Liczby wymierne

Standardowy symbol zbioru liczb wymiernych

Nieskończona macierz zawierająca wszystkie liczby wymierne pokazuje, że jest to zbiór równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych.

Liczby wymierne – liczby, które można zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych, w którym dzielnik jest różny od zera. Są to więc liczby, które można przedstawić za pomocą ułamka zwykłego. Zbiór liczb wymiernych zazwyczaj oznacza się symbolem $\mathbb{Q},$ od niemieckiego słowa Quotient – iloraz lub stosunek. Symbolicznie:

$\mathbb{Q}=\{\frac{m}{n}:m,n\in \mathbb{Z},n\ne 0\}.$

Liczby wymierne są przez to uogólnieniem liczb całkowitych $(\mathbb{Z}\subset \mathbb{Q})$ umożliwiającym dzielenie przez dowolną liczbę różną od zera; na liczbach wymiernych można wykonywać wszystkie cztery podstawowe działania arytmetyczne. Jest też kilka innych podstawowych własności tego zbioru:

• porządek liczb wymiernych jest gęsty – między każdą parą liczb wymiernych istnieje inna liczba tego typu;
• liczby wymierne można zapisywać ułamkami dziesiętnymi – są one skończone lub okresowe;
• pierwiastek z liczby wymiernej nie musi być wymierny; przykładowo pierwiastek kwadratowy z dwóch jest niewymierny: $\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}.$

Podstawowym uogólnieniem liczb wymiernych są liczby rzeczywiste, których ułamki dziesiętne mogą być jednocześnie nieskończone i nieokresowe. Więcej informacji o liczbach wymiernych dostarcza matematyka wyższa:

• konstruuje je za pomocą liczb całkowitych;
• opisuje dalsze własności, opisane niżej;
• wprowadza inne uogólnienia, zwane rozszerzeniami ciała liczb wymiernych. Przykłady to pierwiastniki liczb wymiernych i inne liczby algebraiczne; nie muszą one należeć do liczb rzeczywistych, podobnie jak liczby p-adyczne.

Konstrukcja

Liczby wymierne tworzą ciało ułamków pierścienia liczb całkowitych. Niech w zbiorze par liczb całkowitych $(a,b)\in \mathbb{Z}\times \mathbb{Z},$ których następnik jest różny od zera, dana będzie relacja równoważności

$(a,b)\sim (c,d)$ wtedy i tylko wtedy, gdy $ad=bc.$

W zbiorze klas abstrakcji tej relacji określa się dwa działania

• $[(a,b)]+[(c,d)]=[(ad+bc,bd)],$
• $[(a,b)]\cdot [(c,d)]=[(ac,bd)].$

Parę $(a,b)$ zapisuje się zwykle w postaci ułamka $\frac{a}{b},$ bądź jeśli $b=1,$ to parę tę utożsamia się po prostu z liczbą $a.$

Własności

• W teorii mnogości mówi się, że liczby wymierne, tak jak całkowite, tworzą zbiór przeliczalny – są równoliczne ze zbiorem liczb naturalnych, co oznacza się $\mathrm{\#}\mathbb{Q}={\mathrm{\aleph }}_0$Szablon:Fakt.
• W algebrze abstrakcyjnej mówi się, że liczby wymierne, tak jak całkowite, tworzą grupę przemienną z działaniem dodawania. Przy dołączeniu mnożenia liczby wymierne – w odróżnieniu od całkowitych – tworzą ciało i definiuje się nimi ciała liczbowe.
• Porządek liczb wymiernych nie jest ciągły.
• Każdą liczbę wymierną można zapisać jako skończony ułamek łańcuchowy (ciągły ułamek arytmetyczny) i jest to cecha, która je wyróżnia wśród liczb rzeczywistych;
• Z perspektywy topologicznej liczby wymierne – jako podzbiór osi rzeczywistej $ℝ$ – są gęste w $ℝ.$

Dla wykazania tej własności wystarczy udowodnić, że dla każdych $x,y\in ℝ,x<y$ istnieje liczba wymierna $u\in \mathbb{Q},x<u<y.$

Dowód Gdyby $x,y$ były wymierne, to oczywiście $u=\frac{x+y}{2}$ spełnia tezę. Niech więc choć jedno spośród $x,y$ jest niewymierne.

• Jeśli $x<0<y,$ to można przyjąć $u=0.$
• Jeśli $0=x<y,$ to ponieważ $ℝ$ jest ciałem archimedesowym, to wystarczy wskazać $n\in \mathbb{N}$ takie, że $n>\frac{1}{y},$ czyli $0<\frac{1}{n}<y.$
  Podobnie gdy $x<y=0,$ wskazujemy $n>\frac{1}{-x}$ i wówczas $x<\frac{1}{-n}<0.$
• Niech więc $0<x<y$ i niech np. $x$ jest niewymierne.
  Dla pewnego $q\in \mathbb{N}$ zachodzi $q>\frac{1}{y-x},$ stąd $1<q(y-x).$
  Z drugiej strony istnieje $p\in \mathbb{N}$ takie, że $p>qx,$ niech $p_0$ będzie najmniejszą liczbą naturalną o tej własności. Pokażemy, że $qx<p_0<qx+1.$ Rzeczywiście, gdyby $p_0⩾qx+1,$ to byłoby $p_0-1⩾qx.$ Ponieważ równość nie może zachodzić (liczba niewymierna nie może być liczbą naturalną), więc $p_0-1>qx$ wbrew temu, że $p_0$ jest najmniejszą liczbą wśród liczb naturalnych $p$ o własności $p>qx.$
  Ostatecznie $qx<p_0<qx+1$ łącznie z warunkiem $1<q(y-x)$ daje

$qx<p_0<qx+q(y-x)=qy,$

czyli

$x<\frac{p_0}{q}<y.$

Jeśli $y$ jest niewymierne i $x$ wymierne, to wystarczy znaleźć $n\in \mathbb{N}$ takie, że $n>y$ i znaleźć jak poprzednio $u\in \mathbb{Q}$ spełniające $0<n-y<u<n-x.$ Wówczas $n-u\in \mathbb{Q}$ i $x<n-u<y.$

• Jeśli $x<y<0,$ to wystarczy znaleźć jak w poprzednim punkcie $u\in \mathbb{Q}$ spełniające $0<-y<u<-x$ i wówczas $x<-u<y.$

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Tomasz Miller, Liczby całkowite i wymierne | Zacznijmy od zera #1, Centrum Kopernika Badań Interdyscyplinarnych – Uniwersytet Jagielloński, kanał „Copernicus” na YouTube, 5 stycznia 2021 [dostęp 2023-11-26].