Aksjomaty oddzielania

Diagram Hassego dla aksjomatów oddzielania; aksjomaty wyżej są silniejsze, a linia oznacza wynikanie.

Aksjomaty oddzielania mówią o pewnych własnościach przestrzeni topologicznych. Nazwa aksjomat dla tych własności jest używana tylko z przyczyn historycznych, nie mają te własności żadnej specjalnej pozycji wśród innych własności (chociaż niektóre z aksjomatów oddzielania są bardzo często wymagane od rozważanych przestrzeni). Oddzielanie odnosi się do wspólnego charakteru tych własności: w pewnym sensie każdy z tych aksjomatów mówi o oddzielaniu różnych obiektów w przestrzeniach topologicznych przez zbiory otwarte lub przez funkcje ciągłe lub przy użyciu jeszcze innych metod.

W początkowym okresie rozwoju topologii niektóre z aksjomatów oddzielania były sugerowane jako jedne z warunków definiujących przestrzenie topologiczne. Na przykład Felix Hausdorff postulował, aby przestrzenie topologiczne spełniały warunek T₂ (patrz poniżej).

W literaturze topologicznej występuje znaczna ilość własności, które są określane jako aksjomaty oddzielania (przynajmniej przez ich autorów). Nie ma jednomyślności co do stosowanej terminologii i pewne nazwy mogą być używane w różnych znaczeniach. Czytelnik literatury topologicznej powinien zawsze upewnić się co do znaczenia terminów stosowanych w danym artykule czy też książce.

Ciąg główny aksjomatów oddzielania

Wśród wielu własności oddzielania rozważanych w topologii specjalną pozycję zajmują aksjomaty oznaczane $T_i.$ Litera T pochodzi od niemieckiego słowa Trennung (oddzielanie), a indeksy $i$ wskazują jak silną jest rozważana własność. Dość ogólnie akceptowaną regułą jest, że większa wartość indeksu $i$ wskazuje na silniejszy aksjomat. Ta niepisana reguła ma także wpływ na większą jednoznaczność nazewnictwa i w zasadzie znaczenie każdego z aksjomatów $T_i$ jest ustalone.

Niech $\tau$ będzie topologią na zbiorze $X.$ Powiemy, że przestrzeń topologiczna $(X,\tau )$ spełnia aksjomat:

• T₀, jeśli

dla dowolnych dwóch różnych punktów $x,y\in X$ istnieje zbiór otwarty w $X,$ który zawiera dokładnie jeden z tych punktów;

• T₁, jeśli

dla dowolnych dwóch różnych punktów $x,y\in X$ istnieje zbiór otwarty $U\subseteq X$ taki, że $x\in U,$ ale $y\notin U;$

• T₂, jeśli

dla dowolnych dwóch różnych punktów $x,y\in X$ istnieją rozłączne zbiory otwarte $U\subseteq X$ i $V\subseteq X$ takie, że $x\in U$ i $y\in V;$

• T₃, jeśli

$X$ spełnia aksjomat $T_1$ i dla każdego zbioru domkniętego $F\subseteq X$ i dowolnego punktu $x\in X\setminus F$ można znaleźć rozłączne zbiory otwarte $U,V\subseteq X$ takie, że $x\in U$ i $F\subseteq V;$

• T_{3 1/2}, jeśli

$X$ spełnia aksjomat $T_1$ i dla każdego zbioru domkniętego $F\subseteq X$ i dowolnego punktu $x\in X\setminus F$ można znaleźć funkcję ciągłą $f:X⟶[0,1]$ taką, że $f(x)=0$ i $f(y)=1$ dla wszystkich punktów $y\in F;$

• T₄, jeśli

$X$ spełnia aksjomat $T_1$ i dla każdych rozłącznych zbiorów domkniętych $E,F\subseteq X$ (czyli $E\cap F=\mathrm{\varnothing }$) można znaleźć rozłączne zbiory otwarte $U,V\subseteq X$ takie, że $E\subseteq U$ i $F\subseteq V;$

• T₅, jeśli

każda podprzestrzeń przestrzeni $X$ spełnia aksjomat $T_4;$

• T₆, jeśli

$X$ spełnia aksjomat $T_4$ i każdy domknięty podzbiór $X$ jest przekrojem przeliczalnej rodziny zbiorów otwartych.

Często zamiast mówić „przestrzeń spełnia aksjomat $T_0$” mówimy po prostu, że jest $T_0.$ Analogicznie dla pozostałych aksjomatów.

Własności i przykłady

• Każda przestrzeń metryczna jest $T_6.$
• Zachodzą następujące implikacje:

$T_6\Rightarrow T_5\Rightarrow T_4\Rightarrow T_{3\frac{1}{2}}\Rightarrow T_3\Rightarrow T_2\Rightarrow T_1\Rightarrow T_0,$

gdzie $T_i\Rightarrow T_j$ należy interpretować jako stwierdzenie, że każda przestrzeń topologiczna spełniająca aksjomat $T_i$ spełnia także aksjomat $T_j$. Żadna z powyższych implikacji nie może być zastąpiona przez równoważność.

• Aksjomaty $T_0,T_1,T_2,T_3,T_{3\frac{1}{2}},T_5,T_6$ są własnościami dziedzicznymi. Natomiast własność $T_4$ nie jest dziedziczna, co właśnie było powodem do wprowadzenia aksjomatu $T_5,$ czyli dziedzicznej normalności.
• Następujące dwa twierdzenia wyjaśniają, dlaczego własności $T_5,T_6$ są zaliczane do aksjomatów oddzielania:

Przestrzeń T₁ $X$ spełnia aksjomat $T_5$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej pary zbiorów $A,B\subseteq X$ takich, że $A\cap \mathrm{c}\mathrm{l}(B)=\mathrm{\varnothing }=\mathrm{c}\mathrm{l}(A)\cap B$ istnieją zbiory otwarte $U,V\subseteq X$ takie, że $A\subseteq U,$ $B\subseteq V$ i $U\cap V=\mathrm{\varnothing }$

Przestrzeń T₁ $X$ spełnia aksjomat $T_6$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej pary rozłącznych domkniętych zbiorów $A,B\subseteq X$ istnieje funkcja ciągła $f:X⟶[0,1]$ taka, że $f^{-1}[\{0\}]=A$ i $f^{-1}[\{1\}]=B.$

Zobacz też

• przestrzeń T₀
• przestrzeń T₁
• przestrzeń T₂
• przestrzeń T₃
• przestrzeń T_{3 1/2}
• przestrzeń T₄
• przestrzenie T₅ i T₆