Część wspólna

Część wspólna, przekrój, przecięcie, iloczyn mnogościowy – zbiór zawierający te i tylko te elementy, które należą jednocześnie do obu/wszystkich wybranych zbiorów. Część wspólną definiuje się także dla dowolnych niepustych rodzin zbiorów.

Definicje

Przekrój zbiorów $A$ i $B$ oznaczony kolorem fioletowym

Część wspólna zbiorów $A$ i $B$ to zbiór, do którego należą te elementy zbioru $A,$ które należą również do $B$Szablon:OdnSzablon:Odn. Część wspólna zbiorów $A$ i $B$ jest oznaczana przez $A\cap B.$ Tak więc:

$x\in (A\cap B)\iff (x\in A)\wedge (x\in B)$Szablon:OdnSzablon:OdnSzablon:Odn,

co jest równoważne zapisowi

$A\cap B=\{x\in \mathrm{\Omega }:x\in A\wedge x\in B\}$Szablon:OdnSzablon:Odn,

gdzie $\mathrm{\Omega }$ jest zbiorem wszystkich rozważanych elementów zwanym przestrzeniąSzablon:OdnSzablon:Odn lub uniwersumSzablon:Odn.

Część wspólną można zdefiniować także dla dowolnej, niepustej rodziny zbiorów: jeżeli $𝒜$ jest niepustą rodziną zbiorów, to jej część wspólną definiuje się jako zbiór $\bigcap 𝒜$ elementów należących jednocześnie do wszystkich zbiorów z rodziny $𝒜$Szablon:Odn:

$x\in \bigcap 𝒜\iff ((\mathrm{\forall }A\in 𝒜)(x\in A)).$

Można to równoważnie zapisać jako

$\bigcap 𝒜=\{x\in \mathrm{\Omega }:(\mathrm{\forall }A\in 𝒜)(x\in A)\}$Szablon:Odn.

Podobnie dla indeksowanej rodziny zbiorów $(A_i{)}_{i\in I},$ gdzie zbiór indeksów $I$ jest niepusty, część wspólną definiuje się jako

$\bigcap _{i\in I}{A}_i=\{a\in \mathrm{\Omega }:(\mathrm{\forall }i\in I)(a\in A_i)\},$

co jest równoważne

$a\in \bigcap _{i\in I}{A}_i\iff ((\mathrm{\forall }i\in I)(a\in A_i))$Szablon:OdnSzablon:Odn.

Przykłady

• Niech $\mathbb{N}$ będzie zbiorem liczb naturalnych, a $P$ niech będzie zbiorem parzystych liczb całkowitych. Wówczas $\mathbb{N}\cap P$ jest zbiorem wszystkich parzystych liczb naturalnych, tzn.

$\mathbb{N}\cap P=\{n\in \mathbb{N}:2$ dzieli $n\}.$

• $(0,1)\cap [1,2]=\varnothing ,$ ale $[0,1]\cap [1,2]=\{1\}$
• $\bigcap _{n\in \mathbb{N}}(1-\frac{1}{n+1},1+\frac{1}{n+1})=\{1\}$
• Niech $𝔄$ będzie rodziną wszystkich otwartych przedziałów o końcach wymiernych zawierających odcinek $[\sqrt{2},\sqrt{5}).$ Wówczas

$\bigcap 𝔄=[\sqrt{2},\sqrt{5}].$

Własności

Operacje skończone

Dla dowolnych zbiorów $A,B,C$ zachodzą następujące równości:

• $\bigcap \{A\}=A=A\cap A,$
• $\bigcap \{A,B\}=A\cap B,$
• $(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$Szablon:Odn     (łączność),
• $A\cap B=B\cap A$Szablon:Odn     (przemienność),
• $(A\cap B)\cup C=(A\cup C)\cap (B\cup C)$ oraz $(A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup (B\cap C)$Szablon:Odn     (rozdzielność każdego z dwóch działań, przekroju i sumy, względem drugiego),
• $C\setminus (A\cap B)=(C\setminus A)\cup (C\setminus B)$ oraz $C\setminus (A\cup B)=(C\setminus A)\cap (C\setminus B)$Szablon:Odn     (prawo De Morgana).

Ponadto,

• $A\subseteq B$ wtedy i tylko wtedy, gdy $A\cap B=A.$

Operacje nieskończone

Własności przekroju skończenie wielu zbiorów uogólniają się na przekrój rodzin indeksowanych zbiorów. Niech $\{A_i:i\in I\},$ $\{B_i:i\in I\}$ oraz $\{C_{j,k}:j\in J\wedge k\in K\}$ będą indeksowanymi rodzinami zbiorów, gdzie zbiory indeksów $I,J,K$ są niepuste. Niech $D$ będzie dowolnym zbiorem. Wówczas

• $\bigcap _{i\in I}(A_i\cap B_i)=\bigcap _{i\in I}{A}_i\cap \bigcap _{i\in I}{B}_i$Szablon:Odn
• $\bigcap _{i\in I}{A}_i\cup \bigcap _{i\in I}{B}_i\subseteq \bigcap _{i\in I}(A_i\cup B_i)$
• $D\cap \bigcap _{i\in I}{A}_i=\bigcap _{i\in I}(A_i\cap D)$Szablon:Odn
• $D\cup \bigcap _{i\in I}{A}_i=\bigcap _{i\in I}(A_i\cup D)$Szablon:Odn
• $D\setminus \bigcap _{i\in I}{A}_i=\bigcup _{i\in I}D\setminus A_i$Szablon:Odn
• $\bigcap _{j\in J}\bigcap _{k\in K}{C}_{j,k}=\bigcap _{k\in K}\bigcap _{j\in J}{C}_{j,k}$
• $\bigcup _{j\in J}\bigcap _{k\in K}{C}_{j,k}\subseteq \bigcap _{k\in K}\bigcup _{j\in J}{C}_{j,k}$

Związek z funkcjami

Dla dowolnej funkcji $f:X⟶Y,$ dowolnej rodziny indeksowanej $\{A_i:i\in I\}$ podzbiorów zbioru $X$ oraz dla dowolnej rodziny indeksowanej $\{B_j:j\in J\}$ podzbiorów zbioru $Y,$ zachodzą następujące dwa stwierdzenia:

• $f^{-1}[\bigcap _{j\in J}{B}_j]=\bigcap _{j\in J}{f}^{-1}[B_j]$Szablon:Odn (inaczej mówiąc, przeciwobraz przekroju jest przekrojem przeciwobrazów);
• $f[\bigcap _{i\in I}{A}_i]\subseteq \bigcap _{i\in I}f[A_i]$Szablon:Odn (czyli obraz przekroju jest zawarty w przekroju obrazów).

W zbiorze potęgowym

Szablon:Zobacz też Jeśli wszystkie rozważane zbiory są podzbiorami ustalonego $U$ (tzw. uniwersum) oraz $𝒫(𝐔)$ jest rodziną wszystkich podzbiorów, tzw. zbiorem potęgowym, zbioru $U,$ to

$(𝒫(𝐔),\cup ,\cap ,\setminus ,\varnothing ,𝐔)$

jest ciałem zbiorów (ogólniej: algebrą Boole’a). Algebra Boole’a ta jest zupełna. Zbiór $U$ jest elementem neutralnym operacji części wspólnej $\cap .$

Zapis

$\bigcap 𝒜,$

gdy $𝒜=\varnothing$ (tzn. gdy $𝒜$ jest rodziną pustą) nie ma matematycznego sensuSzablon:Odn.

Zobacz też

• iloczyn kartezjański
• prawa De Morgana
• różnica zbiorów
• suma zbiorów

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę