Droga (topologia)

Szablon:Spis treści Droga – ciągłe przekształcenie z przedziału jednostkowego w przestrzeń topologiczną. Pętlą nazywa się drogę, której początek i koniec pokrywają się. Ich parametr, szczególnie przy homotopiach, nazywa się niekiedy czasem.

Definicja

Niech $I=[0,1]\subset ℝ$ oraz niech $X$ będzie przestrzenią topologiczną. Drogą nazywamy ciągłe przekształcenie $f:I\to X.$

Punktem początkowym drogi jest $f(0),$ a końcowym $f(1).$ Często mówi się o „drodze z $x$ do $y$”, co oczywiście oznacza, że punkty te są odpowiednio początkowym i końcowym danej drogi.

Pętlą zaczepioną w $x\in X$ nazywa się drogę z $x$ do $x.$ Równoważnie można określić ją jako drogę $\alpha :I\to X$ taką, że $\alpha (0)=\alpha (1)$ lub jako ciągłe odwzorowanie okręgu jednostkowego w przestrzeń, czyli $\alpha :{𝒮}^1\to X.$ Ostatnia równoważność wynika z tego, że ${𝒮}^1$ może być rozważane jako przestrzeń ilorazowa $I$ z utożsamionymi punktami $0$ i $1.$

Zbiór pętli w $X$ zaczepionych w $a$ nazywamy przestrzenią pętli i oznaczamy symbolem $\mathrm{\Omega }(X).$

Drogowa spójność

Szablon:Osobny artykuł Przestrzeń topologiczną, w której dla jej dowolnych dwóch punktów istnieje droga je łącząca, nazywa się drogowo spójną. Każda przestrzeń $X$ może zostać rozbita na zbiór drogowo spójnych składowych, który oznaczany jest często ${\pi }_0(X).$

Uwagi

Należy pamiętać, że droga nie jest tym samym co jej obraz. Oznacza to, że nie jest tylko podzbiorem $X,$ który wygląda jak krzywa, ale przede wszystkim odwzorowaniem z daną parametryzacją. Przykładem mogą być odwzorowania $f(x)=x$ oraz $g(x)=x^2$ będące dwiema różnymi drogami z $0$ do $1$ na prostej rzeczywistej.

Przestrzenie z wyróżnionym punktem

Można także badać drogi i pętli w przestrzeniach topologicznych z wyróżnionym punktem, które są ważnymi obiektami w teorii homotopii. Niech $(X,a)$ będzie taką przestrzenią, drogą w $(X,a)$ nazywa się te drogi w $X,$ których punktem początkowym jest $a.$ Analogicznie pętlą w $(X,a)$ nazywa się pętle zaczepione w $a.$

Homotopia

Homotopia między dwiema drogami.

Szablon:Osobny artykuł Homotopia dróg i pętli jest niezwykle ważnym środkiem badawczym w dziale topologii algebraicznej, nazywanym teorią homotopii. Homotopia między drogami jest uściśleniem intuicji ciągłej deformacji drogi w jednostce czasu (którą jest przedział jednostkowy $I$) przy zachowaniu jej punktów końcowych.

Homotopia między pętlami zaczepionymi we wspólnym punkcie pozwala przyporządkować przestrzeni topologicznej z wyróżnionym punktem grupę podstawową. Okazuje się, że jeżeli wspomniana przestrzeń jest łukowo spójna, to wybór punktu zaczepienia jest nieistotny.

Drogi

Homotopią dróg z $a$ do $b$ w $X$ nazywamy rodzinę dróg $f_t:I\to X$ taką, że

• $f_t(0)=a$ i $f_t(1)=b$ są stałe,
• odwzorowanie $F:I\times I\to X$ dane wzorem $F(s,t)=f_t(s)$ jest ciągłe.

Pętle

Homotopią pętli $\alpha ,\beta \in \mathrm{\Omega }(X,a)$ nazywamy homotopię $H:I\times I\to X$ łączącą $\alpha$ oraz $\beta$ spełniającą warunek $H(0,t)=H(1,t)=a$ dla $t\in I.$

Dla powyższej homotopii każda droga ${\alpha }_t(s)=H(s,t)$ jest pętlą w $X$ zaczepioną w $a.$ Należy pamiętać, że na homotopię pętli nakłada się dodatkowy warunek: mianowicie aby punkt zaczepienia $a$ nie ulegał przesunięciu.

Równoważność

Drogi i pętle między którymi zachodzi homotopia, nazywa się homotopijnymi. Podobnie jak homotopia dowolnych przekształceń, homotopie dróg w $\mathrm{\Omega }(X)$ i pętli w $\mathrm{\Omega }(X,a)$ są relacjami równoważności. Klasa równoważności drogi $f$ tej relacji nazywana jest klasą homotopii i oznaczana często $[f].$

Składanie

Załóżmy, że $f$ jest drogą z $x$ do $y,$ zaś $g$ z $y$ do $z.$ Złożeniem dróg $f$ i $g$ nazywamy drogę $f\circ g$ zdefiniowaną jako uprzednie przejście po $f,$ a następnie po $g:$

$(f\circ g)(s)=\{\begin{array}{cc}f(2s)& 0⩽s⩽\frac{1}{2}\\ g(2s-1)& \frac{1}{2}⩽s⩽1\end{array}.$

Jeżeli rozważymy wszystkie pętle zaczepione w $a,$ to złożenie dróg staje się działaniem dwuargumentowym. Złożenie dróg nie jest łączne z powodu różnic w parametryzacjach, jednakże jest łączne na poziomie homotopii, tj. $[(f\circ g)\circ h]=[f\circ (g\circ h)].$

Grupa podstawowa

Szablon:Osobny artykuł Składanie dróg określa na zbiorze klas homotopii pętli zaczepionych we wspólnym punkcie $a$ strukturę grupy, nazywanej grupą podstawową i oznaczaną ${\pi }_1(X,a).$

Zobacz też

• grupa podstawowa
• homotopia
• krzywa

Bibliografia

• S. Betley, J. Chaber, E. i R. Pol, Topologia I wykłady i zadania, skrypt 2005.