Funkcja różniczkowalna

Funkcja różniczkowalna – funkcja, która ma pochodną w każdym punkcie swojej dziedziny i której wartość w każdym jej punkcie jest skończona (różna od $\mathrm{\infty }$ i $-\mathrm{\infty }$).

W szczególności funkcja pochodna danej funkcji określona jest w tej samej dziedzinie co funkcja.

Funkcja n-krotnie różniczkowalna

Definicja:

(1) Jeżeli funkcja $f$ ma pochodną $g\equiv f^{{}^{\prime }}$ określoną w zbiorze $A$ oraz funkcja $g$ ma pochodną $h\equiv g^{{}^{\prime }}$ określoną w zbiorze $B\subset A$ to mówimy, że

• $f$ jest dwukrotnie różniczkowalna w zbiorze $B,$
• funkcja $h$ jest drugą pochodną funkcji $f$ określoną na zbiorze $B.$

(2) Funkcję nazywa się $n$-krotnie różniczkowalną, jeżeli istnieje $n$ kolejnych pochodnych obliczonych z danej funkcji.

Funkcja klasy Cⁿ

Motywacja

Jeżeli dana funkcja jest różniczkowalna w całej dziedzinie, to nie oznacza automatycznie, że funkcja pochodna jest ciągła. Jeżeli funkcja pochodna jest ciągła, to o samej funkcji mówi się, że jest klasy $C^1.$ Szerszą klasę funkcji o których pochodnych nie zakładamy ciągłości nazywamy $D^1.$ Czasem potrzebne jest wymaganie, by pochodna $n$-tego rzędu była ciągła – stąd ogólna definicja funkcji klasy $C^n.$ Klasa $C^0$określa funkcje ciągłe - nie muszą być różniczkowalne w ani jednym punkcie.

Uwaga powyższa dotyczy funkcji zmiennej rzeczywistej – w przypadku funkcji zmiennej zespolonej różniczkowalność automatycznie pociąga za sobą analityczność.

Definicja

(1) Funkcję $f$ określoną na przedziale $(a,b)$ nazywa się funkcją klasy $C^n,$ gdzie $n=1,2,\dots ,$ jeżeli w przedziale $(a,b)$ ma $n$ ciągłych pochodnych.

(2) Funkcje klasy $C^0$ to funkcje ciągłe.

(3) Funkcje klasy $C^{\mathrm{\infty }}$ (C-nieskończoność) to funkcje różniczkowalne dowolną liczbę razy. Klasę $C^{\mathrm{\infty }}$ nazywa się też klasą funkcji gładkich.

Przykłady

• Funkcja klasy $C^1(ℝ)$ jest funkcją ciągłą, której pochodna też jest ciągła.
• Wielomiany, funkcje wykładnicze, sinus i cosinus, sinus hiperboliczny, cosinus hiperboliczny i tangens hiperboliczny, są funkcjami klasy $C^{\mathrm{\infty }}(ℝ).$
• Funkcja $f(x)=|x|$ jest klasy $C^0(ℝ),$ ale nie klasy $C^1(ℝ).$
• Funkcja dana wzorem:

$f(x)=\{\begin{array}{cc}{x}^3\cdot \sin \left(\frac{1}{x}\right),& \mathrm{g}\mathrm{d}\mathrm{y}x\ne 0,\\ 0,& \mathrm{g}\mathrm{d}\mathrm{y}x=0\end{array}$

jest klasy $C^1(ℝ),$ ale nie jest klasy $C^2(ℝ).$

Zobacz też

• funkcja całkowalna
• funkcja holomorficzna