Pierwiastek z jedynki

Pierwiastek z jedynki $n$-tego stopnia w ciele K – element $a\in K$ spełniający równośćSzablon:Odn:

$a^n=1$

gdzie $n$ jest liczbą naturalną większą od 0. Ciałem $K$ może być w szczególności ciało liczb zespolonych $ℂ$Szablon:Odn.

Grupa pierwiastków z jedynki

Zbiór wszystkich pierwiastków z jedynki stopnia $n$ tworzy grupę ze względu na mnożenie. Grupa ta jest grupą cykliczną rzędu $n,$ zatem jest ona izomorficzna z grupą addytywną klas reszt ${\mathbb{Z}}_n.$

Pierwiastki z jedynki w ciele liczb zespolonych

Pierwiastki piątego stopnia z jedynki na płaszczyźnie zespolonej

Istnieje dokładnie $n$ różnych pierwiastków stopnia $n$ z jedynki w zbiorze liczb zespolonych $ℂ$; dane są one wzorami de Moivre'a:

${\omega }_n^{(k)}=\cos \left(\frac{2k\pi }{n}\right)+i\sin \left(\frac{2k\pi }{n}\right)$ , $k=0,1,\dots ,n-1$

lub równoważnie

${\omega }_n^{(k)}=e^{\frac{2\pi ik}{n}}$, $k=0,1,\dots ,n-1$

Tradycyjnie liczby $k=0,1,\dots ,n-1$ ustanawia się jednocześnie indeksami poszczególnych pierwiastków z jedynki stopnia $n$.

Pierwiastki z jedynki w ciele liczb zespolonych nazywane są także liczbami de Moivre’a dla uhonorowania francuskiego matematyka Abrahama de Moivre’a.

Przykłady

Z powyższych wzorów otrzymujemy:

• Pierwiastki 1-go stopnia z jedynki: ${\omega }_0=1$
• Pierwiastki 2-go stopnia z jedynki: ${\omega }_0=1,{\omega }_1=-1$
• Pierwiastki 3-go stopnia z jedynki: ${\omega }_0=1,{\omega }_1=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2},{\omega }_2=\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}$

• Pierwiastki 4-go stopnia z jedynki: ${\omega }_0=1,{\omega }_1=i,{\omega }_2=-1,{\omega }_3=-i$

Własności

(1) Na płaszczyźnie zespolonej pierwiastki $n$-tego stopnia z jedności są wierzchołkami wielokąta foremnego o $n$ bokach wpisanego w okrąg jednostkowy, którego jeden z wierzchołków leży w punkcie $1.$ Realizują one podział tego okręgu na $n$ równych części.

(2) Dla $n>1$ wszystkie pierwiastki z jedynki $n$-tego stopnia sumują się do $0:$

$\sum _{k=0}^{n-1}{e}^{\frac{2\pi ik}{n}}=0$

(3) Przypadek $n=2$ powyższej tożsamości jest znany pod nazwą tożsamości Eulera:

$e^{\pi i}+1=0$

(4) Grupy ${ℂ}_n$ pierwiastków z jedności $n$-tego stopnia wyczerpują skończone podgrupy grupy multiplikatywnej ciała liczb zespolonych. Ważnymi ze względu na klasyfikację grup abelowych są grupy

${ℂ}_{p^{\mathrm{\infty }}}\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{ℂ}_{p^n},$

gdzie $p$ jest ustaloną liczbą pierwszą.

Pierwiastki pierwotne z jedynki

Pierwiastki z jedynki stopnia 6-go. Tylko pierwiastek 1-szy i 5-ty są pierwiastkami pierwotnymi (generują wszystkie inne poprzez mnozenie przez siebie).

Df. Pierwiastkami pierwotnymi stopnia $n$ z jedynki nazywamy te spośród pierwiastków ${\omega }_n^{(k)}$, $k=0,1,\dots ,n-1$, które są generatorami grupy, jaką tworzą te pierwiastki. Innymi słowy, wszystkie pozostałe pierwiastki można otrzymać z mnożenia przez siebie generatora odpowiednią ilość razy.

Tw. 1 Dla stopnia $n$ pierwiastkiem pierwotnym z jedynki jest na pewno pierwiastek postaci

$\omega =\cos \frac{2\pi }{n}+i\sin \frac{2\pi }{n}$

lub równoważnie, w zapisie wykładniczym

$\omega =e^{\frac{2\pi i}{n}}$

Dowód: Ze wzoru de Moivre'a mamy dla $k=1,\dots ,n-1$

${\omega }^k={(\cos \frac{2\pi }{n}+i\sin \frac{2\pi }{n})}^k=\cos \frac{2k\pi }{n}+i\sin \frac{2k\pi }{n}\ne 1$

zaś dla $k=n$ mamy

${\omega }^n={(\cos \frac{2\pi }{n}+i\sin \frac{2\pi }{n})}^n=\cos 2\pi +i\sin 2\pi =1,$

co dowodzi, że $k=n$ jest najniższym stopniem, dla którego ${\omega }^k=1$. Oznacza to, że $\omega =\cos \frac{2\pi }{n}+i\sin \frac{2\pi }{n}$ jest pierwotnym pierwiastkiem z jedynki stopnia $n$.

Tw. 2 Pierwiastek stopnia $n$ z jedynki o indeksie $k$ jest pierwotny, jeżeli liczba $k$ jest względnie pierwsza względem stopnia $n$ pierwiastka.

Z Tw. 2 wynika stąd, że pierwiastkami prymitywnymi z jedynki są

• 1-go stopnia: ${\omega }_0=1$
• 2-go stopnia: ${\omega }_1=-1$
• 3-go stopnia: ${\omega }_1=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2},{\omega }_2=\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}$

• 4-go stopnia: ${\omega }_1=i,{\omega }_3=-i$
• 5-go stopnia: ${\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3,{\omega }_4$
• 6-go stopnia: ${\omega }_1,{\omega }_5$
• 7-go stopnia: ${\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3,{\omega }_4,{\omega }_5,{\omega }_6$
• 8-go stopnia: ${\omega }_1,{\omega }_3,{\omega }_5,{\omega }_7$
• 9-go stopnia: ${\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_4,{\omega }_5,{\omega }_7,{\omega }_8$
• 10-go stopnia: ${\omega }_1,{\omega }_3,{\omega }_7,{\omega }_9$
• ....

Obliczając liczby pierwiastków dla poszczególnych stopni otrzymamy:

$\phi (1)=1,\phi (2)=1,$ $\phi (3)=2,\phi (4)=2,$ $\phi (5)=4,\phi (6)=2,$ $\phi (7)=6,\phi (8)=4,$ $\phi (9)=6,\phi (10)=4,$

- zgodnie z funkcją Eulera, co wyraża poniższe twierdzenie.

Tw. 3 Liczba pierwiastków pierwotnych stopnia $n$ z jedynki jest równa $\phi (n),$ gdzie $\phi$ jest funkcją Eulera.

Tw. 4 Pierwiastek pierwotny stopnia n z jedynki spełnia równanie algebraiczne stopnia n-1 postaci:

${\omega }^{n-1}+{\omega }^{n-2}+\dots +\omega +1=0$

Dowód:

Z twierdzenia o sumowaniu się wszystkich pierwiastków stopnia n mamy

$\sum _{k=0}^{n-1}{e}^{\frac{2\pi ik}{n}}=0$

Dokonując przekształceń i podstawiając do równania postać wykładniczą pierwiastka pierwotnego $\omega =e^{\frac{2\pi i}{n}}$ otrzymamy

$\sum _{k=0}^{n-1}(e^{\frac{2\pi i}{n}}{)}^k=\sum _{k=0}^{n-1}{\omega }^k={\omega }^0+{\omega }^1+\dots +{\omega }^{n-1}=0$

Ponieważ ${\omega }^0=1$, to po zamianie kolejności składników sumy na odwrotny otrzymamy tezę, cnd.

Zobacz też

• addytywna grupa klas reszt
• ciało algebraicznie domknięte
• pierwiastkowanie

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę, tłum. ros., Москва 1976, s. 153–158.

Literatura dodatkowa

• Szablon:Cytuj książkę