Wielokrotność

Wielokrotność – termin używany w arytmetyce i algebrze w kilku powiązanych znaczeniach.

Definicje

• Wielokrotność liczby naturalnej $a$ to każda liczba postaci $na,$ gdzie $n$ też jest liczbą naturalną. Definiuje się też całkowite wielokrotności liczby $x$ jako liczby postaci $kx,$ gdzie $k$ jest liczbą całkowitą.
• W teorii grup wielokrotnościami elementu $g$ w grupie $(G,+)$ nazywa się elementy postaci $n\cdot g=g+g+\dots +g$ ($n$ składników)Szablon:Odn.
• W teorii podzielności element $b$ pierścienia całkowitego $R$ jest wielokrotnością elementu $a$ tegoż pierścienia, jeśli $b=ca$ dla pewnego $c\in R$Szablon:Odn. W tym kontekście jeśli $b$ jest wielokrotnością $a$ (w pierścieniu $R$), to mówi się, że $a$ jest dzielnikiem $b.$

Przykłady

W matematyce elementarnej

• Wielokrotności liczby 5 to liczby 5, 10, 15, 20 itd. Wszystkie te liczby są wielokrotnościami liczby 5 w sensie pierścienia liczb całkowitych (i teorii podzielności w tym pierścieniu).
• Liczby $\pi ,2\pi ,3\pi ,4\pi$ są całkowitymi wielokrotnościami liczby $\pi .$ Warto zwrócić uwagę, że wszystkie te liczby są też wielokrotnościami $\pi$ w sensie grupy addytywnej liczb rzeczywistych $(ℝ,+,0).$

W teorii pierścieni

• 125 jest wielokrotnością -5 w pierścieniu liczb całkowitych.
• W pierścieniu $ℂ[x]$ wielomianów o współczynnikach zespolonych, wielomian $x^2+1$ jest wielokrotnością wielomianu $x+i$ (bowiem $x^2+1=(x+i)(x-i)$).
• Jeśli pierścień $R$ jest ciałem oraz $a\in R\setminus \{0\},$ to wszystkie elementy $R$ są wielokrotnościami $a$ w sensie teorii pierścieni.

W teorii grup

• W grupie S₃, permutacja $\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 2& 3\end{array}\right)$ jest wielokrotnością $\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 2& 1\end{array}\right)$ bowiem

${\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 2& 1\end{array}\right)}^2=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 2& 1\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 2& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 2& 3\end{array}\right)$

• W grupie addytywnej klas reszt modulo 25, tzn. w $({\mathbb{Z}}_{25},+),$ wielokrotnościami 5 są: 5, 10, 15, 20 i 0.

Wspólna wielokrotność

Wspólna wielokrotność liczb naturalnych $x$ i $y$ jest to taka liczba $z,$ która jest wielokrotnością liczby $x$ i jest wielokrotnością liczby $y,$ to znaczy istnieją takie liczby $k,l$ należące do zbioru liczb naturalnych, że $z=kx$ i $z=ly.$

Przykład

Wspólnymi wielokrotnościami liczb 4 i 6 są liczby: 12, 24, 36, 48 itd.

$12=4\cdot 3=6\cdot 2,$

$24=4\cdot 6=6\cdot 4.$

Najmniejsza ze wspólnych wielokrotności to najmniejsza wspólna wielokrotność. Każde dwie liczby naturalne mają nieskończenie wiele wspólnych wielokrotności.

Zobacz też

• podwielokrotność

Bibliografia

• Szablon:Cytuj