Funkcja wykładnicza

Wykres przykładowej funkcji wykładniczej $y=a^x,$ gdzie $0<a<1,$ w kartezjańskim układzie współrzędnych

Funkcja wykładnicza, funkcja eksponencjalna – dwojako definiowany typ funkcji matematycznej:

• w sensie szerokim jest to dowolna funkcja postaci $f(x)=a^x,$ gdzie $a>0$Szablon:Odn. Liczba $a$ – podstawa tej potęgi – jest nazywana podstawą funkcji wykładniczej;
• w sensie wąskim jest to funkcja opisana powyższym wzorem przy dodatkowym warunku $a\ne 1$ – wyklucza się przypadek $a=1,$ kiedy ten wzór daje funkcję stałąSzablon:Odn.

Dziedziną takich funkcji może być cała oś rzeczywista $(f:ℝ\to ℝ)$ lub płaszczyzna zespolona $(f:ℂ\to ℂ).$ W pierwszym wypadku:

• zbiorem wartości jest półoś wszystkich liczb dodatnich $({ℝ}_{+})$ – funkcja ta jest ograniczona z dołu, ale nie z góry;
• funkcje te są monotoniczne w całej dziedzinie: dla $a>1$ są rosnące, a dla $0<a<1$ – malejące;
• w związku z powyższymi faktami:
  • granicą takich funkcji w jednej z nieskończoności jest zero; oś pozioma jest dla nich asymptotą jednostronną – lewostronną dla funkcji rosnących i prawostronną dla malejących;
  • granica w drugiej nieskończoności jest niewłaściwa;
• funkcje te są ciągłe, a do tego gładkie i analityczne; ich rozwinięcie w szereg podano w dalszej sekcji;
• wykresy takich funkcji w kartezjańskim układzie współrzędnych są znane jako krzywe wykładnicze.

Funkcjami wykładniczymi definiuje się inne, np. logarytmy, funkcje hiperboliczne i pośrednio polowe (area), a wzór Eulera opisuje związek funkcji wykładniczych z trygonometrycznymi. Te wszystkie rodziny funkcji są zaliczane do elementarnych. Z funkcji wykładniczych korzystają różne działy matematyki, nauk empirycznych i technicznych.

Własności

Algebraiczne

• $a^{x+y}=a^x\cdot a^y,$
• $a^{x-y}=\frac{a^x}{a^y}.$

Analityczne

• Funkcja wykładnicza o podstawie $a>1$ jest (przy argumencie dążącym do $+\mathrm{\infty }$) asymptotycznie większa niż funkcja wielomianowa, mniejsza zaś niż silnia.

• Pochodna funkcji wykładniczej to:

$\begin{array}{cc}(a^x{)}^{\prime }& =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{a^{x+\mathrm{\Delta }x}-a^x}{\mathrm{\Delta }x}=\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }{a}^x\frac{a^{\mathrm{\Delta }x}-1}{\mathrm{\Delta }x}=\\ & =a^x\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{a^{\mathrm{\Delta }x}-1}{\mathrm{\Delta }x}=\\ & =a^x\ln a;\end{array}$

dowód jest w artykule: logarytm naturalny.

W szczególności dla $a=e$ zachodzi:

$(e^x{)}^{\prime }=e^x.$

Eksponens

Wykres funkcji $y=e^x=\exp x,$ zwanej eksponensem, w kartezjańskim układzie współrzędnych; liczba $e$ to podstawa logarytmu naturalnego.

Szczególnym przypadkiem funkcji wykładniczej jest ta o podstawie równej $e$ – podstawie logarytmu naturalnego. Innym oznaczeniem takiej funkcji jest $\exp (x)$ nazywane krótko eksponensem.

