Lebesgue'a.

W przypadku ogólnej formy różniczkowej $\omega$ na zwartej rozmaitości różniczkowej $M$ korzystamy z gładkiego rozkładu jedynki, żeby przedstawić $\omega$ w postaci

$\omega =\sum _{i=1}^n\omega {\lambda }_i.$

${\omega }_i:=\omega {\lambda }_i$ ma już nośnik zwarty i zawarty w dziedzinie pewnej mapy $U_i\subset M$ w związku z czym możemy zdefiniować

$\underset{M}{\int }\omega :=\sum _{i=1}^n\underset{U_i}{\int }{\omega }_i.$

Formy różniczkowe można też różniczkować. Pochodną zewnętrzną formy $\omega =\sum _{1⩽i_1<\dots <i_k⩽n}{f}_{i_1,\dots ,i_k}d{x}^{i_1}\wedge \dots \wedge d{x}^{i_k}$ definiujemy jako

$d\omega :=\sum _{1⩽i_1<\dots <i_k⩽n}d{f}_{i_1,\dots ,i_k}\wedge d{x}^{i_1}\wedge \dots \wedge d{x}^{i_k},$

gdzie $d{f}_{i_1,\dots ,i_k}$ oznacza odwzorowanie styczne funkcji $f_{i_1,\dots ,i_k}$. W definicji korzystamy z pewnej mapy, ale pochodna zewnętrzna nie zależy od wyboru mapy.

Głównym twierdzeniem rachunku form różniczkowych jest Ogólne twierdzenie Stokes'a: Jeżeli $M$ jest zwartą, zorientowaną, $n$-wymiarową rozmaitością różniczkową z brzegiem $\partial M$, to dla $(n-1)$-formy $\omega$ na $M$

$\underset{M}{\int }d\omega =\underset{\partial M}{\int }\omega .$

Rozmaitości gładkie

Przestrzeń styczna

Szablon:Zobacz też Jeżeli w definicji rozmaitości różniczkowej przyjemy $r=\mathrm{\infty }$ to otrzymaną rozmaitość nazwiemy rozmaitością gładką. Rozmaitości gładkie różnią się od pozostałych rozmaitości tym, że w ich przypadku przestrzeń styczną można zdefiniować w sposób algebraiczny.

Niech $M$ będzie rozmaitością gładką. Funkcjonałem różniczkowym na algebrze $C^{\mathrm{\infty }}(M,p)$ nazwiemy funkcjonał liniowy $D:C^{\mathrm{\infty }}(M,p)\to ℝ$ taki, że dla każdych $f,g\in C^{\mathrm{\infty }}(M,p)$

$D(fg)=Df\cdot g(p)+f(p)\cdot Dg.$

Przestrzenią styczną do $M$ w punkcie $p$ nazywamy przestrzeń liniową funkcjonałów różniczkowych na $C^{\mathrm{\infty }}(M,p)$. Oznaczmy ją $T_p^{0}M$. Zdefiniujmy ${\gamma }_{*}\in T_p^{0}M$ wzorem

${\gamma }_{*}(f):=\frac{d}{dt}(f\circ \gamma )(0)$.

Funkcja $\varkappa :T_{p}M\to T_p^{0}M$ dana wzorem

$\varkappa ([\gamma ]):={\gamma }_{*}$

jest naturalnym izomorfizmem (tzn. izomorfizmem niezależnym od wyboru bazy).

Definicja "algebraiczna" jest bardziej abstrakcyjna i mniej intuicyjna, ale często wygodna w użyciu.

Pola wektorowe

Szablon:Zobacz też Niech $M$ będzie gładką rozmaitością różniczkową i niech $X$ będzie polem wektorowym na $M$. Ponieważ dla $p\in M$ $X_p:=X(p)$ jest już wektorem stycznym z $T_{p}M$ to w związku z tym, co zostało powiedziane w poprzednim podrozdziale można $X_p$ uważać za funkcjonał różniczkowy. Wynika z tego, że pole wektorowe $X$ na $M$ przyporządkowuje funkcji $f\in C^{\mathrm{\infty }}(M)$ funkcję $Xf\in C^{\mathrm{\infty }}(M)$ daną wzorem

$(Xf)(p):=X_{p}f\in ℝ.$

Na rozmaitościach gładkich można pola wektorowe, podobnie jak przestrzeń styczną, zdefiniować czysto algebraicznie jako różniczkowania: dla pola wektorowego $X$ funkcja $\tilde{X}:C^{\mathrm{\infty }}(M)\to C^{\mathrm{\infty }}(M)$ dana wzorem

$\tilde{X}f:=\tilde{X}(f):=Xf$

jest różniczkowaniem algebry $C^{\mathrm{\infty }}(M)$ tzn. dla dowolnych $f,g\in C^{\mathrm{\infty }}(M)$ spełnia

$\tilde{X}(fg)=\tilde{X}f\cdot g+f\cdot \tilde{X}g.$

Odwrotnie: jeżeli $D$ jest liniowym różniczkowaniem algebry $C^{\mathrm{\infty }}(M)$ to

$Df=\tilde{X}f$

dla pewnego pola wektorowego $X$ na $M.$

Rozmaitości Riemannowskie

Szablon:Zobacz też Tensorem metrycznym na rozmaitości różniczkowej $M$ nazywamy dwukrotnie kowariantne pole tensorowe $g$ takie, że $g(p):T_{p}M\times T_{p}M\to ℝ$ jest iloczynem skalarnym tzn. dodatnio określoną, symetryczną formą dwuliniową. Parę: rozmaitość różniczkową wraz ze zdefiniowanym na niej tensorem metrycznym nazywamy rozmaitością riemannowską.

W mapie $(U,\phi )$ możemy lokalnie przedstawić $g$ na $n$-wymiarowej rozmaitości różniczkowej w postaci

$g=\sum _{i,j=1}^n{g}_{i,j}d{x}^i\otimes d{x}^j.$

Dzięki strukturze riemannowskiej można mówić o kątach pomiędzy wektorami, o długości krzywych na rozmaitości. Dzięki temu możliwe jest zdefiniowanie linii geodezyjnych.

Zobacz też

Pojęcia ogólne

• Rozmaitość różniczkowa w ${ℝ}^n$
• rozmaitość riemannowska
• rozmaitość pseudoriemannowska
• współrzędne uogólnione

Operacje różniczkowe

• dywergencja
• gradient
• rotacja
• Laplasjan

Inne

• wektor styczny
• wektor normalny

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę