Surjekcja

Diagram przemienny ilustrujący suriekcję jako funkcję odwracalną prawostronnie

Surjekcja, suriekcja, funkcja „na” – funkcja przyjmująca jako swoje wartości wszystkie elementy przeciwdziedziny, tj. której obraz jest równy przeciwdziedzinie. Innymi słowySzablon:Fakt:

• przeciwobraz zbioru niepustego jest niepusty;
• istnieje prawostronna funkcja odwrotna: jeśli $f:X\to Y,$ to $\mathrm{\exists }g:f\circ g=\mathrm{i}{\mathrm{d}}_{\mathrm{Y}}.$

Termin suriekcja powstał najpóźniej w 1954 roku, kiedy pojawił się w pracy zespołu Nicolas Bourbaki.

Definicja

Niech $X$ oraz $Y$ będą dowolnymi zbiorami. Funkcja $f:X\to Y$ odwzorowuje zbiór $X$ na zbiór $Y$ wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru $Y$ jest wartością funkcji w pewnym punkcie,

$\mathrm{\forall }y\in Y\mathrm{\exists }x\in Xf(x)=y,$

co oznacza się często jako $f:X\stackrel{na}{\to }Y$ lub $f:X\underset{na}{\overset{}{\to }}Y.$

Warunkiem równoważnym jest pokrywanie się przeciwdziedziny z obrazem dziedziny, $f(X)=Y,$ inaczej $\mathrm{Im}f=Y.$

• 
  Iniekcyjna funkcja niesurjekcyjna (iniekcja, nie bijekcja)
• 
  Iniekcyjna surjekcyjna funkcja (bijekcja)
• 
  Nieinjekcyjna surjekcyjna funkcja (surjekcja, nie bijekcja)
• 
  Nieinjekcyjna niesurjekcyjna funkcja (również nie bijekcja)

Uwaga

Wybór przeciwdziedziny decyduje o surjektywności lub jej braku. Przyjrzyjmy się następującym funkcjom:

$f_1:ℝ\to ℝ$ określonej wzorem $f_1(x)=x^2$ oraz

$f_2:ℝ\to [0,\mathrm{\infty })$ określonej wzorem $f_2(x)=x^2.$

Tylko druga z powyższych funkcji jest surjekcją, mimo że są one określone tym samym wzorem.

Zauważmy ponadto, że dowolna funkcja jest surjekcją, jeśli jako zbiór $Y$ przyjmiemy zbiór jej wartości.

Przykłady

Niech $x\in ℝ$ będzie zmienną rzeczywistą, wówczas poniższe funkcje są suriekcjami:

• $f:x\mapsto x^a$ dla $a\in \{2n+1:n\in \mathbb{N}\}$ na $ℝ;$
• dowolny wielomian rzeczywisty stopnia nieparzystego, rozpatrywany jako funkcja do zbioru liczb rzeczywistych – wynika to z twierdzenia Darboux o funkcjach ciągłych, do których wielomiany rzeczywiste należą;
• $f:x\mapsto \mathrm{tg}x$ dla $x\in \bigcup \{(-\frac{\pi }{2}+k\pi ,\frac{\pi }{2}+k\pi ):k\in \mathbb{Z}\}$ na $ℝ;$
• $f:ℝ\stackrel{\mathrm{n}\mathrm{a}}{\mapsto }\mathbb{Z},f(x)=\lceil x\rceil ;$
• $f:ℝ\stackrel{\mathrm{n}\mathrm{a}}{\mapsto }\{1\},f(x)=1;$
• wszelkie bijekcje.

Pisownia

Słowo surjekcja tradycyjnie bywa pisane przez j, tę wersję jako jedyną dopuszczalną podaje słownik języka polskiego PWN. Zasady pisowni polskiej w ogólnych przypadkach nakazują jednak stosowanie j po innych spółgłoskach niż c, s i z w wypadku, gdy przedrostek jest zakończony spółgłoską, a rdzeń zaczyna się od j; np. podjazd, nadjechał, zjawa czy rozjaśnić. W pozostałych wypadkach pisze się i. Z tego powodu dopuszczalna i przez niektórych stosowana jest pisownia suriekcja i iniekcja przez iSzablon:R.

Zobacz też

• epimorfizm

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę