Forma kwadratowa

Szablon:Spis treści Forma kwadratowa (funkcjonał kwadratowy) – wielomian jednorodny II stopnia $n$ zmiennych określony na przestrzeni liniowej $V$ – zmienne występują tu najwyżej w drugiej potędze; ogólna postać:

$Q(𝐱)\equiv Q(x_1,\dots ,x_n)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{x}_i{x}_j,$

gdzie:

• $a_{ij}$ – stałe współczynniki liczbowe – całkowite, wymierne, rzeczywiste lub zespolone,
• $x_i,x_j,i,j=1,\dots ,n$ – zmienne, współrzędne dowolnego wektora $𝐱$ danej przestrzeni liniowej $V,$ $𝐱=[x_1,\dots ,x_n],$
• jednorodność II stopnia oznacza, że dla dowolnej liczby $c\in K$ zachodzi równość,

  $Q(c𝐱)=c^{2}Q(𝐱).$

W przypadku jednej zmiennej, dwóch zmiennych oraz trzech zmiennych formy nazywa się odpowiednio unarną, binarną i ternarną. Mają one postacie:

$Q(x)=a{x}^2\text{(unarna)},$

$Q(x,y)=a{x}^2+bxy+c{y}^2\text{(binarna)},$

$Q(x,y,z)=a{x}^2+b{y}^2+c{z}^2+dxy+exz+fyz\text{(ternarna)},$

gdzie $a,\dots ,f$ są stałymi współczynnikami.

Np.

$Q(x,y,z)=4x^2+2xy-3y^2+z^2$

jest formą kwadratową trzech zmiennych $x,y,z.$

Funkcje kwadratowe, jak np. $f(x)=a{x}^2+bx+c$ w przypadku jednej zmiennej, nie są na ogół formami kwadratowymi, gdyż nie są jednorodne (chyba że $b$ oraz $c$ są równe 0).

Pojęcie formy kwadratowej zajmuje fundamentalne miejsce w różnych działach matematyki, takich jak np. teoria liczb, algebra liniowa, teoria grup (w tym teoria grup ortogonalnych), geometria różniczkowa (metryka Riemanna, druga forma fundamentalna), topologia różniczkowa.

Uwaga: O ile nie zaznaczono inaczej, w artykule rozpatruje się przestrzenie liniowe nad ustalonym ciałem $K$ charakterystyki różnej od 2.

Historia

Pytania, czy jakaś liczba całkowita spełnia zadaną formę kwadratową, zadawano wiele stuleci temu. Przykładem jest teoria Fermata o sumie dwóch kwadratów, która określa, kiedy istnieje liczba całkowita spełniająca formę $x^2+y^2,$ gdzie $x,$ $y$ – liczby całkowite. Problem ten jest analogiczny do znajdowania trójek pitagorejskich, który pojawił się w drugim tysiącleciu p.n. Chr.

W 628, Hinduski matematyk Brahmagupta napisał dzieło Brāhmasphuṭasiddhānta zawierające m.in. wyniki badań równań typu $1=x^2-n{y}^2=c.$ W szczególności znalazł rozwiązanie równania (zwanego dziś równaniem Pella) $1=x^2-n{y}^2=1$. W Europie problem ten badali Brouncker, Euler i Lagrange.

W 1801 Gauss opublikował dzieło Disquisitiones Arithmeticae, w którym główną część poświęcił teorii binarnych form kwadratowych o współczynnikach całkowitych. Jego idee zostały uogólnione i z czasem odkryto związki z liczbowymi ciałami kwadratowymi, z grupami modularnymi i innymi działami matematyki.

Forma kwadratowa a forma dwuliniowa

Tw. 1 Każdej formie kwadratowej $Q(𝐱)$ odpowiada wzajemnie jednoznacznie symetryczna forma dwuliniowa $B(𝐱,𝐱)$ określona na tej samej przestrzeni, tak że zachodzą związki

$Q(𝐱)=B(𝐱,𝐱),$

$B(𝐱,𝐲)=B(𝐲,𝐱)=\frac{1}{2}(Q(𝐱\mathbf{+}𝐲)-Q(𝐱)-Q(𝐲)).$

Np.

(a) formą dwuliniową dodatnio określoną i symetryczną jest iloczyn skalarny wektorów $⟨𝐱,𝐲⟩$

$B(𝐱,𝐲)\equiv ⟨𝐱|𝐲⟩⩾0,$

(b) formą kwadratową odpowiadająca jednoznacznie iloczynowi skalarnemu jest iloczyn skalarny wektora przez samego siebie – definiuje on kwadrat normy, która określa długości wektorów przestrzeni liniowej:

$⟨𝐱|𝐱⟩=||𝐱|{|}^2.$

Df. Funkcję $B$ nazywa się formą dwuliniową odpowiadającą formie $Q$ (stowarzyszoną z formą $Q$).

Czynnik $\frac{1}{2}$ jest powodem, dla którego wyklucza się ciała, w których $2=0;$ formy kwadratowe w ciałach charakterystyki 2 opisano w oddzielnej sekcji.

Wybór bazy a przedstawienie formy

Jeżeli $V$ jest przestrzenią liniową skończonego wymiaru $n,$ to wybór bazy przestrzeni prowadzi do przedstawienia $Q$ w postaci jednorodnego wielomianu kwadratowego. Z drugiej strony dowolny jednorodny wielomian II stopnia $V\to K$ zadaje we współrzędnych pewnej bazy formę kwadratową na $V$.

Własności

Tw. Forma dwuliniowa jest symetryczna.

Df. Formy kwadratowe nazywa się równoważnymi, jeśli równoważne są odpowiadające im formy dwuliniowe.

Df. Przestrzeń $(V,Q)$ nazywa się przestrzenią kwadratową.

Df. Przestrzenie $(V_1,Q_1)$ i $(V_2,Q_2)$ nazywa się izomorficznymi, jeżeli istnieje taki izomorfizm liniowy $\mathrm{A}:V_1\to V_2,$ że

$Q_2(\mathrm{A}(𝐱))=Q_1(𝐱),$

dla wszystkich $𝐱\in V_1.$

Df. Ortogonalną sumą prostą $V_1\perp V_2$ przestrzeni $(V_1,Q_1)$ i $(V_2,Q_2)$ nazywa się sumę prostą przestrzeni $V_1\oplus V_2,$ w której zdefiniowano formą kwadratową

$Q({𝐱}_1,{𝐱}_2)=Q_1({𝐱}_1)+Q_2({𝐱}_2).$

Oznaczenie: $V^{\perp n}$ oznacza $n$-krotną ortogonalną sumę prostą przestrzeni kwadratowej $V$ ze sobą.

Df. Wektorem izotropowym względem $Q$ (bądź $V$) nazywa się niezerowy wektor $𝐱\in V,$ dla którego

$Q(𝐱)=0.$

Innymi słowy: wektor izotropowy to wektor niezerowy, będący rozwiązaniem równania

$B(𝐱,𝐱)=0,$

czyli wektor niezerowy, który jest ortogonalny sam do siebie.

Macierze odpowiadające formom

Szablon:Zobacz też (1) Wybierając bazę w $V$ formie kwadratowej $Q$ zdefiniowanej na przestrzeni $n$-wymiarowej, można przypisać macierz $A$ symetryczną $n\times n$ w następujący sposób:

$Q(𝐱)\equiv Q(x_1,\dots ,x_n)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{x}_i{x}_j={𝐱}^{\text{T}}A𝐱,$

gdzie $𝐱=[x_1,\dots ,x_n]$ jest dowolnym wektorem o $n$ współrzędnych $x_1,\dots ,x_n,$ takich że nie wszystkie współrzędne są równe zeru; indeks górny ${\mathrm{T}}^{}$ oznacza transpozycję.

Macierz $A$ nazywaną macierzą formy kwadratowej względem ustalonej bazy.

(2) Symetrycznej formie dwuliniowej $B$ stowarzyszonej z formą $Q$ odpowiada identyczna macierz $A,$ taka że

$B(𝐱,𝐲)={𝐱}^{T}A𝐲.$

(3) Zmiana bazy w $V$ powoduje, że formie $Q$ przyporządkowana zostaje inna macierz $A^{\prime },$ przy czym zachodzi związek

$A^{\prime }=C^{T}AC.$

gdzie $C$ jest macierzą zamiany bazy.

Df. Macierze danej formy kwadratowej, wyrażone w różnych bazach, nazywa się macierzami przystającymi.

Df. Wyróżnikiem formy kwadratowej $Q$ reprezentowanej przez macierz $A$ nazywa się liczbę

${\mathrm{\Delta }}_Q=\det A$ modulo niezerowe kwadraty,

gdzie $\det A$ – wyznacznik macierzy $A.$

Df. Formę kwadratową nazywa się niezdegenerowaną (nieosobliwą), gdy jej macierz jest odwracalna, tzn. ma niezerowy wyznacznik.

Diagonalizacja

Szablon:Zobacz też Df. Forma kwadratowa $Q(𝐱)$ jest w postaci diagonalnej, jeśli zadana jest jako suma kwadratów współrzędnych wektora $𝐱,$ tj.

$Q(𝐱)\equiv Q(x_1,\dots ,x_n)=a_1{x}_1^2+\dots +a_n{x}_n^2.$

Tw. Forma kwadratowa $Q$ jest w postaci diagonalnej, jeżeli jej reprezentacja macierzowa jest diagonalna, tzn. wszystkie wyrazy macierzy poza główną przekątną są równe zeru.

Twierdzenie Lagrange’a

Dla każdej formy kwadratowej istnieje baza, w której forma ma postać diagonalną

Tw. Wyznacznik formy kwadratowej w postaci diagonalnej wynosi

$a_1\dots a_{n}mod(K^{*}{)}^2$

Konstrukcja bazy ortogonalnej

Konstrukcję bazy ortogonalnej można przeprowadzić w oparciu o własności odpowiadającej jej formy dwuliniowej:

1. należy rozpocząć od wyboru dowolnego wektora ${𝐞}_1,$ dla którego $Q({𝐞}_1)\ne 0,$
2. trzeba wybrać z podprzestrzeni ${𝐞}_1^{\perp }$ wektor ${𝐞}_2,$ taki że $Q({𝐞}_2)\ne 0;$ wektory ${𝐞}_1$ i ${𝐞}_2$ są ortogonalne i liniowo niezależne,
3. należy przejść do ${𝐞}_1^{\perp }\cap {𝐞}_2^{\perp }$ i wskazać w niej wektor ${𝐞}_3,$ taki że $Q({𝐞}_3)\ne 0$ itd.,
4. proces kończy się na podprzestrzeni, na której $Q$ zeruje się tożsamościowo:
   1. jeśli jest to podprzestrzeń zerowa, to wybrane wektory tworzą bazę, w której $Q$ ma postać diagonalną,
   2. w przeciwnym wypadku bazę diagonalizującą $Q$ na całej przestrzeni tworzą wybrane wektory oraz dowolna baza otrzymanej podprzestrzeni.

Twierdzenia

Następujące stwierdzenie charakteryzuje formy kwadratowe wprowadzające liczby podwójne. Dla formy kwadratowej $Q$ określonej na przestrzeni dwuwymiarowej następujące warunki są równoważne:

(a) ma ona postać $x^2-y^2$ w pewnej bazie,

(b) jej wyróżnik jest równy $-1,$

(c) jest ona niezdegenerowana i daje wektory izotropowe.

Klasyfikacja

W tej sekcji $Q$ będzie niezdegenerowana, zaś $K$ oznaczać będzie liczby rzeczywiste $ℝ,$ liczby zespolone $ℂ$ lub dowolne ciało skończone $𝔽$ nieparzystej charakterystyki.

Sygnatura

Twierdzenie

Każda forma kwadratowa na ${ℂ}^n$ jest równoważna z formą diagonalną ${𝐱}_1^2+\dots +{𝐱}_n^2.$

Twierdzenie

Dowolna forma kwadratowa na ${ℝ}^n$ jest równoważna z formą diagonalną postaci

${𝐱}_1^2+\dots +{𝐱}_p^2-{𝐱}_{p+1}^2-\dots -{𝐱}_n^2,$

gdzie: $p\in [0,n].$

Jeśli $p+q=p^{\prime }+q^{\prime },$ to formy

$⟨\cdot ,\cdot {⟩}_{p,q}$ oraz $⟨\cdot ,\cdot {⟩}_{p^{\prime },q^{\prime }}$

są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy

$p=p^{\prime }$ i $q=q^{\prime }.$

Wniosek:

Dana forma kwadratowa na ${ℝ}^n$ jest wyznaczona z dokładnością do równoważności przez parę liczb $(p,q),$ którą można uzyskać z diagonalizacji formy:

$p$ jest liczbą znaków dodatnich,

$q=n-p$ to liczba znaków ujemnych.

Df. Parę liczb $(p,q)$ nazywa się sygnaturą formy kwadratowej.

(czasem sygnaturą nazywa się tylko liczbę $p,$ gdyż $q$ jest jednoznacznie wyznaczone przy danym $n$).

Formy kwadratowe a geometria

Formy kwadratowe wprowadzają na zbiorze ${ℝ}^n$

• najogólniejsze metryki różniczkowe zwane metrykami pseudoriemannowskimi,
• przez to generują najogólniejsze rozmaitości – rozmaitości pseudoriemannowskie ${ℝ}^{p,q},$ gdzie $n=p+q,$
• metryki zaś umożliwiają definicję innych wielkości geometrycznych rozmaitości

– mówimy, że formy kwadratowe generują geometrie pseudoriemannowskie (w szczególnym przypadku formy – geometrię euklidesową). Z tego względu formy kwadratowe mają fundamentalne znaczenie dla geometrii różniczkowej.

Określoność formy

Szablon:Zobacz też Df. Formę kwadratową $Q$ na przestrzeni liniowej nad $ℝ$ nazywa się dodatnio określoną (lub dodatnią), jeżeli $Q(𝐱)>0$ i ujemnie określoną (lub ujemną), gdy $Q(𝐱)<0$ dla wszystkich $𝐱\ne \mathrm{𝟎}$

Tw. Każda dodatnio określona forma na przestrzeni wymiaru $n$ jest równoważna sumie $n$ kwadratów. Podobnie ma się rzecz z formami określonymi ujemnie.

Własności te nie zależą od wyboru współrzędnych w przestrzeni.

Uniwersalność

Jeśli $Q$ jest określona na przestrzeni $V$ co najmniej trójwymiarowej nad ciałem skończonym $K,$ to daje ona wektory izotropowe. W ciele dowolnej charakterystyki pociąga to uniwersalność formy $Q,$ tzn. $Q(V)=K$. Choć stwierdzenie o istnieniu wektorów izotropowych w dowolnych przestrzeniach wymiaru 2 nie jest prawdziwe, to prawdą jest, iż dowolna forma na przestrzeni dwuwymiarowej nad ciałem skończonym jest uniwersalna.

Twierdzenie

Niech $c\in K^{*}$ będzie niekwadratem. Dowolna forma kwadratowa na przestrzeni liniowej wymiaru $n⩾1$ nad ciałem skończonym $K$ jest równoważna z dokładnie jedną formą na $K^n,$ mianowicie: $x_1^2+\dots +x_n^2$ lub

$x_1^2+\dots +x_{n-1}^2+c{x}_n^2.$

W szczególności wymiar i wyróżnik wyznaczają formę nad ciałem skończonym w sposób jednoznaczny z dokładnością do równoważności.

Reguła równoległoboku i polaryzacja

Szablon:Zobacz też Tw. 1 Dla dowolnej formy kwadratowej $Q$ zachodzi wzór nazywany regułą równoległoboku

$Q(𝐱+𝐲)+Q(𝐱-𝐲)=2(Q(𝐱)+Q(𝐲)).$

Tw. 2 Podobny wzór

$Q(𝐱+𝐲)-Q(𝐱-𝐲)=4B(𝐱,𝐲)$

znany również jako tożsamość polaryzacyjna, wyraża formę dwuliniową $B$ za pomocą formy kwadratowej $Q,$ jednak w inny sposób niż podany w definicji.

Być może oba powyższe wzory mogą posłużyć do zdefiniowania formy kwadratowej? Zagadnieniem tym zajęli się John von Neumann i Pascual Jordan, którzy dowiedli

Tw. 3 (Jordana-von Neumanna)

Założenia:

(1) $Q:V\to K$ spełnia tożsamość

$Q(𝐱+𝐲)+Q(𝐱-𝐲)=2Q(𝐱)+2Q(𝐲).$

(2) $B:V\times V\to K$ jest określona wzorem

$4B(𝐱,𝐲)=Q(𝐱+𝐲)-Q(𝐱-𝐲).$

Teza:

$B$ jest symetryczna, dwuaddytywna oraz

$B(𝐱,𝐱)=Q(𝐱).$

Dwuaddytywność pociąga $\mathbb{Z}$-dwuliniowość. Stąd $B$ z powyższego twierdzenia jest $\mathbb{Q}$-dwuliniowa, jeśli $K$ jest charakterystyki zero lub $𝔽$-dwuliniowa, jeśli $K$ jest charakterystyki $p.$ Oznacza to, że jeśli $K=\mathbb{Q}$ lub $𝔽,$ to forma $Q$ jest kwadratowa. Jeżeli $K=ℝ,$ to forma $Q$ jest kwadratowa, o ile $V$ jest skończonego wymiaru (bądź ogólniej: zupełna), przy dodatkowym założeniu, że $Q$ jest ciągła (co pociąga ciągłość $B,$ a stąd jej $ℝ$-dwuliniowość).

Przy oznaczeniach $\Vert \cdot \Vert =Q(\cdot )$ oraz $⟨\cdot ,\cdot ⟩=B(\cdot ,\cdot )$ i przyjęciu $K=ℝ,ℂ$ powyższe twierdzenie mówi, że:

• w dowolnej przestrzeni Banacha $X$ z normą $\Vert \cdot \Vert ,$ w której spełniona jest tożsamość równoległoboku, można wprowadzić iloczyn skalarny $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ za pomocą tożsamości polaryzacyjnej,
• wprowadzenie to czyni z $X$ przestrzeń Hilberta.

Ciała charakterystyki 2

O ile nie zaznaczono inaczej, niżej przestrzenie liniowe określone są nad ustalonym ciałem $K$ charakterystyki 2.

Niech $V$ będzie przestrzenią liniową. Przekształcenie $Q:V\to K$ nazywa się formą kwadratową albo funkcjonałem kwadratowym na $V,$ jeżeli:

• jest jednorodne II stopnia,

  $Q(c𝐱)=c^{2}Q(𝐱),$

• następująca funkcja jest dwuliniowa:

  $B(𝐱,𝐲)=Q(𝐱+𝐲)-Q(𝐱)-Q(𝐲).$

Definicja we współrzędnych nie ulega zmianie: forma kwadratowa to jednorodna, kwadratowa funkcja wielomianowa. Podobnie definiuje się pozostałe pojęcia i dowodzi równoważności definicji abstrakcyjnej i z ustaloną bazą. Zasadniczą różnicą jest postać macierzowa: macierz $𝐍$ formy kwadratowej $Q$ jest górnotrójkątna, nie zaś symetryczna; macierz $𝐁=𝐍+{𝐍}^{\mathrm{T}}$ odpowiadającej jej formy dwuliniowej $B$ jest z kolei symetryczna z zerami na przekątnej głównej. Niekiedy powyższą definicję stosuje się dla ciał dowolnej charakterystyki, jednak przyjęcie jej sprawia, iż forma dwuliniowa stowarzyszona z formą kwadratową wyrażającą się sumą kwadratów nie daje standardowego iloczynu skalarnego, lecz jego dwukrotność.