Cechą funkcji $f(x)=e^x$ jest to, że jej pochodna jest równa jej samej. Zastosowanie metody łamanych Eulera do rozwiązywania równania różniczkowego

$\dot{x}=x$

przy warunku początkowym

$x(0)=1$

daje wzór na funkcję eksponencjalną:

$\exp (x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{x}{n})}^n.$

Eksponens jako funkcję analityczną na mocy twierdzenia Taylora można rozwinąć w szereg potęgowy: $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}.$

Dziedzina zespolona

Wykres $e^z$ na płaszczyźnie zespolonej uzyskany techniką kolorowania dziedziny

Funkcję eksponencjalną łatwo uogólnić na ciało liczb zespolonych. Jedną z metod jest wykorzystanie rozwinięcia funkcji w szereg Taylora i podstawienie zespolonego argumentu w miejsce rzeczywistego:

$e^z=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{n!}.$

Jest to funkcja okresowa z okresem $2\pi i$ i można ją zapisać jako:

$e^{a+bi}=e^a(\cos b+i\sin b),$

gdzie $a$ i $b$ to odpowiednio współczynniki części rzeczywistej i urojonej danej liczby zespolonej.

Funkcja eksponencjalna w dziedzinie liczb zespolonych zachowuje następujące własności

• $e^{z+w}=e^z{e}^w,$
• $e^0=1,$
• $e^z\ne 0,$
• $\frac{d}{dz}{e}^z=e^z,$
• $(e^z{)}^n=e^{nz},n\in \mathbb{Z}$

dla wszystkich $z$ i $w.$

Funkcja eksponencjalna jest całkowita i holomorficzna w całym zbiorze liczb zespolonych. Jej wartościami są wszystkie liczby zespolone z wyjątkiem 0.

Przykłady i zastosowania

Matematyka

• Notacja wykładnicza do zapisywania dużych liczb. Nazwy dużych liczb (większych niż miliard) są niewygodne w użyciu i różnią się między krajami, prowadząc do potencjalnych nieporozumień.
• Funkcja wykładnicza razem z odpowiednim logarytmem pozwala sprowadzać mnożenie i dzielenie do dodawania i odejmowania. To miało znaczenie w czasach tablic i suwaków logarytmicznych, używanych przed rozpowszechnieniem się kalkulatorów.
• Ciąg geometryczny oraz suma szeregu geometrycznego, por. procent składany.
• Ciąg Fibonacciego jest opisany wzorem Bineta zawierającym funkcję wykładniczą. Podobnie jest z każdym ciągiem rekurencyjnym.
• Kombinatoryka: liczba wariacji z powtórzeniami jest wykładniczą funkcją długości ciągu. Przykładowo liczba możliwych haseł jest wykładniczą funkcją jego długości.
• Rozkład normalny jest opisany przez złożenie funkcji wykładniczej z kwadratową.
• Funkcja gęstości prawdopodobieństwa rozkładu Poissona zawiera funkcję wykładniczą.
• Funkcje hiperboliczne są zdefiniowane przez funkcję wykładniczą.
• Algorytmika: niektóre problemy mają złożoność wykładniczą.

Fizyka

• Zależność prędkości od czasu w ruchu z oporem ośrodka jest opisana funkcją wykładniczą: zarówno przy liniowej zależności siły oporu od prędkości (prawo Stokesa), jak i przy zależności kwadratowej.
• Ładowanie i rozładowywanie kondensatora jest opisane wykładniczą funkcją czasuSzablon:Odn. Analogicznie jest z napięciem i natężeniem prądu w obwodzie prądu stałego z cewką.
• Tłumienie silne oraz krytyczne drgań sprawia, że zmiany są opisane funkcją wykładniczą.
• Rozkład Maxwella w fizyce statystycznej.
• Funkcja wykładnicza pojawia się w rozkładzie Plancka opisującym promieniowanie cieplne ciał.
• Odkryty przez Rutherforda czas połowicznego rozpadu pozwala modelować radioaktywność przez funkcję wykładniczą.

Inne nauki

• Liczebność populacji w idealnych warunkach rośnie wykładniczo.
• Prawo Moore’a w elektronice i informatyce.

Zobacz też

• eksponenta macierzy
• homomorfizm

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

Polskojęzyczne

• Funkcja wykładnicza – wykładniczy wzrost i zanik, kanał Khan Academy na YouTube [dostęp 2024-04-11].

Anglojęzyczne

• Szablon:MathWorld [dostęp 2024-04-11].
• Szablon:MathWorld [dostęp 2024-04-11].
• Szablon:Otwarty dostęp Exponential function Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].