Dziedzina całkowitości

Szablon:Spis treści Dziedzina całkowitości, pierścień całkowity^[1] – pierścień spełniający cztery warunki – jest:

niezerowy,
przemienny,
z jedynką,
pozbawiony (właściwych) dzielników zera.

Pierścienie te są uogólnieniem pierścienia liczb całkowitych i stanowią one naturalny kontekst do badania podzielności ze względu na dość regularne reguły przeprowadzania rachunków; najistotniejszą ich własnością jest tzw. prawo skracania.

Nieprzemienne dziedziny całkowitości nazywa się dziedzinami, wiele pozycji jednak się nimi nie zajmuje (ograniczając się do klasy pierścieni przemiennych), nazywając dziedziny całkowitości w skrócie również dziedzinami. Inną nazwą dziedziny całkowitości, pochodzącą od Langa Szablon:Fakt, jest pierścień całkowity.

Własności

Niech $R$ będzie dziedziną całkowitości. Jeżeli $a, b, c \in R,$ przy czym $c \neq 0,$ to zachodzi własność skracania:

jeśli

a c = b c,

to

a = b .

Dowód: Niech

c \neq 0 .

Jeśli

a c = b c,

to

a c - b c = 0,

czyli

(a - b) c = 0 .

Ale w pierścieniu

R

nie ma dzielników zera, więc

a - b = 0 .

Stąd

a = b .

Każde ciało jest dziedziną całkowitości.
Dowód: Zbiór niezerowych elementów ciała jest grupą, tzn. iloczyn niezerowych elementów jest różny od zera.
Każda skończona dziedzina całkowitości jest ciałem.
Dowód: Wystarczy wykazać, że dowolny niezerowy element jest odwracalny. Rozważmy dla danego elementu $a \neq 0$ jego iloczyny ze wszystkimi $n$ elementami pierścienia: $a a_{1}, a a_{2}, \dots, a a_{n} .$ Gdyby wśród nich nie było jedynki, to pewien element występowałby dwa razy (co najmniej) dla iloczynów z różnymi elementami, np. $a a_{i} = a a_{j}$ dla pewnych $i \neq j .$ Ale z własności skracania wynika $a_{i} = a_{j}$ wbrew temu, że $a_{i}, a_{j}$ są różnymi elementami.