Przedział (matematyka)

Prosta, półprosta i odcinek – jednowymiarowe figury geometryczne odpowiadające niektórym rodzajom przedziałów liczbowych

Całkę Riemanna definiuje się przez podział dziedziny funkcji na przedziały.

Przedział – typ podzbioru w zbiorze częściowo uporządkowanym, zdefiniowany odpowiednimi nierównościami; elementy przedziału są zawarte między dwoma ustalonymi elementami, nazywanymi początkiem i końcem przedziału. Podstawowe przykłady to przedziały liczbowe – podzbiory liczb rzeczywistych wyposażonych w standardowy porządek: $(ℝ,⩽).$

Wyróżnia się różne typy przedziałów:

• ograniczone lub nie;
• otwarte, domknięte lub otwarte jednostronnie, zwane też jednostronnie domkniętymi, półotwartymi lub półdomkniętymiSzablon:Fakt.

Niektóre przedziały liczbowe można utożsamiać z podstawowymi, jednowymiarowymi figurami geometrycznymi:

• zbiór wszystkich liczb rzeczywistych to prosta;
• przedziały nieograniczone domknięte (jednostronnie) to półproste;
• przedziały ograniczone domknięte (obustronnie) to odcinki.

Przedziały, zwłaszcza te liczbowe, są używane w różnych działach matematyki i innych naukach, co opisano dalej.

Definicje formalne

Niech $(X,⩽)$ będzie zbiorem częściowo uporządkowanym i niech $x,y\in X$ oraz $x⩽y.$

Przedziałem wyznaczonym przez $x,y$ jest jeden z następujących zbiorów:

• $(x,y):=\{z\in X:x<z<y\}$ – przedział (obustronnie) otwarty,
• $[x,y):=\{z\in X:x⩽z<y\}$ – przedział lewostronnie domknięty (prawostronnie otwarty),
• $[x,y]:=\{z\in X:x⩽z⩽y\}$ – przedział (obustronnie) domknięty,
• $(x,y]:=\{z\in X:x<z⩽y\}$ – przedział prawostronnie domknięty (lewostronnie otwarty).

Ponadto

• $(-\mathrm{\infty },y):=\{z\in X:z<y\}$ – przedział lewostronnie nieograniczony, prawostronnie otwarty,
• $(-\mathrm{\infty },y]:=\{z\in X:z⩽y\}$ – przedział lewostronnie nieograniczony, prawostronnie domknięty,
• $(x,+\mathrm{\infty }):=\{z\in X:x<z\}$ – przedział prawostronnie nieograniczony, lewostronnie otwarty,
• $[x,+\mathrm{\infty }):=\{z\in X:x⩽z\}$ – przedział prawostronnie nieograniczony, lewostronnie domknięty.

Jeśli w zbiorze uporządkowanym $(X,⩽)$ istnieje element największy, to definicja przedziału prawostronnie nieograniczonego jest zbędna; jeśli istnieje element najmniejszy, to definicja przedziału lewostronnie nieograniczonego jest zbędna.

Dla pełności należy dodać jeszcze następujące dwie definicje:

• $(\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }):=\{z\in X\}=X$ – przedział obustronnie nieograniczony, czyli cały zbiór $(X,⩽).$
• $\varnothing$ – przedział pusty, czyli przedział niezawierający żadnego elementu; takim przedziałem są np. $(x,x),(x,x],[x,x).$

Oznaczenia

Niektórzy autorzy używają oznaczeń $(x,y{)}_X,$ $[x,y{]}_X$ itp. dla podkreślenia, że rozpatrywane są przedziały w danym porządku.

Często zamiast $[x,y]$ stosuje się oznaczenie $⟨x,y⟩$ i analogicznie dla przedziałów jednostronnie domkniętych. Należy jednak zwrócić uwagę, że zarówno $(x,y),$ jak i $⟨x,y⟩$ do oznaczenia przedziałów mogą być pomylone z podobnymi notacjami używanymi do oznaczenia par uporządkowanych.

Norma międzynarodowa ISO31-11 przewiduje zamiast oznaczeń $(x,y],[x,y),(x,y)$ dla przedziałów lewo- i prawo- lub obustronnie otwartych stosowanie następujących oznaczeń $]x,y],[x,y[,]x,y[.$

Stosowanie średnika lub przecinka wynika z zastosowanej konwencji dla separatora dziesiętnego.

Przykłady

• Przedziały liczbowe:
  • $(0,1)$ – zbiór wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych mniejszych niż $1,$
  • $[2,e)$ – zbiór liczb rzeczywistych większych lub równych $2,$ ale mniejszych niż $e,$
  • przedział nieskończony $(\pi ,\mathrm{\infty })$ złożony z wszystkich liczb większych niż $\pi ,$
  • $(0,0),(7,7],[2,2)$ – przedziały puste,
  • $[4,4]$ – przedział jednopunktowy $\{4\}.$

• Przedziały zależą od porządków, w których są rozważane: $(-5,5{)}_{\mathbb{Z}}$ jest zbiorem skończonym (jest to $\{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}$), ale $(-5,5{)}_{\mathbb{Q}}$ jest zbiorem nieskończonym (jest to zbiór wszystkich liczb wymiernych większych od –5 a mniejszych niż 5). Zwyczajowo, przedział $(a,b]$ pomiędzy liczbami rzeczywistymi $a,b\in ℝ$ oznacza przedzial w liczbach rzeczywistych, tzn. $(a,b{]}_{ℝ},$ podobnie dla innych przedziałów.

• Rozważmy płaszczyznę ${ℝ}^2$ z porządkiem częściowym zdefiniowanym przez $⟨x_1,y_1⟩<⟨x_2,y_2⟩⟺x_1⩽x_2$ i $y_1⩽y_2,$ gdzie relacja $⩽$ jest naturalnym porządkiem na prostej $ℝ.$ Wówczas przedział domknięty $[⟨0,0⟩,⟨1,1⟩{]}_{{ℝ}^2}$ jest domkniętym kwadratem o wierzchołkach w $⟨0,0⟩,⟨0,1⟩,⟨1,0⟩,⟨1,1⟩,$ tzn. zbiorem $\{⟨x,y⟩\in {ℝ}^2:0⩽x⩽1\wedge 0⩽y⩽1\}.$

Własności

Suma mnogościowa dwóch przedziałów może nie być przedziałem.

Suma mnogościowa dwóch przedziałów może również być przedziałem; warunkiem wystarczającym na to jest, by miały niepusty przekrój. Nie jest to jednak warunek konieczny – przedziały liczb nieujemnych oraz ujemnych są rozłączne, jednak ich suma mnogościowa – cała oś rzeczywista – jest przedziałem.

Przekrój (przecięcie) dwóch przedziałów zawsze jest przedziałem. Innymi słowy zbiór wszystkich przedziałów liczbowych z działaniem przekroju tworzy monoid, gdzie elementem neutralnym jest cała oś rzeczywistaSzablon:Fakt. Ten typ monoidów – gdzie każdy element jest idempotentny – zalicza się do pasów.

Wprawdzie definicja przedziału jest poprawna dla dowolnego porządku częściowego, to jednak w praktyce matematycznej przedziały najczęściej rozpatruje się w porządkach liniowych.

Niech $(X,⩽)$ będzie porządkiem liniowym.

• Część wspólna dwóch przedziałów jest przedziałem.
• Dopełnienie przedziału jest albo przedziałem, albo sumą dwóch przedziałów.
• Suma dwóch przedziałów o niepustej części wspólnej jest przedziałem.
• Otwarte przedziały w $X$ tworzą bazę pewnej topologii na $X$ – ta topologia nazywana jest topologią przedziałową na $X$ albo topologią porządkową na $X$.
• Topologia porządkowa na zbiorze liczb rzeczywistych jest naturalną topologią na $ℝ.$ Bazę tej topologii tworzą przedziały otwarte o końcach wymiernych.

Każdy przedział liczbowy otwarty jest jednocześnie zbiorem otwartym w sensie topologii; podobnie przedziały domknięte należą do zbiorów domkniętych. Zbiór pusty oraz cała oś rzeczywista można zaliczyć do przedziałów otwartych lub półotwartych i są one zbiorami zbiorami otwarto-domkniętymi. Inne przedziały półotwarte nie są ani zbiorami otwartymi, ani domkniętymiSzablon:Fakt. Przedziały liczbowe są tym samym, co zbiory spójne na osi rzeczywistej.

Rola

Matematyka

• Za pomocą przedziałów i działania sumy zbiorów można opisać zbiory rozwiązań przynajmniej części równań i nierówności liczbowych, a także dziedziny często używanych funkcji zmiennej rzeczywistej, np. tych elementarnychSzablon:Fakt;
• badanie przebiegu zmienności funkcji polega m.in. na wskazaniu przedziałów o określonym znaku wartości oraz o określonej monotoniczności i wypukłości lub wklęsłości;
• za pomocą przedziałów można zdefiniować pewne pojęcia analizy matematycznej jak własność Darboux czy całka Riemanna;
• przedziały są też jednym z fundamentów topologii; dostarczają podstawowych przykładów różnych typów zbiorów wyróżnianych przez tę naukę – otwartych, domkniętych, otwarto-domkniętych, spójnych, obszarów i continuów;
• zbiory przedziałów tworzą różne struktury algebraiczne, przykładowo z działaniem przekroju zbiorów, a w przypadku przedziałów liczbowych – z dodawaniem Minkowskiego i iloczynem kompleksowym;
• pojęcie przedziału pojawia się też w definicji prawdopodobieństwa jako miary o wartościach w przedziale jednostkowym;
• analiza numeryczna celuje m.in. w znajdowanie przedziałów, w których znajdują się rozwiązania pewnych równań liczbowych;
• przedziały liczb wymiernych pojawiają się też w jednej z definicji konstrukcyjnych liczb rzeczywistych – przez przekroje Dedekinda;

Za pomocą przedziałów liczbowych i iloczynu kartezjańskiego można zdefiniować prostokąt, prostopadłościan i ich uogólnienia zwane przedziałami wielowymiarowymi. W topologii rozważa się też ich odpowiedniki oparte na nieskończonych iloczynach kartezjańskich, znane jako kostki Tichonowa. Inne odpowiedniki przedziałów w wyższych wymiarach to koła i kule – te ostatnie definiuje się w dowolnych przestrzeniach metrycznych.

Inne nauki

Nauki empiryczne jak fizyka, astronomia i geodezja posługują się przedziałami liczbowymi, ponieważ to one – a nie pojedyncze liczby – są wynikami pomiarów, zawsze ograniczonych niepewnością.

Zobacz też

• otoczenie i sąsiedztwo
• zakres (programowanie)
• zbiór borelowski
• analiza przedziałowa

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld [dostęp 2023-08-19].
• Szablon:Otwarty dostęp Interval and segment Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2023-08-19].