Ciało archimedesowe

Wizualizacja warunku Archimedesa

Ciało archimedesowe – ciało uporządkowane $(𝕂,+,\cdot ,0,1,<)$ spełniające aksjomat Archimedesa, tzn. warunek:

${\mathrm{\forall }}_{a,b\in 𝕂}{\mathrm{\exists }}_{n\in \mathbb{N}}0<a<b\Rightarrow na>b$.

Warunek Archimedesa można wyrazić także na inne równoważne sposoby, takie jak:

• ${\mathrm{\forall }}_{a\in 𝕂}{\mathrm{\exists }}_{n\in \mathbb{N}}n>a$;
• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n}=0$;
• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }n=\mathrm{\infty }$;
• Dowolny przekrój Dedekinda$(A,B)$ zbioru uporządkowanego $(𝕂,<)$ spełnia warunek: ${\mathrm{\forall }}_{n\in \mathbb{N}}{\mathrm{\exists }}_{a\in A}{\mathrm{\exists }}_{b\in B}b-a<\frac{1}{n}$;
• Zbiór ułamków ciała $𝕂$ jest gęsty w $𝕂$.

Przykłady ciał archimedesowych

Ciałem archimedesowym jest np. ciało liczb rzeczywistych. Co więcej – jest to największe ciało archimedesowe, tzn. każde ciało archimedesowe jest izomorficzne z pewnym podciałem ciała liczb rzeczywistych. Zatem każde rozszerzenie ciała liczb rzeczywistych musi być niearchimedesowe; istnieją jednak również niearchimedesowe ciała nie będące rozszerzeniami ciała liczb rzeczywistych.

Przykłady ciał niearchimedesowych

Ciałem niearchimedesowym jest np. ciało liczb hiperrzeczywistych. Istnieją takie liczby hiperrzeczywiste $a\preccurlyeq b,$ że nie istnieje taka liczba naturalna $n,$ że $na\succcurlyeq b$.

Dowód niearchimedesowości ciała liczb hiperrzeczyywistych

Można poczynić najpierw obserwację, że $\{n\in \mathbb{N}:0<1/n\}=\mathbb{N}\in 𝒰,$ co oznacza, że $0^{*}\prec [(1/n)]$. Lecz ponieważ ciało liczb rzeczywistych jest archimedesowe, to ${\mathrm{\forall }}_{r\in {ℝ}_{+}}{\mathrm{\exists }}_{n_0\in \mathbb{N}}{\mathrm{\forall }}_{n>n_0}1/n<r,$ skąd wynika, że $E:=\{n_0+i{\}}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}\subset \{n\in \mathbb{N}:1/n<r\}$. Zbiór $E$ należy do ultrafiltru $𝒰,$ zatem $\{n\in \mathbb{N}:1/n<r\}\in 𝒰$. Zatem ${\mathrm{\forall }}_{r\in {ℝ}_{+}}{0}^{*}\prec [(1/n)]\prec r^{*},$ co znaczy, że ciało to nie spełnia aksjomatu Archimedesa. $◻$

Jednak ciało liczb hiperrzeczywistych spełnia zmodyfikowaną wersję aksjomatu Archimedesa, tzn. gdy dopuści się by wartość $n$ przebiegała zbiór liczb hipernaturalnych ${\mathbb{N}}^{*},$ to spełniony jest warunek:

${\mathrm{\forall }}_{a\in {ℝ}^{*}}{\mathrm{\exists }}_{n\in {\mathbb{N}}^{*}}a\prec n$.