Funkcja kwadratowa

Wykres przykładowej funkcji kwadratowej w kartezjańskim układzie współrzędnych: $f (x) = x^{2} - x - 2 .$ Ma ona dwa miejsca zerowe (pierwiastki): $f (- 1) = f (2) = 0,$ $x_{1} = - 1, x_{2} = 2 .$ Pozwala to na zapis w postaci iloczynowej – rozkład na czynniki liniowe: $f (x) = (x - x_{1}) (x - x_{2}) =$ $(x + 1) (x - 2) .$

Funkcja kwadratowa, funkcja stopnia drugiegoSzablon:Odn – typ funkcji matematycznej o co najmniej dwóch równoważnych definicjach^[1]:

$f (x) = a x^{2} + b x + c,$

gdzie

a, b, c

są pewnymi stałymi, przy czym

a \neq 0

^{[uwaga 1]};

$f (x) = a (x - p)^{2} + q,$

gdzie

p, q

również są dowolnymi stałymi.

Pierwszy wzór jest znany jako postać ogólna funkcji kwadratowej lub trójmian kwadratowy^[2], a drugi jako postać kanoniczna^[3]. Definicje te są równoważne, ponieważ pierwszą postać można zawsze przekształcić do drugiej i odwrotnie, co opisano w dalszej sekcji.

Dziedziną funkcji kwadratowej mogą być liczby rzeczywiste, co przy rzeczywistych współczynnikach daje też rzeczywisty zbiór wartości: $f [ℝ] \subset ℝ$ . Przez to za przeciwdziedzinę można przyjąć oś rzeczywistą lub jej podzbiór; taka funkcja jest przykładem funkcji rzeczywistej, a jej wykresem jest parabola^[1]. Funkcje kwadratowe można też definiować dla argumentów zespolonych i z innych zbiorów z działaniami dodawania i mnożenia; algebra abstrakcyjna nazywa część takich struktur ciałami, pierścieniami i półpierścieniami, zależnie od własności tych działań.

Zagadnienie miejsc zerowych takiej funkcji to równanie kwadratowe. Jeśli ma ono rozwiązania, to istnieje także postać iloczynowa takiej funkcji^[4] – rozkład na czynniki liniowe Szablon:Odn. W dalszej sekcji opisano ją bliżej, m.in. pokazano, że zawsze można przekształcić taką postać do dwóch pozostałych.

Uogólnienia funkcji kwadratowych to:

funkcje wielomianowe^{[uwaga 2]} wyższych stopni – funkcja kwadratowa ma stopień dwaSzablon:Odn;
formy kwadratowe – można je traktować jako funkcje wielu zmiennych.

Postacie funkcji kwadratowej

Ogólna (wielomianowa) i kanoniczna

Postać ogólną można przekształcić do kanonicznej i odwrotnie za pomocą wzorów skróconego mnożenia, konkretniej kwadratu sumy:

$\begin{matrix} a (x - p)^{2} + q & = a (x^{2} - 2 p x + p^{2}) + q = \\ = a x^{2} - 2 a p x + a p^{2} + q, \end{matrix}$

co daje wzory^[5]:

$\begin{matrix} b & = - 2 a p, c = a p^{2} + q, \\ p & = - \frac{b}{2 a}, \\ q & = c - a p^{2} = c - a \cdot \frac{b^{2}}{4 a^{2}} = \\ = \frac{4 a c}{4 a} - \frac{b^{2}}{4 a} = - \frac{Δ}{4 a}, \\ Δ & : = b^{2} - 4 a c . \end{matrix}$

Wyrażenie $Δ$ (delta) nazywa się wyróżnikiem funkcji kwadratowej $f$ ^[5]. Z postaci ogólnej do kanonicznej można też przejść inaczej, również wykorzystując wzór na kwadrat sumy:

$\begin{matrix} a x^{2} + b x + c & = a x^{2} + b x + \frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{2}}{4 a} + c = \\ = a (x^{2} + 2 x \frac{b}{2 a} + \frac{b^{2}}{4 a^{2}}) - \frac{b^{2}}{4 a} + \frac{4 a c}{4 a} = \\ = a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a} . \end{matrix}$

Postać kanoniczna ułatwia określenie wykresu.

Miejsca zerowe

Szablon:Główny artykuł

W dziedzinie rzeczywistej liczba miejsc zerowych takiej funkcji – zwanych też pierwiastkami – wynosi 0, 1 lub 2. Zależy to od znaku wyróżnika ( $Δ$ )^[5], co można uzasadnić za pomocą postaci kanonicznej i jej związku z postacią ogólną:

$\begin{matrix} a (x - p)^{2} + q & = 0, \\ a (x - p)^{2} & = - q, \\ (x - p)^{2} & = - \frac{q}{a} = \frac{Δ}{4 a^{2}} . \end{matrix}$

Możliwość dalszych przekształceń w obrębie liczb rzeczywistych zależy od tego, czy prawa strona równania ma rzeczywisty pierwiastek kwadratowy. To z kolei zależy od jej znaku, który jest taki sam, jak ten wyróżnika^{[uwaga 3]}. W przypadku nieujemnym ( $Δ ⩾ 0$ ) otrzymuje się:

$\begin{matrix} x - p & = \pm \sqrt{\frac{Δ}{4 a^{2}}} = \pm \frac{\sqrt{Δ}}{\sqrt{4 a^{2}}}, \\ x & = p \pm \frac{\sqrt{Δ}}{2 a} = - \frac{b}{2 a} \pm \frac{\sqrt{Δ}}{2 a} . \end{matrix}$

Ostatecznie jeśli wyróżnik jest:

dodatni ( $Δ > 0$ ), to miejsca zerowe są dwa^[5]:

x_{1} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}, x_{2} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a};

zerowy ( $Δ = 0$ ), to miejsce zerowe jest jedno^[5]:

x_{1} = x_{2} = \frac{- b}{2 a} = p;

jest nazywane podwójnym jako pierwiastek dwukrotny wielomianu wyznaczającego funkcjęSzablon:Odn;

ujemny ( $Δ < 0$ ), to nie ma rzeczywistych miejsc zerowych^[5].

W dziedzinie zespolonej rozwiązania istnieją zawsze i są dane powyższymi wzorami; w przypadku ujemnego wyróżnika ( $Δ < 0$ ) jego algebraiczne pierwiastki kwadratowe są liczbami urojonymi: $\sqrt{Δ} \in i ℝ$ . To istnienie rozwiązań dla dowolnych współczynników jest szczególnym przypadkiem zasadniczego twierdzenia algebry. Jeśli współczynniki funkcji ( $a, b$ ) są przy tym rzeczywiste, to miejsca zerowe różnią się tylko znakiem części urojonej. O takich liczbach mówi się, że są względem siebie sprzężone Szablon:Odn.

Wzory Viète’a

Są to wzory m.in. na sumę i iloczyn miejsc zerowych różnych funkcji; dla funkcji kwadratowej są dwa takie wzory^[5]:

$\begin{matrix} x_{1} + x_{2} & = - \frac{b}{a}, \\ x_{1} x_{2} & = \frac{c}{a} . \end{matrix}$

Istnieje też związek różnicy miejsc zerowych z wyróżnikiem Szablon:Odn:

$\begin{matrix} x_{2} - x_{1} = \frac{\sqrt{Δ}}{a}, \\ Δ = a^{2} (x_{1} - x_{2})^{2} . \end{matrix}$

To wszystko pozwala odtworzyć postacie ogólną i kanoniczną z miejsc zerowych oraz współczynnika wiodącego ( $a$ )Szablon:Odn:

$\begin{matrix} b & = - a (x_{1} + x_{2}), \\ c & = a x_{1} x_{2}, \\ p & = \frac{x_{1} + x_{2}}{2}, \\ q & = - \frac{Δ}{4 a} = - \frac{a^{2} (x_{1} - x_{2})^{2}}{4 a} = \\ = - a (\frac{x_{1} - x_{2}}{2})^{2} . \end{matrix}$

Postać iloczynowa

Jeśli funkcja kwadratowa ma miejsca zerowe $x_{1}, x_{2}$ – niekoniecznie różne – to można ją zapisać w jeszcze jednej postaci^[5]:

$\begin{matrix} f (x) & = a (x - x_{1}) (x - x_{2}) = \\ = a (x - \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}) (x - \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}) . \end{matrix}$

W dziedzinie rzeczywistej jest to możliwe, jeśli wyróżnik jest nieujemny^[5] ( $Δ ⩾ 0$ ) – wtedy jego pierwiastek kwadratowy jest rzeczywisty. W dziedzinie zespolonej jest to zawsze możliwe – jeśli wyróżnik jest ujemny ( $Δ < 0$ ), to

$\sqrt{Δ} = i \sqrt{4 a c - b^{2}},$ gdzie $i$ jest jednostką urojoną Szablon:Odn.

Postać iloczynową można wyprowadzić z kanonicznej, stosując wzór na różnicę kwadratów ( $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ ):

$\begin{matrix} a (x - p)^{2} + q & = a [(x - p)^{2} + \frac{q}{a}] = \\ = a [(x - p)^{2} - {\sqrt{- \frac{q}{a}}}^{2}] = \\ = a [(x - p) - \sqrt{- \frac{q}{a}}] [(x - p) + \sqrt{- \frac{q}{a}}] = \\ = a [x - \frac{- b}{2 a} - \sqrt{\frac{Δ}{4 a^{2}}}] [x - \frac{- b}{2 a} + \frac{\sqrt{Δ}}{2 a}] = \\ = a [x - \frac{- b}{2 a} - \frac{\sqrt{Δ}}{2 a}] [x - \frac{- b}{2 a} + \frac{\sqrt{Δ}}{2 a}] . \end{matrix}$

Postać iloczynowa umożliwia inne wyprowadzenie jednego ze wzorów na postać kanoniczną:

$\begin{matrix} q & = f (p) = a (p - x_{1}) (p - x_{2}) = \\ = a (\frac{x_{1} + x_{2}}{2} - x_{1}) (\frac{x_{1} + x_{2}}{2} - x_{2}) = \\ = a (\frac{x_{2} - x_{1}}{2}) (\frac{x_{1} - x_{2}}{2}) = \\ = - a (\frac{x_{1} - x_{2}}{2})^{2} . \end{matrix}$

Wykresy rzeczywistych funkcji kwadratowych

Funkcja kwadratowa zmiennej rzeczywistej o rzeczywistych współczynnikach ma wykres – w kartezjańskim układzie współrzędnych na płaszczyźnie euklidesowej jest nim parabola^[5]. Jej wierzchołkiem jest punkt $(p, q),$ gdzie $p, q$ są dane jw.^[5], który jest zarazem ekstremum funkcji kwadratowej. Ich zmiana powoduje więc przesunięcie wykresu o wektor $[p, q]$ względem początku układu współrzędnych.

Z definicji miejsca zerowego funkcji kwadratowej wynika, że są one punktami przecięcia wykresu paraboli z osią $O X$ układu. W szczególności $p = \frac{x_{1} + x_{2}}{2},$ co oznacza, że odcięta wierzchołka paraboli jest średnią arytmetyczną miejsc zerowych (o ile istnieje choć jedno).

We układzie współrzędnych, przy zachowaniu skali:

każda parabola będąca wykresem funkcji kwadratowej ma oś równoległą do osi $O Y;$
$a > 0$ daje, iż ramiona paraboli są skierowane zgodnie ze zwrotem osi $O Y,$ jeżeli $a < 0,$ to są one skierowane przeciwnie^[5],
zwiększanie $| a |$ sprawia, że wykres wydaje się bardziej „strzelisty”; jego zmniejszanie czyni wtedy wykres bardziej „rozłożystym”,
zmiana $b$ powoduje zachowanie punktu przecięcia z osią $O Y$ przy jednoczesnym przesuwaniu paraboli zgodnie ze zwrotem $O X,$ jeżeli $b < 0,$ lub przeciwnie do niego, jeżeli $b > 0,$
parametr $c$ odpowiada za przesunięcie wykresu wzdłuż $O Y$ zgodnie z jej zwrotem, gdy $c > 0,$ lub przeciwnie do niego, gdy $c < 0 .$

Każde dwie parabole są podobne. Dokładniej, jeśli:

f_{1} (x) = a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1},

f_{2} (x) = a_{2} x^{2} + b_{2} x + c_{2},

to skala podobieństwa paraboli będącej wykresem $f_{2} (x)$ względem paraboli będącej wykresem $f_{1} (x)$ jest równaSzablon:Fakt:

k = | \frac{a_{1}}{a_{2}} | .

Własności rzeczywistych funkcji kwadratowych

Szablon:Zobacz też

Niżej zakłada się rzeczywistą dziedzinę i przeciwdziedzinę: $f : ℝ \to ℝ, f (x) = a x^{2} + b x + c .$

Własności ogólne

Funkcja jest parzysta wyłącznie dla $b = 0;$
nigdy nie jest nieparzysta ani okresowa;
monotoniczność: maleje (rośnie) w przedziale $(- \infty, p],$ po czym rośnie (maleje) w przedziale $[p, \infty)$ dla $a > 0 (a < 0);$
ekstrema: jedno ekstremum globalne w punkcie $p$ (pierwsza pochodna zeruje się wyłącznie w tym punkcie): minimum dla $a > 0$ i maksimum dla $a < 0$ (zgodnie ze znakiem drugiej pochodnej);
przez to zbiorem wartości jest przedział:
- $[q, \infty)$ dla $a > 0$ ;
- $(- \infty, q]$ dla $a < 0,$ ;
wypukłość: wypukła dla $a > 0$ i wklęsła dla $a < 0$ (zgodnie ze znakiem drugiej pochodnej);
punkty przegięcia: brak.

Własności analityczne

Brak asymptot;
ciągłość w całej dziedzinie;
różniczkowalność w całej dziedzinie; kolejne pochodne:

f^{'} (x) = 2 a x + b,

f^{″} (x) = 2 a,

f^{(n)} \equiv 0

dla

n > 2,

oznacza to, że funkcja jest gładka;

całkowalność w sensie Riemanna i Lebesgue’a; funkcja pierwotna:

F (x) = \frac{1}{3} a x^{3} + \frac{1}{2} b x^{2} + c x + C .

Przypadek dziedziny zespolonej

Funkcja kwadratowa $w (z) = z^{2},$ gdzie $z \in ℂ ∖ {0}$ jest odwzorowaniem równokątnym (konforemnym) przekształcającym płaszczyznę zespoloną (parametryzowaną zmienną) $z$ w dwulistną płaszczyznę (parametryzowaną zmienną) $w .$ Siatka izometryczna $z$ składa się z dwóch rodzin hiperbol:

{\begin{matrix} u = x^{2} - y^{2}, \\ v = 2 x y . \end{matrix}

Punktami stałymi tego odwzorowania są $0$ oraz $1$ Szablon:Odn.

Przykłady i zastosowania

Geometria

Pole koła jest kwadratową funkcją promienia (a zatem i średnicy).
Pole rombu, na przykład kwadratu, jest kwadratową funkcją długości boku. To samo dotyczy innych wielokątów foremnych.
Pole sfery jest kwadratową funkcją jej promienia (a zatem i średnicy).
Pole wielościanów foremnych jest kwadratową funkcją długości krawędzi.

Inne działy matematyki

Suma ciągu arytmetycznego jest kwadratową funkcją liczby wyrazów. Przykład to sumy kolejnych liczb naturalnych, zwane liczbami trójkątnymi Szablon:Fakt.
Funkcja cosinus może być przybliżana funkcją kwadratowąSzablon:Fakt.

Fizyka

W kinematyce:
- dla ruchu jednostajnie zmiennego położenie (droga) jest kwadratową funkcją czasu;
- przyspieszenie dośrodkowe jest kwadratową funkcją prędkości liniowej lub kątowej.
W dynamice:
- rzut ukośny, przy zaniedbaniu oporów ruchu, jest opisany funkcją kwadratową. Jego trajektorią jest wykres funkcji kwadratowej, czyli parabola;
- dla wysokich prędkości opór ośrodka jest kwadratową funkcją prędkości;
- energia kinetyczna jest kwadratową funkcją prędkości lub pędu;
- energia potencjalna dla sprężyny lub innego obiektu spełniającego prawo Hooke’a jest kwadratową funkcją położenia.

Zobacz też

Szablon:Wikibooks Szablon:Commons

Uwagi

Szablon:Uwagi

Przypisy

Szablon:Przypisy

Bibliografia

Literatura dodatkowa

Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

Szablon:Pismo Delta

Szablon:Otwarty dostęp Nagrania kanału Khan Academy na YouTube [dostęp 2024-01-15]:

Piotr Stachura, Rysowanie paraboli w postaci kanonicznej – ćwiczenie, 25 sierpnia 2014;
Piotr Stachura, Wykres funkcji kwadratowej: przesuwanie i skalowanie, 27 sierpnia 2014;
Piotr Stachura, Dopełnienie do kwadratu – postać kanoniczna funkcji kwadratowej, 25 września 2014;
Piotr Stachura, Różne postacie funkcji kwadratowej, 17 grudnia 2014;
Piotr Stachura, W szponach hazardu – zadanie o prawdopodobieństwie z nierównością kwadratową, 28 marca 2015;
Piotr Stachura, Komary w Białowieży – zadanie z funkcją kwadratową , 23 kwietnia 2015;
Piotr Stachura, Maksimum funkcji kwadratowej – przykład , 20 grudnia 2015;
Piotr Stachura, Porównywanie własności funkcji kwadratowych, 26 marca 2017;
Krzysztof Kwiecień, Postać iloczynowa funkcji kwadratowej – zadanie tekstowe, 14 czerwca 2018.
Krzysztof Kwiecień, Wprowadzenie do funkcji kwadratowych zapisanych w postaci wierzchołkowej (kanonicznej), 23 czerwca 2018;

Szablon:Otwarty dostęp Wiktor Bartol, Funkcja kwadratowa, Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej (MiNI PW), kanał „Archipelag Matematyki” na YouTube, 15 września 2017 [dostęp 2024-09-04].

Szablon:Wielomiany Szablon:Funkcje elementarne Szablon:Krzywe stożkowe

Szablon:Kontrola autorytatywna

↑ ^1,0 ^1,1 Szablon:Encyklopedia PWN
↑ Szablon:Encyklopedia PWN
↑ Szablon:Otwarty dostęp Tomasz Wójtowicz, Wzór funkcji kwadratowej, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2023-12-16].
↑ Szablon:Otwarty dostęp Jolanta Schilling, Interpretacja graficzna równania kwadratowego zupełnego, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2024-01-15].
↑ ^5,00 ^5,01 ^5,02 ^5,03 ^5,04 ^5,05 ^5,06 ^5,07 ^5,08 ^5,09 ^5,10 ^5,11 Szablon:Cytuj

Błąd rozszerzenia cite: Istnieje znacznik <ref> dla grupy o nazwie „uwaga”, ale nie odnaleziono odpowiedniego znacznika <references group="uwaga"/>

[epwn-1] 1,0 ^1,1 Szablon:Encyklopedia PWN

[epwn-t-3] Szablon:Encyklopedia PWN

[4] Szablon:Otwarty dostęp Tomasz Wójtowicz, Wzór funkcji kwadratowej, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2023-12-16].

[5] Szablon:Otwarty dostęp Jolanta Schilling, Interpretacja graficzna równania kwadratowego zupełnego, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2024-01-15].

[cke-7] 5,00 ^5,01 ^5,02 ^5,03 ^5,04 ^5,05 ^5,06 ^5,07 ^5,08 ^5,09 ^5,10 ^5,11 Szablon:Cytuj

[1]

[uwaga 1]

[2]

[3]

[4]

[uwaga 2]

[5]

[uwaga 3]

Funkcja kwadratowa

Spis treści