Jest $B=0$ wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie elementy macierzy $𝐁$ spoza przekątnej głównej znikają (równoważnie: $B=0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $Q$ jest diagonalizowalna w pewnej bazie). Gdy charakterystyka nie jest równa 2, wyrazy spoza przekątnej dowolnej formy kwadratowej zerują się w odpowiedniej bazie, jednakże wyrazy spoza przekątnej głównej w $Q$ są potrzebne w ciele charakterystyki 2, gdy stowarzyszona z nią symetryczna forma dwuliniowa nie jest zerowa. Z definicji dowolna forma kwadratowa (w ciele charakterystyki 2) ma powiązaną symetryczną formę dwuliniową, choć odpowiedniość między formami kwadratowymi a symetrycznymi formami dwuliniowymi nie jest iniektywna, ani surjektywna: różne formy kwadratowe (np. $(𝐱,𝐲)\mapsto x_1^2+x_1{x}_2$ oraz $(𝐱,𝐲)\mapsto x_1{x}_2$) mogą mieć tę samą symetryczną formę dwuliniową, a pewne symetryczne formy dwuliniowe (np. $(𝐱,𝐲)\mapsto x_1{y}_1+x_2{y}_2$) nie są formami dwuliniowymi jakichkolwiek form kwadratowych. W języku macierzy każda forma kwadratowa w ciele charakterystyki różnej od 2 może być zapisana jako $𝐗\cdot 𝐌𝐗,$ gdzie $𝐌$ jest pewną macierzą symetryczną, nie jest to jednak prawda w ciele charakterystyki 2. Forma kwadratowa przedstawiona w baie z wyrazami poza przekątną nie jest reprezentowana przez macierz symetryczną w jakiekolwiek bazie. Jednakże odpowiadająca jej forma dwuliniowa jest zawsze reprezentowana za pomocą macierzy symetrycznej (zob. wyżej). Dlatego nie wolno mylić macierzy $𝐍$ formy kwadratowej w ciele charakterystyki 2 z macierzą postaci $𝐁$ jej formy dwuliniowej.

Kluczową obserwacją jest to, że symetryczna forma dwuliniowa stowarzyszona z formą kwadratową w ciele charakterystyki 2 jest alternująca:

$B(𝐱,𝐱)=Q(2𝐱)-2Q(𝐱)=Q(\mathrm{𝟎})-0=0.$

W ciele charakterystyki innej niż 2 można odzyskać $Q$ z $B,$ gdyż $B(𝐱,𝐱)=Q(𝐱),$ ale dla charakterystyki 2 jest $B(𝐱,𝐱)=0.$ Ponieważ dowolna alternująca forma dwuliniowa jest symetryczna w ciele charakterystyki 2, to o odpowiedniości z $Q$ do $B$ w ciele charakterystyki 2 należy myśleć jako o przekształceniu form kwadratowych w alternujące (a nie tylko symetryczna) formy dwuliniowe. Wówczas jest ono surjektywne, ale nadal nigdy nie jest iniektywne, tzn. nie istnieje żaden odpowiednik polaryzacji dla charakterystyki 2, a więc sama wiedza o $B$ nie wystarcza do odzyskania informacji o $Q.$ Zatem choć w ciele charakterystyki różnej od 2 pewne pojęcia można wyrazić równie dobrze w języku form kwadratowych bądź symetrycznych form kwadratowych, to w ciele charakterystyki 2 ich wyrażenie w obu tych językach może być niemożliwe.

Zobacz też

Typy form

• forma
• forma liniowa
• forma półtoraliniowa
• forma dwuliniowa

Własności

• określoność formy

Przykłady form w geometrii

• metryka euklidesowa
• metryka pseudoriemannowska
• metryka riemannowska

Bibliografia

• H. Guściora, M. Sadowski, Repetytorium z algebry liniowej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1979, s. 123–138.
• T. Trajdos, Matematyka dla inżynierów, PWN, Warszawa 1974, s. 73–77.
• Więsław, Witold: Algebra geometryczna. Skrypt dla studentów matematyki. Wydawnictwa Uniwersytetu Wrocławskiego, Wrocław 1974.
• Komorowski, Jacek: Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978.
• Gleichgewicht, Bolesław: Algebra. Podręcznik dla kierunków nauczycielskich studiów matematycznych, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1983. Wydanie III. Szablon:ISBN.
• Newelski, Ludomir: Algebra liniowa II, Rozdział 14. W przygotowaniu.

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld [dostęp 2024-03-07].
• Encyklopedia Mathematica (j. ang.)