Liczby niewymierne

Szablon:Dopracować Liczby niewymierne – liczby rzeczywiste niebędące wymiernymi, czyli niebędące ilorazami liczb całkowitych, czasem oznaczane różnicą zbiorów: $ℝ\mathrm{\setminus }\mathbb{Q}$. Przykłady to:

• pierwiastek kwadratowy z dwóch ($\sqrt{2}$);
• inne pierwiastki arytmetyczne z liczb naturalnych niebędące liczbami naturalnymi, np. $\sqrt{99992}$Szablon:Fakt;
• liczba pi (π);
• podstawa logarytmu naturalnego (e);
• stała Gelfonda-Schneidera $2^{\sqrt{2}}$;
• ${\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}$;
• ${\log }_{2}9$;
• stała Apéry’ego $A:=\zeta (3):=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^3}$.

Rozwinięcie dziesiętne liczby niewymiernej jest nieskończone i nieokresowe. Przez to przykładem liczby niewymiernej jest też 0,123456789101112131415... – konkatenacja zapisów dziesiętnych kolejnych liczb naturalnychSzablon:Fakt.

Dzieje badań

Najstarsze opisy niewymierności pochodzą ze starożytnej Grecji, konkretniej od Pitagorejczyków, którzy wykazali niewymierność liczby $\sqrt{2}$. Zauważyli oni, że przekątna kwadratu o boku 1, możliwa do obliczenia twierdzeniem Pitagorasa, jest niewspółmierna z bokiemSzablon:Fakt. Potem udowodniono niewymierność innych stałych:

stała	dowód niewymierności
	data	autor
e	1737	Leonhard Euler
π	1760	Johann Heinrich Lambert
$\zeta (3)$	1979	Szablon:Link-interwiki

Własności

• Zbiór liczb niewymiernych jest gęsty i nieprzeliczalny.
• Liczba niewymierna podniesiona do potęgi niewymiernej może być wymierna. Inaczej, istnieją takie liczby niewymierne $a$ i $b,$ że liczba $a^b$ jest wymierna. Przykłady to:

${\sqrt{2}}^{{\log }_{2}9}=2^{\frac{1}{2}{\log }_2(3^2)}=2^{{\log }_{2}3}=3,$

$({\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}{)}^{\sqrt{2}}=(\sqrt{2}{)}^{({\sqrt{2}}^2)}=(\sqrt{2}{)}^2=2.$

• O własnościach niektórych potęg z niewymiernymi wykładnikami mówi twierdzenie Gelfonda-Schneidera.
• Liczba niewymierna do potęgi wymiernej może być wymierna lub nie: ${\sqrt{2}}^2=2\in \mathbb{Q},{\sqrt{2}}^3=2\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}$.
• Każdą liczbę niewymierną można rozwinąć w nieskończony ułamek łańcuchowy; skończone ułamki łańcuchowe przedstawiają liczby wymierne.
• Liczby niewymierne wypełniają luki w przekrojach Dedekinda zbioru liczb wymiernych $\mathbb{Q}$ dając w efekcie przestrzeń zupełnąSzablon:Fakt.
• Jako podprzestrzeń linii prostej $ℝ,$ zbiór liczb niewymiernych jest homeomorficzny z przestrzenią Baire’a, czyli ze zbiorem wszystkich funkcji $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$Szablon:Fakt.

Zobacz też

• usuwanie niewymierności z mianownika
• dowód niekonstruktywny
• twierdzenie Gelfonda-Schneidera
• liczba przestępna
• niewspółmierność interteoretyczna

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Ganesh Pai, Making sense of irrational numbers Szablon:Lang, kanał TED-Ed na YouTube, 23 maja 2016 [dostęp 2024-08-22].
• Szablon:Otwarty dostęp Can We Combine pi & e to Make a Rational Number?, kanał PBS Infinite Series na YouTube, 13 kwietnia 2017 [dostęp 2024-08-29].