Obszar (matematyka)

Od lewej: obszar jednospójny, obszar trzyspójny, obszar czterospójny

Obszar – zbiór otwarty i spójny w przestrzeni euklidesowej lub ogólniej w przestrzeni topologicznej. Obszar domknięty to domknięcie $\overline{𝔒}$ obszaru (otwartego) $𝔒$.

Zbiór domknięty $\mathrm{F}\mathrm{r}𝔒=\overline{𝔒}\setminus 𝔒$ nazywa się brzegiem obszaru $𝔒.$ Punkty $X\in 𝔒$ nazywane są punktami wewnętrznymi obszaru $𝔒,$ a także punktami wewnętrznymi obszaru domkniętego $\overline{𝔒}.$ Punkty $X\in \mathrm{F}\mathrm{r}𝔒$ nazywane są punktami brzegowymi obszaru $𝔒,$ a także punktami brzegowymi obszaru domkniętego $\overline{𝔒}$.

Pojęcia te mają podstawowe znaczenie w analizie zespolonej. Przykładami obszarów na płaszczyźnie zespolonej są: cała płaszczyzna, wnętrze kąta, koło otwarte (bez brzegu), prostokąt otwarty (bez brzegu). W szczególności obszarem jest też każdy zbiór otwarty, którego brzeg można opisać krzywą Jordana.

Obszar $𝔒\subset ℂ$ nazywa się obszarem jednospójnym, jeśli każdą zawartą w nim pętlę można w sposób ciągły zdeformować do punktu, pozostając cały czas w obszarze (pętla jest w $𝔒$ ściągalna do punktu). Brzeg takiego obszaru ma wtedy jedną składową spójności. Ogólniej, brzeg obszaru może mieć $k$ składowych, gdzie $0⩽k⩽\mathrm{\infty }.$ Jeśli $k>1,$ to obszar nazywa się obszarem wielospójnym. Liczba $k$ jest nazywana rzędem spójności. Jeśli $k=2,$ obszar jest nazywany obszarem dwuspójnym, jeśli $k=3$ – obszarem trzyspójnym itd. Jeśli $k<\mathrm{\infty },$ to obszar nazywamy obszarem skończeniespójnym, a jeśli $k=\mathrm{\infty }$ – obszarem nieskończeniespójnym.

Przykłady

Przykład obszaru, którego brzeg zawiera punkty niedostępne

• Na prostej $ℝ={ℝ}^1$ obszarami są przedziały liczbowe. Brzeg takiego obszaru jest zawsze zbiorem co najwyżej dwupunktowym.
• Obszar nieskończeniespójny można uzyskać, usuwając z koła otwartego o promieniu 2 rozłączne koła domknięte o promieniach $1,\frac{1}{4},\frac{1}{4^2},\dots ,\frac{1}{4^n},\dots$ Brzeg tego obszaru jest sumą mnogościową okręgu koła o promieniu 2 i okręgów ograniczających usunięte koła.
• Obszar jednospójny $𝔒$ może mieć dość skomplikowany brzeg, zawierający punkty niedostępne w następującym sensie: nie istnieje krzywa ciągła $f:⟨a;b⟩\to \overline{𝔒},$ gdzie $⟨a;b⟩$ jest przedziałem domkniętym na osi rzeczywistej, taka że obrazy wszystkich punktów przedziału, poza punktem $X=f(b)$ (należącym do brzegu $𝔒$), należą do obszaru $𝔒.$ Takimi punktami będą na przykład punkty prawego boku kwadratu na rysunku obok, z którego usunięto odcinki wychodzące prostopadle naprzemiennie z dolnego i górnego boku tego kwadratu, zbliżające się do prawego boku i o długościach dążących do długości boku kwadratu.
• Każde dwa punkty obszaru położonego w płaszczyźnie zespolonej dają się połączyć łamaną.

Niech będzie obszarem. Dla każdego $X\in 𝔒$ niech ${𝔉}_X$ będzie zbiorem tych punktów obszaru $𝔒,$ które dadzą się połączyć z $X$ łamaną. Dla każdego $X\in 𝔒$ zbiór ${𝔉}_X$ jest zbiorem otwartym, bo jeśli $A\in {𝔉}_X,$ to z punktem $X$ można połączyć łamaną każdy punkt kuli $k(A,r)\subset 𝔒.$ Z drugiej strony zbiór:

$𝔒\setminus {𝔉}_X=\bigcup _{Y\in 𝔒\setminus {𝔉}_X}{𝔉}_Y$

jest również zbiorem otwartym, a zatem ze względu na spójność zbioru $𝔒$ zbiór $𝔒\setminus {𝔉}_X=\varnothing ,$ czyli ${𝔉}_X=𝔒$.

• Własność ta jest spełniona dla obszarów w przestrzeni euklidesowej ${ℝ}^n,n⩾1$ oraz dla obszarów przestrzeni zespolonej ${ℂ}^n,n⩾1,$ przy czym istnieje wtedy łamana łącząca dwa punkty obszaru składająca się ze skończonej liczby odcinków.
• Powyższa własność jest również spełniona dla obszaru każdej topologicznej przestrzeni wektorowej.
• Każdy zbiór otwarty $𝔒\subset ℂ$ jest sumą obszarów, bo:

$𝔒=\bigcup _{X\in 𝔒}{𝔉}_X.$

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld [dostęp 2022-10-09].