Pierścień z jedynką

Pierścień z jedynką – pierścień, w którym istnieje element neutralny mnożenia, nazwany jedynką.

Jedynka pierścienia $R$ oznaczana jako $1$ spełnia więc warunek, który formalnie można zapisać

$a\cdot 1=1\cdot a=a$ dla każdego elementu $a$ pierścienia $R.$

Innymi słowy, pierścień z jedynką jest monoidem ze względu na mnożenie. Jeśli pierścień nie jest pierścieniem trywialnym (tzn. ma co najmniej 2 elementy), to $1\ne 0.$ Jeśli $f:R\to S$ jest homomorfizmem pierścieni z jedynką i $1$ jest jedynką pierścienia $R,$ to $f(1)$ jest jedynką pierścienia $S.$ W pierścieniach z jedynką istnieje przynajmniej jeden ideał maksymalny (twierdzenie Krulla).

Dołączanie jedynki do pierścienia

Dowolny pierścień $R$ można zanurzyć w pewnym pierścieniu z jedynką. W tym celu wystarczy w iloczynie kartezjańskim $\mathbb{Z}\times R$ zdefiniować dwa działania:

$(n_1,r_1)+(n_2,r_2)=(n_1+n_2,r_1+r_2),$

$(n_1,r_1)\cdot (n_2,r_2)=(n_1{n}_2,n_1{r}_2+n_2{r}_1+r_1{r}_2).$

Łatwo sprawdzić, że struktura $\hat{R}=\mathbb{Z}\times R$ z powyższymi działaniami jest pierścieniem oraz że para $(1,0)$ jest jego jedynką.

Łatwo również zauważyć, że zbiór

$\{(0,r):r\in R\}$

jest podpierścieniem pierścienia $\hat{R}$ izomorficznym z $R.$ Izomorfizm ten realizuje więc zanurzenie $R$ w $\hat{R}.$ Pierścień $R$ jest przy tym ideałem pierścienia $\hat{R}.$

Jeśli oznaczyć $(1,0)$ jako $1,$ to $(n,r)$ gdzie $n\in \mathbb{Z}$ oraz $r\in R,$ można zapisać w postaci $n\cdot 1+r.$

Zobacz też

• moduł
• pierścień Boole’a
• półpierścień