Grupa cykliczna

Pierwiastki szóstego stopnia z jedynki tworzą grupę cykliczną z mnożeniem z elementem $\mathrm{z}$ pełniącym rolę jej generatora; grupę generuje również element ${\mathrm{z}}^5,$ są to wszystkie generatory tej grupy.

Grupa cykliczna – grupa generowana przez pojedynczy element nazywany jej generatorem (grupa cykliczna może mieć wiele generatorów, ale każdy z nich samodzielnie generuje tę grupę). Oznacza to, że poprzez cykliczne iterowanie (wielokrotne złożenie) działania grupowego na generatorze lub jego odwrotności można uzyskać dowolny element tej grupy; w notacji multiplikatywnej elementy są więc potęgami generatora, a w notacji addytywnej – jego wielokrotnościami.

Grupę cykliczną $G$ daje się zatem przedstawić jako

$⟨a⟩:=\{a^n\in G:n\in \mathbb{Z}\},$

gdzie $a$ jest (pewnym wybranym) generatorem grupy $G.$ W szczególności może się zdarzyć, iż $a^n$ będzie dla pewnego $n\in \mathbb{Z}$ równe elementowi neutralnemu $e$ – w tym wypadku grupa zawiera skończenie wiele elementów; jeżeli taka sytuacja nie zachodzi, to grupa ma nieskończenie wiele (dokładnie: przeliczalnie wiele) elementów. Najmniejszą grupą cykliczną jest grupa trywialna zawierająca tylko jeden element; najmniejszą grupą niecykliczną jest grupa Kleina (nazywana również „czwórkową”) rzędu $4.$

Grupy cykliczne należą do najprostszych i najlepiej poznanych grup: skończone i nieskończone grupy cykliczne mają tę samą strukturę co (odpowiednio) grupy addytywne ${\mathbb{Z}}_n$ dla $n\in \mathbb{N}$ (zob. arytmetyka modularna) oraz $\mathbb{Z}$ (zob. liczby całkowite). W szczególności stanowią one „budulec” niektórych rodzajów grup przemiennych, zob. klasyfikacje grup przemiennych o skończonej liczbie elementów oraz grup przemiennych o skończonej liczbie generatorów.

Grupa multiplikatywna dowolnego ciała skończonego (tj. zbiór elementów odwracalnych, czyli niezerowych, z mnożeniem) jest grupą cykliczną; w szczególności grupa multiplikatywna ${\mathbb{Z}}_p^{\times }$ pierścienia klas reszt modulo $p$ jest cykliczna dla dowolnej liczby pierwszej $p.$ Ogólniej, ${\mathbb{Z}}_n^{\times }$ jest cykliczna wtedy i tylko wtedy, gdy $n=4$ lub jest postaci $p^k$ lub $2p^k$ dla nieparzystej liczby pierwszej $p$ i liczby naturalnej $k.$ Z drugiej strony dowolna grupa rzędu będącego liczbą pierwszą jest cykliczna.

Zastosowania

Własności grup cyklicznych leżą u podstaw wielu mechanizmów kryptograficznych, m.in. protokołu wymiany kluczy Diffiego-Hellmana, czy schematu szyfrowania z kluczem publicznym ElGamal (będącego jego rozszerzeniem); oba algorytmy wykorzystują żywotnie prostotę obliczania funkcji wykładniczej w grupach cyklicznych oraz trudność obliczeń w przypadku logarytmu dyskretnego, czyli zagadnienia odwrotnego do wspomnianego.

Z chińskiego twierdzenia o resztach dla grup cyklicznych wynika tożsamość struktur (izomorfizm) grupy ${\mathbb{Z}}_{mn}$ oraz grupy iloczynu prostego ${\mathbb{Z}}_m$ i ${\mathbb{Z}}_n$ (podobnie dla grup ${\mathbb{Z}}_{mn}^{\times }$ oraz ${\mathbb{Z}}_m^{\times }$ i ${\mathbb{Z}}_n^{\times }$). Spostrzeżenie to znajduje zastosowanie w wielu obszarach matematyki stosowanej, również w kryptografii (np. współdzieleniu tajemnicy, implementacjach algorytmu Rivesta-Shamira-Adlemana), czy obliczeniach rozproszonych. Wiele algorytmów kryptograficznych (w tym RSA) zasadza się na trudności rozkładu na czynniki liczby $n,$ który umożliwia wgląd w strukturę grupy ${\mathbb{Z}}_n^{\times }$ jako iloczynu prostego grup cyklicznych (por. klasyfikacja skończonych grup przemiennych).

Zobacz też

• grupa lokalnie cykliczna
• grupa policykliczna
• grupa quasi-cykliczna

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Paweł Lubowiecki, Struktury algebraiczne cz. II Grupa cykliczna, Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego, kanał „Uczelnia WAT” na YouTube, 30 stycznia 2024 [dostęp 2024-09-07].
• Szablon:Cytuj stronę
• Szablon:Cytuj stronę