Iloczyn kartezjański

Szablon:Znak Iloczyn kartezjański, produkt zbiorów, produkt kartezjański – dla danych zbiorów $A$ i $B$ zbiór wszystkich takich par uporządkowanych $(a,b),$ że $a$ należy do zbioru $A$ i $b$ należy do zbioru $B$Szablon:OdnSzablon:Odn. Iloczyn kartezjański zbiorów $A$ i $B$ oznacza się symbolem $A\times B$Szablon:OdnSzablon:Odn.

Nazwa iloczyn kartezjański odnosi się do francuskiego matematyka Kartezjusza. Nieprzypadkowe jest też skojarzenie z kartezjańskim układem współrzędnych. Zbiór wszystkich punktów płaszczyzny (zbiór liczb zespolonych $ℂ$) jest iloczynem kartezjańskim $ℝ\times ℝ,$ przy czym $ℝ$ oznacza zbiór liczb rzeczywistych, ponieważ każdy punkt płaszczyzny można utożsamić z uporządkowaną parą współrzędnych (liczb rzeczywistych).

Iloczyn kartezjański trójelementowych zbiorów A i B

Definicje

Iloczynem kartezjańskim zbiorów $A$ i $B$ nazywamy zbiór

$A\times B=\{(a,b)\mid a\in A\wedge b\in B\}.$

W analogiczny sposób można zdefiniować iloczyn kartezjański więcej niż dwóch zbiorów. Mianowicie $A\times B\times C$ to zbiór wszystkich trójek uporządkowanych $(a,b,c)$ takich, że $a\in A,$ $b\in B,$ $c\in C.$ Definicja ta wymaga uściślenia, co się rozumie przez owe trójki. Można tego dokonać w rozmaity sposób. Jeden z nichSzablon:OdnSzablon:Odn, to traktowanie tych trójek jako ciągów trójwyrazowych, czyli funkcji na zbiorze $\{1,2,3\}$ w zbiór $A\cup B\cup C.$ Przy drugim jako $A\times B\times C$ bierze się $A\times (B\times C),$ a zatem trójka to para par: $(a,(b,c)).$ Formalnie zbiór $A\times B\times C$ zdefiniowany jako zbiór trójek i zbiór $A\times (B\times C)$ nie są równe, ale w praktyce to rozróżnienie nie ma znaczeniaSzablon:OdnSzablon:Odn.

Podobnie $A\times B\times C\times D$ można określić jako zbiór czwórek uporządkowanych $(a,b,c,d)$ takich, że $a\in A,$ $b\in B,$ $c\in C,$ $d\in D.$ Czwórki te można interpretować dwojako:

• jako funkcje z $\{1,2,3,4\}$ w zbiór $A\cup B\cup C\cup D,$
• jako pary par $\{a,\{b,\{c,d\}\}\},$ wówczas iloczyn $A\times B\times C\times D$ określa się jako $A\times (B\times (C\times D)).$

Iloczyny kartezjańskie większej liczby zbiorów definiuje się analogicznie.

Przykłady

Niech dane będą zbiory $A=\{x,y\}$ oraz $B=\{1,2,3\}.$ Iloczyn kartezjański zbiorów $A$ i $B$ zgodnie z definicją jest równy:

$A\times B=\{(x,1),(y,1),(x,2),(y,2),(x,3),(y,3)\}.$

Zbiór ${ℝ}^n=ℝ\times ℝ\times \dots \times ℝ$ służy do konstruowania n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej.

Własności

Liczba elementów

Niech $A$ i $B$ będą skończonymi zbiorami. Jeśli $|A|=n$ oraz $|B|=m,$ to $|A\times B|=nm.$

Dowód tego faktu można przeprowadzić indukcyjnie ze względu na $n.$ Jeżeli $n=1,$ to $A=\{a\},$ przy czym $a$ jest jedynym elementem zbioru $A.$ Wówczas wprost z definicji $A\times B=\{(a,b)\mid b\in B\}.$ Zbiór ten jest równoliczny z $B,$ ponieważ przekształcenie $b\mapsto (a,b)$ jest bijekcją między tymi zbiorami. Zatem w tym przypadku $|A\times B|=m=1\cdot m.$

Ponadto, jeżeli pewna liczba $n\ge 1$ ma tę własność, że $|A\times B|=nm$ dla każdego $A$ takiego, że $|A|=n$ oraz dla każdego $|B|=m,$ to tę własność ma także liczba $n+1.$ Istotnie, można przedstawić $(n+1)$-elementowy zbiór $A$ w postaci sumy rozłącznych zbiorów $A=\{a_1,a_2,\dots ,a_n\}\cup \{a_{n+1}\}.$ Wtedy z definicji sumy zbiorów zachodzą równości Szablon:Wzór Pierwszy z tych zbiorów ma z założenia indukcyjnego $nm$ elementów. Z kolei drugi ze zbiorów ma (na mocy rozumowania przeprowadzonego dla $n=1$) $m$ elementów. Ponieważ wobec rozłączności $\{a_1,a_2,\dots ,a_n\}$ oraz $\{a_{n+1}\}$ zbiory te są rozłączne i sumują się do $A\times B,$ zachodzi równość $|A\times B|=nm+m=(n+1)m.$ To kończy dowód indukcyjny.

Uogólniony produkt kartezjański

Dla rodziny zbiorów $\{A_i:i\in I\}$ można wprowadzić pojęcie uogólnionego iloczynu kartezjańskiego (często nazywanego produktem kartezjańskim (rodziny) zbiorów). Dokładniej, zbiór złożony ze wszystkich tych funkcjiSzablon:Odn

$f:I\to \bigcup _{i\in I}{A}_i,$

takich że $f(i)\in A_i$ dla każdego $i\in I$ nazywa się produktem kartezjańskim rodziny zbiorów $\{A_i:i\in I\}$ i oznacza takimi symbolami jak

$\prod _{i\in I}{A}_i,$ $\times i\in I{A}_i$ lub $\underset{i\in I}{\mathrm{P}}{A}_i.$

Zobacz też

• m-produkt
• produkt (teoria kategorii)
• suma prosta
• topologia produktowa
• zbiór potęgowy

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę