Przestrzeń zupełna

Szablon:Inne znaczenia Przestrzeń metryczna zupełna – przestrzeń metryczna o takiej własności, że każdy ciąg Cauchy’ego utworzony z punktów tej przestrzeni ma granicę w punkcie należącym do tej przestrzeni.

Przestrzeń nazywa się niezupełną, jeśli istnieje choć jeden ciąg utworzony z punktów tej przestrzeni, którego granica nie należy do tej przestrzeni. Np. przestrzeń liczb wymiernych z metryką euklidesową$(\mathbb{Q},d_e)$ nie jest zupełna, gdyż np. można utworzyć ciąg liczb wymiernych, który jest zbieżny do liczby $\sqrt{2}$, która jest niewymierna (patrz przykłady poniżej). Przestrzeń niezupełną można uzupełnić o „brakujące” punkty tak, aby stała się zupełna. Np. zbiór liczb wymiernych uzupełniony o „brakujące” punkty staje się zbiorem liczb rzeczywistych.

Pojęcie zupełności wymaga istnienia metryki, pozwalającej określać granice ciągów – dlatego można je definiować tylko dla przestrzeni metrycznych. W szerszej klasie przestrzeni topologicznych, w ogólności niemetryzowalnych, wprowadza się analogiczne pojęcie zwartości przestrzeni.

Przykłady

Przestrzenie zupełne

1. Przestrzenie euklidesowe $({ℝ}^n,d_e)$ n-wymiarowe z metryką euklidesową są przestrzeniami zupełnymi.
2. Dowolny zbiór z topologią dyskretną jest przestrzenią metryzowalną w sposób zupełny przez metrykę dyskretną.
3. Z definicji przestrzenie Banacha są przestrzeniami unormowanymi, które są zupełne.
4. Szerszą klasą zupełnych przestrzeni liniowo-metrycznych są F-przestrzenie.

Przestrzenie niezupełne

1. Dowolny przedział otwarty jedno- lub dwustronnie z metryką euklidesową nie jest zupełny. Np. przedział $(0,2]$ nie jest zupełny, gdyż np. ciąg $a_n=\frac{1}{n}$ jest ciągiem Cauchy’ego w nim zawartym, ale jego granica = 0 nie należy do tego przedziału.
2. Zbiór liczb wymiernych $\mathbb{Q}$ nie jest zupełny, gdyż np.
   • ciąg $x_1=1$ oraz $x_{n+1}=\frac{x_n}{2}+\frac{1}{x_n},n=1,2,3,\dots$ jest ciągiem Cauchy’ego liczb wymiernych, ale jego granicą jest liczba niewymierna = $\sqrt{2},$
   • ciąg $x_n=\sum _{k=0}^n\frac{1}{k!},$ $n=0,1,2,3,\dots$ jest ciągiem Cauchy’ego liczb wymiernych, ale jego granicą jest liczba niewymierna = $e$ (liczba Nepera).

Zupełność jako niezmiennik

Tw. 1 Zupełność jest niezmiennikiem metrycznym, tzn. jest zachowywana przy izometriach.

Tw. 2 Zupełność nie jest niezmiennikiem topologicznym.

Np. zbiór liczb rzeczywistych $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ oraz dowolny przedział obustronnie otwarty $(a,b)$ są przestrzeniami wzajemnie homeomorficznymi (więc są to przestrzenie topologicznie nieodróżnialne); z drugiej strony zbiór liczb rzeczywistych jest przestrzenią zupełną, zaś przedział otwarty $(a,b)$ nie jest.

Dalsze własności

Szablon:Zobacz teżTw. 3 (Cantora) Przestrzeń jest zupełna $⟺$ każdy zstępujący ciąg niepustych zbiorów domkniętych o średnicach dążących do zera ma niepuste przecięcie.

Tw. 4 W przestrzeni metrycznej zupełnej przeliczalna suma domkniętych zbiorów brzegowych jest zbiorem brzegowym.

Tw. 5 Przestrzeń metryczna jest zupełna i całkowicie ograniczona $⟺$ przestrzeń metryczna jest zwarta.

Tw. 6 Każda przestrzeń metryczna zupełna jest zupełna w sensie Čecha.Szablon:Sekcja stub

Twierdzenie Hausdorffa

Tw. Hausdorffa (o uzupełnieniu przestrzeni metrycznej)

1. Dla każdej przestrzeni metrycznej $(X,d)$ istnieje przestrzeń metryczna zupełna $(\tilde{X},\tilde{d})$ oraz zanurzenie izometryczne $f:X\to \tilde{X},$ dla którego $f(X)$ jest gęstą podprzestrzenią $\tilde{X}.$ Przestrzeń $(\tilde{X},\tilde{d})$ nazywa się uzupełnieniem przestrzeni $(X,d).$
2. Ponadto jeśli $(Y,\rho )$ jest przestrzenią zupełną oraz istnieje izometryczne zanurzenie $g:X\to Y,$ dla którego $g(X)$ jest gęstą podprzestrzenią $Y,$ to $Y$ i $\tilde{X}$ są izometryczne.

Innymi słowy:

• Każda przestrzeń metryczna ma jedyne uzupełnienie – z dokładnością do izometrii.

Zobacz też

• przestrzeń ośrodkowa
• przestrzeń spójna
• przestrzeń topologiczna
• przestrzeń topologicznie zupełna
• przestrzeń zwarta

Bibliografia

• W. Kołodziej, Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 2009.