Twierdzenie Darboux

Twierdzenie Darboux, twierdzenie o wartości pośredniej – twierdzenie analizy rzeczywistej mówiące, że każda rzeczywista funkcja ciągła określona na przedziale rzeczywistym ma własność Darboux, tj. przyjmuje wszystkie wartości pośrednie między obrazami jego krańców. Stąd inna nazwa twierdzenia: twierdzenie o przyjmowaniu wartości pośrednichSzablon:Fakt.

Twierdzenie jest nazwane od Jeana Darboux; wiążą się z nim również nazwiska Bernarda Bolzano i Augustina Louisa Cauchy’ego (nazwy twierdzenie Bolzana-Cauchy’ego lub twierdzenie Cauchy’ego nie zdobyły popularności w polskiej literaturze matematycznej).

Twierdzenie

Niech $f:[a,b]\to ℝ$ będzie funkcją ciągłą. Jeżeli $f(a)\cdot f(b)<0$ (tzn. wartości funkcji $f$ na końcach przedziałów mają różne znaki), to istnieje taki punkt $c$ w przedziale $(a,b),$ dla którego

$f(c)=0.$

Ogólniej: każda funkcja ciągła $f:[a,b]\to ℝ$ ma własność Darboux, tzn. jeśli $d$ spełnia jedną z nierówności $f(a)<d<f(b)$ lub $f(a)>d>f(b),$ to istnieje taki punkt $c$ w przedziale $[a,b],$ dla którego

$f(c)=d.$

Oba sformułowania są równoważne: funkcje $f$ w obu z nich różnią się jedynie o stałą $d.$

Dowody

Analityczny z definicji Cauchy’ego ciągłości

Niech $f:[a,b]\to ℝ.$ Bez straty ogólności można założyć, że $d$ jest liczbą z przedziału otwartego $(f(a),f(b)).$

Niech

$A=\{x\in [a,b]:f(x)⩽d\}=f^{-1}[(-\mathrm{\infty },d]],$

$A^c=\{x\in [a,b]:f(x)>d\}=f^{-1}[(d,+\mathrm{\infty })].$

Wówczas zbiory $A$ i $A^c$ są niepuste. Zbiór A posiada ograniczenie górne, którym jest $b$ więc istnieje na mocy aksjomatu ciągłości $s=\sup A.$ Dla danych $T\subseteq ℝ,p_0\in T$ oraz $r>0$ oznaczmy

$B_T(p_0;r)=\{p\in T:|p-p_0|<r\}.$

Wykażemy, że $f(s)=d.$ Istotnie, wobec ciągłości funkcji, właściwości supremum oraz rozłączności zbiorów $A$ i $A^c$ spełnione są następujące ciągi implikacji:

$f(s)<d\Rightarrow (s\ne b)\wedge {\mathrm{\exists }}_{\delta >0}(B_{[a,b]}(s;\delta )\subseteq f^{-1}[B_{ℝ}(f(s);d-f(s))]\subseteq A)\wedge (s+\delta <b),$

czyli:

${\mathrm{\exists }}_{\delta >0}(s,s+\delta )\cap A\ne \mathrm{\varnothing }\Rightarrow \sup A\ne s,$

w innym przypadku:

$f(s)>d\Rightarrow {\mathrm{\exists }}_{\delta >0}{B}_{[a,b]}(s;\delta )\subseteq f^{-1}[B_{ℝ}(f(s);f(s)-d)]\subseteq A^c\Rightarrow {\mathrm{\exists }}_{\delta >0}A\cap (s-\delta ,s]=\mathrm{\varnothing }\Rightarrow \sup A\ne s.$

Zatem poprzez sprzeczność dowodzi się, że nie jest możliwym aby $f(s)\ne d.$

Analityczny z definicji Heinego ciągłości

Niech $f:[a,b]\to ℝ$ będzie funkcją oraz niech $d$ będzie liczbą z przedziału otwartego $(f(a),f(b)).$ Zastosujmy rozumowanie analogiczne do metody równego podziału.

Zdefiniujmy indukcyjnie ciągi $(a_n{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }},$ $(b_n{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }},$ $(c_n{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}:$

• $a_0=a,b_0=b,c_0=\frac{1}{2}(a_0+b_0),$
• jeśli $f(c_n)=d,$ to koniec dowodu,
  jeśli $f(c_n)>d,$ to $a_{n+1}=a_n,$ $b_{n+1}=c_n,$
  jeśli $f(c_n)<d,$ to $a_{n+1}=c_n,$ $b_{n+1}=b_n$
  $c_{n+1}=\frac{1}{2}(a_{n+1}+b_{n+1}).$

Tak zdefiniowane ciągi $(a_n),(b_n)$ mają następujące własności:

1. $a_n⩽a_{n+1}<b_{n+1}⩽b_n,$
2. $b_{n+1}-a_{n+1}=\frac{1}{2}(b_n-a_n).$
3. $f(a_n)⩽d⩽f(b_n),$

Z własności 1. 2. wynika, że ciągi $(a_n),(b_n)$ jako monotoniczne i ograniczone są zbieżne i maję tę samą granicę. Oznaczmy

$c=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_n.$

Na podstawie ciągłości funkcji $f(x)$ ciągi $f(a_n),f(b_n)$ są zbieżne, mają tę samą granicę oraz

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(a_n)=f(c)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(b_n).$

Jednocześnie z własności 3. wynika zachowanie nierówności przy przejściu granicznym, tzn.

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(a_n)⩽d⩽\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(b_n).$

Stąd

$f(c)=d.$

Topologiczny

Niech $f:[a,b]\to ℝ$ będzie funkcją oraz niech $d$ będzie liczbą z przedziału otwartego $(f(a),f(b)).$ Przypuśćmy, że $d$ nie jest wartością funkcji $f.$ Wówczas przeciwobraz przestrzeni topologicznej $ℝ\setminus \{d\}$ powinien być równy dziedzinie (którą tutaj jest przedział $[a,b]$), jednak wobec ciągłości funkcji będzie on sumą dwóch niepustych, rozłącznych, otwartych przeciwobrazów, a zatem przestrzenią niespójną, co wyklucza się z faktem spójności drogowej dziedziny. Wobec czego poprzez sprzeczność dowodzi się, że $d$ nie może nie być wartością funkcji.

Przedstawione rozumowanie wiąże się z twierdzeniem o szerszym zakresie mówiącym, że ciągły obraz zbioru spójnego jest zbiorem spójnym. Przykładem funkcji ciągłej o niespójnym zbiorze wartości i niespójnej dziedzinie jest signum, tj. funkcja $sgn(x)=\frac{x}{|x|}$ określona na zbiorze liczb rzeczywistych bez zera $(x\in ℝ\setminus \{0\})$Szablon:OdnSzablon:OdnSzablon:Odn.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
  • Rozdział XXI. Elementy Topologii. § 1. Przestrzeń topologiczna. 1.10. Zbiór spójny, zbiory rozgraniczone, składowa zbioru.
• Szablon:Cytuj książkę
  • Rozdział II. Przestrzenie Metryczne, odwzorowania ciągłe. § 10. Przestrzenie spójne. Tw. II.17.
• Szablon:Cytuj książkę
  • Rozdział 4. Ciągłość. Ciągłość i spójność, Tw. 4.22.

Literatura dodatkowa

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Piotr Stachura, Twierdzenie Darboux, kanał Khan Academy na YouTube, 13 lipca 2017 [dostęp 2024-06-23].
• Szablon:MathWorld [dostęp 2023-08-26].