Kula

Kula – uogólnienie pojęcia koła na więcej wymiarów, zdefiniowane dla wszystkich przestrzeni metrycznych.

Definicja formalna

Kula w danej przestrzeni metrycznej $(X,\rho )$ – zbiór elementów tej przestrzeni, zdefiniowany jako:

${\bar{K}}_{c,r}=\{p:\rho (p,c)⩽r\}$

dla pewnych $c\in X,r>0,$ które nazywamy odpowiednio środkiem i promieniem kuli.

W wielu źródłach tak zdefiniowany zbiór nazywany jest kulą domkniętą dla odróżnienia od zbioru określanego jako kula otwarta (inaczej kula bez brzegu) i definiowanego następująco:

$K_{c,r}=\{p:\rho (p,c)<r\}.$

Informacja ogólna

Kula w przestrzeni euklidesowej

Kula o środku $P(2;1,5)$ i promieniu $r=1$ w metryce Manhattan na zbiorze ${ℝ}^2.$

Intuicyjnie rozumiana kula – w przestrzeni euklidesowej trójwymiarowej dla metryki euklidesowej – jest to część przestrzeni, ograniczona sferą (sfera jest powierzchnią (brzegiem) kuli i również się w niej zawiera).

Taką kulę można wówczas opisać wzorem jako zbiór punktów, których współrzędne $(x,y,z)$ spełniają nierówność:

$(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2+(z-z_0{)}^2⩽r^2,$

gdzie $(x_0,y_0,z_0)$ są współrzędnymi środka kuli, a $r$ oznacza jej promień, natomiast w układzie współrzędnych sferycznych, dla środka znajdującego się w środku układu współrzędnych:

$r(\alpha ,\beta )⩽r$ dla $\alpha \in [-\pi ,\pi ),\beta \in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}].$

W $n$-wymiarowej przestrzeni euklidesowej wzór ten ma natychmiastowe uogólnienie – kula o środku w punkcie $(s_1,s_2,\dots ,s_n)$ i promieniu $r$ to zbiór punktów $x=(x_1,x_2,\dots ,x_n),$ których współrzędne spełniają nierówność:

$(x_1-s_1{)}^2+(x_2-s_2{)}^2+\dots +(x_n-s_n{)}^2⩽r^2.$

Nietrudno zauważyć, że w dwuwymiarowej przestrzeni euklidesowej kulą jest koło, zaś w jednowymiarowej – odcinek.

Dla innych metryk kula wyglądać będzie inaczej. Przykładowo, w przestrzeni ${ℝ}^2$ o metryce Manhattan do kuli należą punkty, spełniające nierówność:

$|x_1-x_2|+|y_1-y_2|⩽r.$

Natomiast w przestrzeni liter alfabetu łacińskiego, gdzie metryką byłaby odległość między poszczególnymi literami w szyku alfabetu, kulą jest np. zbiór $\{G,H,I\}$ – promień tej kuli wynosi 1, a jej środkiem jest $H.$

Związane pojęcia

Cięciwa kuli to odcinek o końcach na brzegu kuli.

Średnica kuli to cięciwa przechodząca przez środek kuli. Termin ten oznacza również długość tej cięciwy – równą podwojonej długości promienia kuli. Termin ten został uogólniony na wszelkie zbiory w przestrzeni metrycznej (zobacz średnica zbioru).

Koło wielkie kuli to koło o promieniu tej kuli, o środku w środku kuli.

Wzory dla kuli w przestrzeni euklidesowej

• Objętość $n$-wymiarowej kuli (hiperkuli) o promieniu $r$ dana jest wzorem $V_n=\frac{{\pi }^{\frac{n}{2}}}{\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2}+1)}\cdot r^n=\{\begin{array}{cc}\frac{{\pi }^k}{k!}\cdot r^n& \text{dla }n=2k,\\ \frac{2^k{\pi }^{k-1}}{n!!}\cdot r^n& \text{dla }n=2k-1,\end{array}$

• „Pole” $(n-1)$-wymiarowe jej (hiper)powierzchni $S_n=\frac{n}{r}{V}_n.$
• Objętość 3-wymiarowej kuli: $V=\frac{4}{3}\pi r^3\approx 4,19r^3.$
• Pole powierzchni 3-wymiarowej kuli: $S=4\pi r^2\approx 12,6r^2.$

W powyższych wzorach $\pi \approx 3,14159265$ jest jedną z najsłynniejszych stałych matematycznych, szerzej opisaną w artykule Pi, zaś $\mathrm{\Gamma }$ oznacza funkcję gamma. Pomimo że funkcja gamma jest niezdefiniowana dla niedodatnich liczb całkowitych, uogólnione objętości i powierzchnie $n$-wymiarowych hiperkul to funkcje holomorficzne wymiaru zespolonego $n\in ℂ$. Są one zatem zdefiniowane w każdym wymiarze.

Uwaga: Brzegiem $n$-wymiarowej kuli jest $(n-1)$-wymiarowa sfera.

Uogólnienie topologiczne

W topologii kulę definiujemy jako rozmaitość topologiczną, homeomorficzną z kulą geometryczną, zdefiniowaną jak powyżej.

Zobacz też

• czasza kuli (odcinek kuli)
• hiperkula
• sfera
• warstwa kulista
• wycinek kuli
• kula ziemska

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld [dostęp 2024-02-01].
• Szablon:Otwarty dostęp Ball Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].