Ciało algebraicznie domknięte

Ciało algebraicznie domknięte $F$ – takie ciało, w którym każdy wielomian stopnia co najmniej pierwszego jednej zmiennej ma pierwiastek w $F.$

Równoważnie można je zdefiniować jako ciało, które nie ma nietrywialnych rozszerzeń algebraicznych: z tego, że $K$ jest rozszerzeniem algebraicznym $F,$ wynika, że $K=F.$

Każde ciało jest podciałem pewnego ciała algebraicznie domkniętego. Rozszerzenie ciała $F,$ które jest algebraiczne i jest ciałem algebraicznie domkniętym, nazywamy domknięciem algebraicznym ciała $F.$ Za przykład niech posłuży ciało liczb rzeczywistych. Ciało to nie jest algebraicznie domknięte: wielomian $w(x)=x^2+1$ nie ma pierwiastków w tym ciele. Domknięciem algebraicznym ciała liczb rzeczywistych jest jednak ciało liczb zespolonych (dla powyższego wielomianu pierwiastkami w ciele liczb zespolonych są $i$ oraz $-i$).

Ponieważ dla każdego ciała $F$ istnieje jego rozszerzenie $K$ będące ciałem algebraicznie domkniętym, a zbiór elementów algebraicznych nad $F$ należących do $K$ jest rozszerzeniem algebraicznym $F$ oraz ciałem algebraicznie domkniętym, dla każdego ciała istnieje jego algebraiczne domknięcie.

Twierdzenie mówiące o tym, że ciało liczb zespolonych jest ciałem algebraicznie domkniętym, nazywa się „zasadniczym twierdzeniem algebry” i pociąga za sobą istotne konsekwencje, jak chociażby fakt, że każdą macierz o współczynnikach zespolonych można sprowadzić do postaci Jordana.

Jedną z najważniejszych własności ciał algebraicznie domkniętych jest twierdzenie Hilberta o zerach:

Jeśli $F$ jest ciałem algebraicznie domkniętym, to dla każdych liczb naturalnych $n,m$ i dla dowolnych wielomianów $f_1(X_1,X_2,\dots ,X_n),\dots ,f_m(X_1,X_2,\dots ,X_n)$ o współczynnikach z ciała $F$ następujące warunki są równoważne:

• układ równań $f_1(X_1,X_2,\dots ,X_n)=0,\dots ,f_m(X_1,X_2,\dots ,X_n)=0$ ma rozwiązanie w $F;$

• ideał $(f_1(X_1,X_2,\dots ,X_n),\dots ,f_m(X_1,X_2,\dots ,X_n))$ jest ideałem właściwym pierścienia wielomianów $F[X_1,X_2,\dots ,X_n].$

Innymi słowy, taki układ równań nie ma rozwiązań wtedy i tylko wtedy, gdy jest sprzeczny, tzn. gdy istnieją wielomiany $g_1(X_1,X_2,\dots ,X_n),\dots ,g_m(X_1,X_2,\dots ,X_n)$ o współczynnikach z ciała $F$ takie, że

$g_1\cdot f_1+\dots +g_m\cdot f_m=1.$

Domknięcie algebraiczne ciała ${\mathbb{Z}}_p$

Nie istnieją ciała skończone, algebraicznie domknięte. Oznacza to, że istnieją ciała nieskończone o skończonej charakterystyce. Przykładem takiego ciała może być algebraiczne domknięcie ciała $GF(3)={\mathbb{Z}}_3=\{0,1,2\}:$

Dla każdego $k=1,2,\dots$ istnieje jedyne ciało $GF(3^k)$ o $3^k$ elementach. Na przykład ciało $GF(3^2)$ można reprezentować jako ${\mathbb{Z}}_3(\sqrt{2})=\{0,1,2,\alpha ,\alpha +1,\alpha +2,2\alpha ,2\alpha +1,2\alpha +2\},$ gdzie ${\alpha }^2=2.$

Dla każdego $m,n\in \mathbb{N}\setminus \{0\},$ $GF(3^m)\subseteq GF(3^n)$ wtedy i tylko wtedy, gdy $m$ jest dzielnikiem liczby $n.$ Więc dla każdego $m,n$ można znaleźć skończone ciało $C$ zawierające $GF(3^m)$ i $GF(3^n),$ np ciało $GF(3^{mn}).$ Z tego możemy wywnioskować, że suma wszystkich ciał $GF(3^n)$ jest znowu ciałem, które oznaczamy ${\bar{\mathbb{Z}}}_3.$

Każdy wielomian ze współczynnikami w ciele ${\bar{\mathbb{Z}}}_3$ ma w rzeczywistości współczynniki w pewnym ciele skończonym $GF(3^n),$ więc ma pierwiastek w pewnym skończonym rozszerzeniu ciała $GF(3^n);$ to rozszerzenie musi być ciałem skończonym o charakterystyce 3, tzn. pewnym ciałem $GF(3^{n^{\prime }})\subseteq {\bar{\mathbb{Z}}}_3.$

Więc ciało ${\bar{\mathbb{Z}}}_3$ (zbiór nieskończony, ale przeliczalny) jest algebraicznie domknięte.

Domknięcie algebraiczne ciała liczb wymiernych

Domknięcie algebraiczne $\bar{\mathbb{Q}}$ ciała liczb wymiernych $\mathbb{Q}$ nazywamy ciałem liczb algebraicznych. Jest ono (przeliczalnym) podciałem ciała liczb zespolonych; elementy ciała $\bar{\mathbb{Q}}$ nazywamy liczbami algebraicznymi; pozostałe liczby zespolone nazywamy liczbami przestępnymi. Georg Cantor udowodnił, że ciało $\bar{\mathbb{Q}}$ jest przeliczalne, a ciała $ℝ$ i $ℂ$ są nieprzeliczalne. Dowód Cantora, używający metod z zapoczątkowanej przez niego teorii monogości, był nową konstrukcją liczb przestępnych; Liouville w 1844 r. znalazł liczby przestępne używając metody z teorii liczb.

Nieprzywiedlność wielomianów

Ciało $F$ jest ciałem algebraicznie domkniętym wtedy i tylko wtedy, gdy jedynymi nieprzywiedlnymi w nim wielomianami są wielomiany stopnia pierwszego.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę