Element algebraiczny

Element algebraiczny – uogólnienie pojęcia liczby algebraicznej na rozszerzenia dowolnych ciał. Liczby algebraiczne to elementy algebraiczne ciała liczb zespolonych nad ciałem liczb wymiernych.

Definicja

Niech $K$ będzie podciałem ciała $L.$ Element $a\in L$ nazywamy elementem algebraicznym nad $K$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje niezerowy wielomian o współczynnikach z ciała $K,$ którego pierwiastkiem jest $a.$

Element niebędący algebraicznym nad $K$ nazywamy elementem przestępnym nad $K$ w ciele $L.$

Własności

• Zbiór wszystkich elementów ciała $L$ algebraicznych nad $K$ tworzy ciało, zwane rozszerzeniem algebraicznym ciała $K.$
• Jeśli $a\in L$ jest elementem algebraicznym nad $K,$ to

$K(a)=K[a]=\{f(a)\in L:f\in L[x]\}$ (por. oznaczenia w artykule rozszerzenia ciał)

• Dla każdego elementu algebraicznego $a\in L$ nad $K$ istnieje dokładnie jeden unormowany wielomian pierwszy $p_a$ o współczynnikach z ciała $K$ (tj. element pierwszy w pierścieniu $K[x]$), którego pierwiastkiem jest $a.$ Wielomian $p_a$ nazywamy wielomianem minimalnym elementu algebraicznego $a.$ Zachodzi $[F(a):F]=\mathrm{deg}{p}_a.$ Stopień ten nazywamy stopniem elementu algebraicznego $a.$

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę