Iloczyny grup

Szablon:Podziel Szablon:Spis treści Iloczyny (produkty) grup – sposoby budowania nowych grup z dobrze już znanych, jak również metody opisu bardziej skomplikowanych grup przez inne, mniejsze, o znanej strukturze, np. każda grupa abelowa skończenie generowana jest iloczynem prostym grup cyklicznych.

Iloczyn kartezjański

Niech ${G_{i} : i \in I}$ będzie rodziną grup, gdzie $I$ jest co najwyżej przeliczalnym zbiorem indeksów. Rozważmy iloczyn kartezjański

\prod_{i \in I} G_{i} = G_{1} \times G_{2} \times \dots \times G_{n} \times \dots = {(g_{1}, g_{2}, \dots, g_{n}, \dots) : g_{i} \in G_{i}, i \in I}

z działaniem

(g_{1}, g_{2}, \dots, g_{n}, \dots) (h_{1}, h_{2}, \dots, h_{n}, \dots) \overset{d e f}{=} (g_{1} h_{1}, g_{2} h_{2}, \dots, g_{n} h_{n}, \dots) .

Powyższe działanie wprowadza w tym zbiorze strukturę grupy, gdyż

elementem neutralnym jest $e = (e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n}, \dots),$ gdzie $e_{i}$ jest elementem neutralnym grupy $G_{i}$ dla każdego $i \in I,$
elementem odwrotnym do elementu $g = (g_{1}, g_{2}, \dots, g_{n}, \dots)$ jest $g^{- 1} = (g_{1}^{- 1}, g_{2}^{- 1}, \dots, g_{n}^{- 1}, \dots) .$

Powyższą konstrukcję nazywa się iloczynem kartezjańskim grup i oznacza symbolem $\prod_{i \in I} G_{i} .$

W definicji zastosowano dla każdej grupy zapis multyplikatywny.

Iloczyn prosty

Iloczynem (produktem) prostym (zewnętrznym) grup $G_{i}$ określonych wyżej nazywa się podgrupę iloczynu kartezjańskiego grup $\prod_{i \in I} G_{i}$ określonego równością

\underset{i \in I}{∐} G_{i} \overset{d e f}{=} {(g_{1}, g_{2}, \dots, g_{n}, \dots) : \exists_{m} \forall_{i > m} g_{i} = e_{i}} .

Iloczyn prosty jest więc zbiorem tych elementów iloczynu kartezjańskiego, których prawie wszystkie współrzędne są jedynkami odpowiednich grup. Grupa, która może być wyrażona jako iloczyn prosty właściwych podgrup jest nazywana rozkładalną, w przeciwnym wypadku nosi ona nazwę nierozkładalnej.

Własności

Jeżeli $I = {1, 2, \dots, n}$ jest zbiorem skończonym, to iloczyn prosty pokrywa się z iloczynem kartezjańskim grup, wówczas do jego oznaczenia stosuje się również zapis $G_{1} \times G_{2} \times \dots \times G_{n} .$

Jeżeli jednak $I = ℕ$ jest zbiorem przeliczalnym, a $G_{i}$ są nietrywialne dla nieskończenie wielu $i \in I,$ to $∐ G_{i} < \prod G_{i} .$

Suma prosta

Jeżeli rozważamy grupy $A_{i}$ z addytywnym sposobem zapisu, to iloczyn prosty nazywa się wówczas sumą prostą i pisze

⨁_{i \in I} A_{i} .

W algebrze abstrakcyjnej sumy proste grup uogólnia się na sumy proste przestrzeni liniowych, modułów i innych struktur, więcej w artykule o sumach prostych modułów.

Sam zapis jest przemienny, tzn. dla sumy prostej dwóch grup przemiennych $G = H \oplus K = K \oplus H .$ Jest również łączny, tzn. jeżeli $G = H \oplus K$ oraz $K = L \oplus M,$ to $G = H \oplus (L \oplus M) = H \oplus L \oplus M .$

Jeżeli $G = H \oplus K,$ to można udowodnić, że:

dla dowolnych $h \in H, k \in K$ zachodzi $h + k = k + h,$
dla dowolnych $g \in G$ istnieją jednoznacznie wyznaczone $h \in H, k \in K$ takie, że $g = h + k,$
zachodzi skracanie sumy w ilorazie, tzn. $(H \oplus K) / K$ jest izomorficzna z $H .$

Fakty te uogólnia się łatwo na sumę prostą skończenie wielu grup.

