Liczby całkowite

Oś liczbowa ukazująca niektóre liczby całkowite

Standardowy symbol zbioru liczb całkowitych

Liczby całkowite – zbiór obejmujący:

• liczby naturalne z zerem $\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots \}$;
• liczby przeciwne do nich: $\{0,-1,-2,-3,\dots \}$.

Jest to uogólnienie liczb naturalnych umożliwiające odjęcie każdej liczby od innej.

Zbiór liczb całkowitych oznacza się symbolem $\mathbb{Z}$, od niemieckiego Zahl – liczbaSzablon:Fakt. W Polsce Ministerstwo Edukacji Narodowej zaleciło używanie tego oznaczenia, choć w większości szkół podstawowych i średnich stosowano symbol $𝐂$ – inicjał nazwy polskiejSzablon:Fakt.

Uogólnieniem liczb całkowitych są liczby wymierne.

Definicja formalna

Zbiór liczb całkowitych można zdefiniować jako zbiór klas abstrakcji zbioru ${\mathbb{N}}_0\times {\mathbb{N}}_0$ relacji równoważności

$(a,b)\sim (c,d)⟺a+d=b+c.$

Intuicyjnie $(a,b)$ reprezentuje różnicę $a-b.$

Niech $[(a,b)]$ oznacza klasę abstrakcji, której reprezentantem jest $(a,b).$ Wówczas dodawanie i mnożenie w zbiorze ${\mathbb{N}}_0\times {\mathbb{N}}_0/\sim$ definiuje się jako:

$[(a,b)]+[(c,d)]=[(a+c,b+d)],$

$[(a,b)]\cdot [(c,d)]=[(ac+bd,ad+bc)].$

Liczby $[(a,b)],$ dla których $a>b$ nazywamy liczbami całkowitymi dodatnimi;
liczby $[(a,b)],$ dla których $a<b$ nazywamy liczbami całkowitymi ujemnymi.

Własności

Algebraiczne

Tak zdefiniowana struktura jest pierścieniem całkowitym, tj. pierścieniem przemiennym z jedynką bez dzielników zeraSzablon:Fakt.

Zerem tego pierścienia jest $[(0,0)],$ elementem przeciwnym do $[(a,b)]$ jest element $[(b,a)].$ Jedynką jest $[(1,0)].$

Podzbiór elementów postaci $[(a,0)]$ jest izomorficzny z ${\mathbb{N}}_0.$

Ponieważ $[(a,b)]=[(a,0)]+[(0,b)]$ oraz $[(0,b)]$ elementem przeciwnym do $[(b,0)],$ więc

$[(a,b)]=[(a,0)]-[(b,0)].$

Ostatnia zależność potwierdza wyżej wspomnianą intuicję.

Liczność

Zbiór liczb całkowitych $\mathbb{Z}$ jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych $\mathbb{N},$ gdyż istnieje funkcja wzajemnie jednoznaczna $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{N}$ przypisująca każdej liczbie całkowitej dokładnie jedną liczbę naturalną. Np.:

$f(x)=\{\begin{array}{cc}2x,& \text{gdy }x>0\\ -2x+1,& \text{gdy }x⩽0\end{array}.$

Zobacz też

• aksjomaty i konstrukcje liczb
• liczby całkowite (zapis komputerowy)
• równanie diofantyczne

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld [dostęp 2024-02-02].
• Szablon:Otwarty dostęp Integer Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-02-02].