Funkcja okresowa

Funkcja okresowa – funkcja, której wartości „powtarzają się” cyklicznie w stałych odstępach (ścisła definicja poniżej). Klasycznym jej przykładem jest funkcja sinus:

Funkcje okresowe mogą służyć do modelowania zjawisk okresowych w fizyce – np. ruchu wahadła czy planety – a także w biologii, medycynie, ekonomii i innych dziedzinach nauki.

Definicja dla funkcji liczbowych

Niech $D\subset ℝ$ oraz niech $f:D\to ℝ$ będzie funkcją o wartościach rzeczywistych określoną na zbiorze $D.$ Okresem funkcji $f$ nazywamy dowolną liczbę $T$ różną od zera (niekiedy zakłada się, że $T>0$) o następujących własnościach:

1. dla dowolnej liczby $x\in D,$ również liczby $x+T,x-T$ należą do $D$ (niekiedy opuszcza się warunek $x-T\in D$)
2. dla każdego $x\in D$ zachodzi równość $f(x+T)=f(x).$

Jeśli jakaś funkcja ma okres, nazywamy ją funkcją okresową; funkcję o okresie $T$ nazywa się czasem skrótowo funkcją $T$-okresową.

Pierwszy z powyższych warunków gwarantuje, że dziedzina funkcji okresowej ma odpowiednią strukturę, tj. biorąc jakąkolwiek liczbę $x,$ dla której wyrażenie $f(x)$ ma sens, żądamy, aby miało ono sens również dla $x+T,$ a w konsekwencji i dla $x+2T,$ $x+3T$ itd. (oraz $x-T,$ $x-2T$ itd.). Przykładowo, nie ma sensu np. mówić o okresowości funkcji określonej na przedziale ograniczonym, gdyż, mówiąc nieściśle, nie powstaje on przez cykliczne powtarzanie jakiegoś kawałka w nieskończoność. Warunek, by $x-T\in D$ (niekiedy opuszczany), zapewnia, że dziedzina rozciąga się nie tylko od pewnego miejsca do plus nieskończoności, ale także w przeciwnym kierunku.

Drugi warunek stanowi sedno pojęcia okresowości: implikuje on, że nie tylko dziedzina, ale również wykres funkcji $f$ powstaje przez położenie obok siebie nieskończenie wielu przesuniętych coraz dalej kopii tego samego zbioru. Zauważmy, że nie ma potrzeby dodawania warunku $f(x-T)=f(x);$ kładąc bowiem $x-T$ zamiast $x$ w warunku 2, otrzymujemy $f(x)=f((x-T)+T)=f(x-T).$

Przykłady i podtypy

Przykładami funkcji okresowych są:

• funkcje trygonometryczne:
  • $2\pi$-okresowe sinus, cosinus, secans, cosecans,
  • $\pi$-okresowe tangens, cotangens,
• funkcja stała (której okresem jest każda liczba różna od zera),
• funkcja Dirichleta, dana wzorem:

$D(x):=\{\begin{array}{cc}1,& \text{gdy }x\text{ wymierne,}\\ 0,& \text{gdy }x\text{ niewymierne}.\end{array}$

Jej okresem jest dowolna niezerowa liczba wymierna i tylko takie liczby są jej okresami.

• Funkcja wykładnicza e^x rozpatrywana na zbiorze liczb zespolonych. Jej okresem podstawowym jest $2\pi i.$

Jeśli wśród dodatnich okresów funkcji $f$ istnieje najmniejszy, to nazywa się go okresem podstawowym lub zasadniczymSzablon:Fakt. Funkcja okresowa nie musi mieć okresu podstawowego, na przykład dla funkcji stałych oraz funkcji Dirichleta.

Jeśli funkcja okresowa ma dodatkowe właściwości – zwane warunkami Dirichleta – to jest równa swojemu szeregowi Fouriera.

Na płaszczyźnie zespolonej szczególnie istotne są funkcje eliptyczne (dwuokresowe).

Własności

• Jeśli $T$ jest okresem, to każda całkowita wielokrotność liczby $T$ też jest okresem funkcji.
• Suma i iloczyn funkcji okresowych o wspólnej dziedzinie i okresie $T$ są funkcjami okresowymi o okresie $T.$ Okres podstawowy nie musi być zachowany, może się zmniejszyć lub przestać istnieć. Na przykład: $\sin x+(-\sin x).$
• Ogólniej: jeśli dwie funkcje okresowe mają okresy współmierne, tj. $T_1/T_2\in \mathbb{Q},$ to suma tych funkcji również jest okresowa. W przeciwnym wypadku ta suma jest funkcją prawie okresową.
• jeśli funkcja okresowa jest ciągła, to jest stała lub ma okres podstawowy (zasadniczy)Szablon:Odn;
• Jeśli funkcja okresowa $f:ℝ\to ℝ$ o okresie $T$ jest różniczkowalna, to jej pochodna $f^{\prime }$ również jest funkcją okresową o okresie $T$Szablon:Fakt.

Definicja dla półgrup

Niech $(G,*)$ będzie półgrupą, a $f:G\to Y$ funkcją określoną na $G.$ Jeśli istnieje taki element $T$ w $G$ (nie będący elementem neutralnym), że $f(x*T)=f(x)$ dla dowolnego $x\in G,$ to nazywamy go okresem funkcji $f,$ a samą funkcję nazywamy okresową.

Ta definicja nie jest uogólnieniem definicji podanej wcześniej, bo tym razem nie założono istnienia odpowiednika liczby $x-T.$ Jeśli $G$ jest grupą, to warunek ten jest spełniony. Niemniej jednak tak ogólna definicja może być pożyteczna – obejmuje ona np. ciągi okresowe, tj. funkcje okresowe określone na zbiorze liczb naturalnych. Zauważmy również, że:

• samą definicję można by napisać nawet w przypadku zbioru z określonym jakimkolwiek działaniem (tj. niekoniecznie łącznym);
• w przypadku półgrup nieprzemiennych należy odróżniać zdefiniowany powyżej prawy okres od lewego okresu.

Zobacz też

• okres (fizyka)
• sygnał okresowy

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld [dostęp 2023-10-10].
• Szablon:Otwarty dostęp Periodic function Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-10-10].