Przykłady

grupa wektorów na płaszczyźnie euklidesowej o współrzędnych rzeczywistych z dodawaniem jest iloczynem prostym grupy liczb rzeczywistych z dodawaniem przez samą siebie.

Iloczyn półprosty

Iloczyn półprosty zewnętrzny

Niech będą dane grupy $N$ i $D$ oraz homomorfizm $φ : D \to Aut N$ grupy $D$ w grupę automorfizmów grupy $N .$

Iloczynem półprostym (zewnętrznym) grup $N$ i $D$ za pośrednictwem $φ,$ oznaczanym $N ⋊_{φ} D,$ nazywa się grupę składająca się z elementów $(n, d), n \in N, d \in D$ wraz z działaniem określonym wzorem

(n_{1}, d_{1}) (n_{2}, d_{2}) = (n_{1} φ_{d_{1}} (n_{2}), d_{1} d_{2})

oraz odwrotnością daną przez

(n, d)^{- 1} = (φ_{d^{- 1}} (n^{- 1}), d^{- 1}),

i elementem neutralnym

(e, 1)

gdzie $e \in N$ oraz $1 \in D$ są elementami neutralnymi.

Iloczyn półprosty wewnętrzny

Niech $N$ będzie podgrupą normalną w $G .$ Dopełnieniem normalnym $D$ podgrupy $N$ w $G$ nazywamy zbiór spełniający warunki $N \cap D = {e}$ oraz $N D = G$ (równoważnie $D N = G$ ).

Grupę $G$ nazywa się iloczynem półprostym wewnętrznym podgrup $N$ i $D,$ co oznacza $N ⋊ D$ wtedy i tylko wtedy, gdy $D$ jest dopełnieniem normalnym $N .$

Jeżeli grupa $G$ jest iloczynem półprostym wewnętrznym swoich podgrup $N$ i $D,$ to jest ona izomorficzna z iloczynem półprostym zewnętrznym $N ⋊_{φ} D$ za pośrednictwem homomorfizmu $φ : D \to Aut N$ określonego jako $φ_{d} (n) = d n d^{- 1},$ czyli sprzężenie $n$ przez $d .$ Odwrotnie, iloczyn półprosty zewnętrzny $N ⋊_{φ} D$ jest wewnętrznym iloczynem półprostym swoich podgrup $N \times {1}$ oraz ${e} \times D,$ przy czym pierwsza z nich jest podgrupą normalną.

Własności

$N ⋊_{φ} D \equiv N \times D$ wtedy i tylko wtedy, gdy homomorfizm $φ : D \to Aut N$ jest trywialny.
$N ⋊_{φ} D$ jest przemienna wtedy i tylko wtedy, gdy $N, D$ są przemienne oraz $φ : D \to Aut N$ jest trywialny.

Przykłady

Grupa diedralna rzędu $2 n$ jest iloczynem półprostym wewnętrznym $D_{n} = ℤ_{n} ⋊ ℤ_{2} .$
Grupa izometrii przestrzeni $ℝ^{n}$ jest iloczynem półprostym grupy obrotów oraz symetrii z grupą translacji.

Zobacz też

Bibliografia

Cz. Bagiński, Wstęp do teorii grup, SCRIPT, 2005, Szablon:ISBN.

Linki zewnętrzne

Szablon:Otwarty dostęp Direct product Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].

Szablon:Teoria grup

ru:Прямое произведение#Прямое произведение групп

Iloczyny grup

Iloczyn kartezjański

Iloczyn prosty

Własności

Suma prosta

Przykłady

Iloczyn półprosty

Iloczyn półprosty zewnętrzny

Iloczyn półprosty wewnętrzny

Własności

Przykłady

Zobacz też

Bibliografia

Linki zewnętrzne

Menu nawigacyjne

Szukaj