Porządek liniowy

Ilustracja porządku liniowego

Porządek liniowy – częściowy porządek będący zarazem łańcuchem, czyli taki, w którym każde dwa elementy rozpatrywanego zbioru są porównywalne.

Definicje

Porządek liniowy to porządek częściowy $\preccurlyeq$ na danym zbiorze $X$ spełniający warunek spójności:

${\mathrm{\forall }}_{a,b\in X}a\preccurlyeq b\vee b\preccurlyeq a.$

Parę uporządkowaną $(X,\preccurlyeq )$ nazywa się wtedy zbiorem liniowo uporządkowanym lub też zbiorem całkowicie uporządkowanym. Symbol $\prec$ będzie oznaczał porządek ostry, tzn. relację zdefiniowaną wzorem

$x\prec y⟺x\preccurlyeq y\wedge x\ne y.$

Podzbiór $A$ zbioru $X$ nazywa się

• gęstym, jeśli zachodzi

  ${\mathrm{\forall }}_{x,y\in X,x\prec y}{\mathrm{\exists }}_{z\in A}x\prec z\prec y;$

• ograniczonym z góry, jeśli

  ${\mathrm{\exists }}_{x\in X}{\mathrm{\forall }}_{a\in A}a\preccurlyeq x.$

Mówi się, że $(X,\preccurlyeq )$ jest

• porządkiem bez końców, jeśli w $X$ nie ma tak elementu najmniejszego, jak i największego, tzn. jeśli nie zachodzi

  ${\mathrm{\forall }}_{x\in X}{\mathrm{\exists }}_{y\in X}y\preccurlyeq x$ oraz ${\mathrm{\forall }}_{x\in X}{\mathrm{\exists }}_{y\in X}x\preccurlyeq y;$

• porządkiem relatywnie zupełnym, jeśli każdy niepusty i ograniczony z góry podzbiór $X$ ma kres górny. Wtedy także każdy niepusty podzbiór ograniczony z dołu ma kres dolny.
• porządkiem gęstym, jeśli $X$ jest gęstym podzbiorem $X.$

Przykłady

• Relacje niewiększości na zbiorze liczb całkowitych, wymiernych czy rzeczywistych są porządkami liniowymi.
• Szczególnym przypadkiem porządku liniowego jest dobry porządek.
• Porządek leksykograficzny ${⩽}_{\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{x}}$ na płaszczyźnie ${ℝ}^2$ jest porządkiem liniowym:

$(x_1,y_1){⩽}_{\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{x}}(x_2,y_2)⟺x_1<x_2\vee (x_1=x_2\wedge y_1⩽y_2).$

Własności

• Jeśli $⊑$ jest porządkiem liniowym na zbiorze $X$ oraz $Y\subseteq X,$ to zawężenie ${⊑}_Y$ porządku $⊑$ do zbioru $Y$ jest porządkiem liniowym na $Y.$
• Georg Cantor udowodnił następujące twierdzenieSzablon:Fakt: każdy przeliczalny gęsty porządek liniowy bez końców jest izomorficzny ze zbiorem liczb wymiernych (z naturalnym porządkiem).
• Przypuśćmy, że $(X,⊑)$ jest gęstym porządkiem liniowym bez końców. Wówczas istnieje relatywnie zupełny porządek liniowy bez końców $(Y,⩽)$ taki że

  $X\subseteq Y$ i zawężenie ${⩽}_X$ zgadza się z $⊑$ oraz $X$ jest gęstym podzbiorem $Y.$

Porządek $(Y,⩽)$ jest jedyny z dokładnością do izomorfizmu.

Działania

Iloczyn leksykograficzny

Niech $(S,⪯)$ będzie zbiorem uporządkowanym liniowo i dobrze. Niech $(X_s,{⩽}_s)$ będzie zbiorem uporządkowanym liniowo dla każdego $s\in S$ oraz niech $X:=\prod _{s\in S}{X}_s$ będzie iloczynem kartezjańskim. Iloczynem leksykograficznym porządków ${⩽}_s$ nazywa się porządek liniowy w $X$ zdefiniowany wzorem

$x<y\iff x_{\delta }<y_{\delta },$

gdzie $\delta :=\delta (x,y)\in S$ będzie pierwszym elementem w $S,$ dla którego $x_{\delta }\ne y_{\delta }$ dla dowolnych $x,y\in X.$

Okazuje się, że iloczyn leksykograficzny skończonej rodziny zachowuje dobry porządek: iloczyn leksykograficzny skończonej rodziny zbiorów uporządkowanych liniowo i dobrze jest zbiorem uporządkowanym liniowo i dobrze. Natomiast iloczyn leksykograficzny nieskończonej rodziny zbiorów liniowo uporządkowanych, z których każdy jest co najmniej dwuelementowy, nigdy nie jest uporządkowany dobrze.

Ultraprodukt

Szablon:Zobacz też Niech $S$ będzie dowolnym zbiorem nieskończonym. Niech $F$ będzie dowolnym maksymalnym filtrem (czyli ultrafiltrem) w $S$ o pustym przecięciu. Niech ponadto $(X_s,{⩽}_s)$ będzie zbiorem uporządkowanym liniowo dla każdego $s\in S$ oraz niech $X_F$ będzie ultraproduktem rodziny zbiorów $(X_s{)}_{s\in S}$ względem ultrafiltru $F.$ W ultraprodukcie $X$ definiujemy porządek liniowy jak następuje:

$x_F⩽y_F\iff \{s\in S:x_s⩽y_s\}\in F$

dla dowolnych $x,y\in \prod _{s\in S}{X}_s,$ gdzie $x_F$ oznacza klasę elementu $x:=(x_s{)}_{s\in S}.$

Zastosowania

W wielu dziedzinach matematyki rozważa się relację porządku liniowego jako „dodatek” do innych struktur albo jako „narzędzie” do konstruowania przykładów rozważanych struktur.

Przedziałowe algebry Boole’a

Niech $(X,⊑)$ będzie porządkiem liniowym, w którym istnieje element najmniejszy. Niech dla $x,y\in X\cup \{\mathrm{\infty }\}$ symbol $[x,y[$ oznacza zbiór $\{z\in X:x⊑z⊏y\},$ tzn. przedział lewostronnie domknięty w $X.$

Niech $ℱ$ będzie rodziną złożoną ze zbioru pustego oraz tych wszystkich podzbiorów $X,$ które mogą być przedstawione w postaci $[x_0,y_0[\cup \dots \cup [x_k,y_k[$ dla pewnych elementów $x_0,y_0,\dots ,x_k,y_k\in X\cup \{\mathrm{\infty }\}$ spełniających nierówności $x_0⊏y_0⊏x_1⊏y_1⊏\dots ⊏x_k⊏y_k,$ gdzie $k\in \mathbb{N}.$ Wówczas $ℱ$ jest ciałem podzbiorów $X.$ Algebra Boole’a $(ℱ,\cup ,\cap {,}^{\prime },\varnothing ,X)$ jest nazywana algebrą przedziałową wyznaczoną przez $(X,⊑).$

Topologia porządkowa

Szablon:Osobny artykuł Niech $(X,⊑)$ będzie jest porządkiem liniowym. Niech dla $x,y\in X\cup \{-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }\}$ symbol $]x,y[$ oznacza przedział otwarty w $X,$ tzn. zbiór postaci $\{z\in X:x⊏z⊏y\}.$ Wówczas rodzina

$ℬ=\{]x,y[:x⊏y\}\cup \{]-\mathrm{\infty },x[:x\in X\}\cup \{]x,\mathrm{\infty }[:x\in X\}\cup \{X\}$

pokrywa $X$ i jest zamknięta ze względu na branie przekrojów skończonych. Dlatego też $ℬ$ jest bazą pewnej topologii $\tau$ na $X.$ Topologię tę nazywa się topologią porządkową lub topologią przedziałową. Topologia porządkowa zawsze spełnia aksjomat Hausdorffa (T₂) i jest nawet przestrzenią T₅.

Struktury algebraiczne

W algebrze rozważa się czasami struktury algebraiczne dodatkowo wyposażone w relację porządku liniowego w pewnym sensie zgodnego z operacjami algebraicznymi.

• Grupa liniowo uporządkowana to trójka $(G,\circ ,⩽)$ taka, że $(G,\circ )$ jest grupą, a $⩽$ jest porządkiem liniowym na $G,$ przy czym

  dla dowolnych $a,b,c\in G$ jeśli $a⩽b,$ to zarówno $a\circ c⩽b\circ c,$ jak i $c\circ a⩽c\circ b.$

• Ciało uporządkowane to szóstka uporządkowana $(F,+,\cdot ,0,1,⩽),$ gdzie $(F,+,\cdot ,0,1)$ jest ciałem, a $⩽$ jest porządkiem liniowym na $F,$ w którym dla dowolnych $a,b,c\in F$ spełnione są warunki:

jeśli $a⩽b,$ to $a+c⩽b+c$

oraz

jeśli $a⩽b$ i $0⩽c,$ to $a\cdot c⩽b\cdot c.$