Topologia podprzestrzeni

Topologia podprzestrzeni – topologia określona na podzbiorze danej przestrzeni topologicznej, nazywanym wtedy podprzestrzenią, za pomocą naturalnie odziedziczonej z przestrzeni wyjściowej topologii. Topologię podprzestrzeni nazywa się też topologią śladową, relatywną lub indukowaną.

Definicja formalna

Niech $(X,\tau )$ będzie przestrzenią topologiczną, zaś $Y$ będzie podzbiorem zbioru $X.$ Topologia podprzestrzeni $Y$ indukowana z przestrzeni $X$ to rodzina ${\tau }_Y=\{U\cap Y:U\in \tau \}.$

Łatwo się sprawdza że $(Y,{\tau }_Y)$ jest przestrzenią topologiczną. Często zamiast mówić $Y$ z topologią podprzestrzeni $X$ mówi się po prostu podprzestrzeń $Y$.

Przykłady

• Jeśli w zbiorze liczb rzeczywistych $ℝ$ z topologią naturalną rozważymy zbiór liczb naturalnych $\mathbb{N}$ z topologią podprzestrzeni, to stanie się on przestrzenią dyskretną. Natomiast zbiór liczb wymiernych $\mathbb{Q}$ z topologią podprzestrzeni nie jest przestrzenią dyskretną – ta przestrzeń nie ma nawet punktów izolowanych.
• Jeśli $X=ℝ$ (z topologią naturalną), a $Y=[0,2),$ to zbiór $[0,1)$ jest otwarty w $Y,$ ale nie w $X.$

Charakteryzacja i własności

Topologia podprzestrzeni ma następujące własności. Przypuśćmy, że $X$ jest przestrzenią topologiczną a $Y$ jest jej podprzestrzenią.

• Niech $i:Y⟶X$ będzie zanurzeniem identycznościowym. Wówczas dla dowolnej przestrzeni topologicznej $Z$ i funkcji $f:Z\to Y,$ $f$ jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja złożona $i\circ f$ jest ciągła.

Własność charakteryzująca podprzestrzeń

Powyższa własność jest charakteryzacją w tym sensie, że może być użyta do zdefiniowania topologii podprzestrzeni na $Y.$

• Jeśli $f:X\to Z$ jest funkcją ciągłą, to jej ograniczenie do $Y$ też jest ciągłe.
• Podzbiór $F\subseteq Y$ jest domknięty (w topologii na $Y$) wtedy i tylko wtedy, gdy $F=F^{\ast }\cap Y$ dla pewnego domkniętego podzbioru $F^{\ast }\subseteq X.$
• Jeśli $ℬ$ jest bazą topologii na $X,$ to ${ℬ}_Y=\{U\cap Y:U\in ℬ\}$ jest bazą topologii na $Y.$
• Każda podprzestrzeń przestrzeni $Y$ jest także podprzestrzenią przestrzeni $X.$
• Jeśli $Y$ jest otwartym podzbiorem $X,$ to podziór $U\subseteq Y$ jest otwarty w $Y$ wtedy i tylko wtedy, gdy jest otwarty w $X.$
• Jeśli $Y$ jest domkniętym podzbiorem $X,$ to podziór $F\subseteq Y$ jest domknięty w $Y$ wtedy i tylko wtedy, gdy jest domknięty w $X.$
• Jeśli $X$ jest przestrzenią metryczną z metryką $d,$ to wtedy $d_Y=d{|}_{Y\times Y}$ jest metryką na $Y$ i topologia podprzestrzeni na $Y$ jest wyznaczona przez $d_Y$

Własności dziedziczne

Mówimy, że własność P przestrzeni topologicznych jest własnością dziedziczną, gdy:

dla każdej przestrzeni topologicznej $X,$ jeśli $X$ ma własność P i $Y$ jest podprzestrzenią $X,$ to $Y$ także ma własność P.

Przykłady własności dziedzicznych:

• aksjomaty oddzielania $T_0,T_1,T_2,T_3,T_{3\frac{1}{2}},T_5,T_6,$
• aksjomaty przeliczalności,
• metryzowalność,
• całkowita niespójność,
• bycie metryczną przestrzenią ośrodkową.

Przykłady własności, które nie są własnościami dziedzicznymi:

• bycie przestrzenią normalną,
• ośrodkowość,
• zwartość.

Zobacz też

• przestrzeń topologiczna
• topologia