Przedział jednostkowy

Szablon:Spis treści Przedział jednostkowy – przedział $[0,1]$ liczb rzeczywistych. We wszystkich swych potencjalnych znaczeniach jest on prawie zawsze oznaczany literą $I.$ Odgrywa on fundamentalną rolę w teorii homotopii, gałęzi topologii.

Własności

przestrzeń metryczna

zwarty, ściągalny, łukowo spójny.

przestrzeń topologiczna

homeomorficzny z rozszerzoną prostą rzeczywistą, jest jednowymiarową analityczną rozmaitością o brzegu $\{0,1\}$ o standardowej orientacji od $0$ do $1.$

podzbiór liczb rzeczywistych

miara Lebesgue’a równa $1,$ uporządkowany liniowo, jest kratą zupełną (każdy podzbiór przedziału jednostkowego ma kres górny i kres dolny).

Inne znaczenia

W literaturze termin „przedział jednostkowy” może oznaczać również inne przedziały, takie jak $(0,1],$ $[0,1),$ czy $(0,1).$ Zwykle jednak pojęcia tego używa się w stosunku do przedziału domkniętego $[0,1].$

Czasami nazwy „przedziału jednostkowego” używa się w odniesieniu do obiektów pełniących podobną rolę w różnych gałęziach matematyki, analogiczną do tej jaką pełni $[0,1]$ w teorii homotopii. Przykładem może być teoria kołczanów, gdzie analogonem przedziału jednostkowego jest graf o zbiorze wierzchołków $\{0,1\}$ zawierający jedną krawędź $e$ skierowaną od $0$ do $1.$ Można także zdefiniować pojęcie homotopii pomiędzy homomorfizmami kołczanów analogiczną do homotopii między funkcjami ciągłymi.

Zobacz też

• okrąg jednostkowy