Algebra Boole’a

Diagram Hassego dla algebry Boole’a podzbiorów zbioru trójelementowego

Diagramy Venna dla operatorów algebry Boole’a

Algebra Boole’a – typ struktury algebraicznej, rodzaj algebry ogólnej definiowany aksjomatami. Uogólniają one właściwości typowych przykładów takich struktur z logiki matematycznej i teorii mnogości jak:

• dwuelementowa algebra wartości logicznych {0, 1} z działaniami koniunkcji, alternatywy i negacji;
• rodzina wszystkich podzbiorów ustalonego zbioru (zbiór potęgowy) wraz z działaniami na zbiorach jako operacjami algebry.

Teoria algebr Boole’a to dział matematyki z pogranicza algebry abstrakcyjnej, teorii porządku i logiki. Jest stosowana w różnych działach matematyki jak topologia, w informatyce teoretycznej i elektronice cyfrowejSzablon:Fakt. Nazwa pochodzi od nazwiska George’a Boole’a.

Definicja

Algebra Boole’a – struktura algebraiczna $𝔹:=(B,\cup ,\cap ,\sim ,0,1),$ w której:

• $\cup$ i $\cap$ są działaniami dwuargumentowymi,
• $\sim$ jest operacją jednoargumentową,
• 0 i 1 są wyróżnionymi różnymi elementami zbioru $B,$
• dla wszystkich $a,b,c\in B$ spełnione są następujące warunki:

1.	$a\cup (b\cup c)=(a\cup b)\cup c$	$a\cap (b\cap c)=(a\cap b)\cap c$	łączność
2.	$a\cup b=b\cup a$	$a\cap b=b\cap a$	przemienność
3.	$a\cup (a\cap b)=a$	$a\cap (a\cup b)=a$	absorpcja
4.	$a\cup (b\cap c)=(a\cup b)\cap (a\cup c)$	$a\cap (b\cup c)=(a\cap b)\cup (a\cap c)$	rozdzielność
5.	$a\cup \sim a=1$	$a\cap \sim a=0$	pochłanianie

Oznaczenia

Różne oznaczenia

Suma	Iloczyn	Negacja
$\cup$	$\cap$	$\sim$
$+$	$\cdot$	$\bar{a}$
$+$	$\cdot$	$-$
$\vee$	$\wedge$	$\mathrm{\neg }$
$|$	$\mathrm{\&}$	$!$
$OR$	$AND$	$NOT$

Istnieją co najmniej trzy różne, szeroko rozpowszechnione tradycje oznaczeń w teorii algebr Boole’a. W definicji sformułowanej powyżej użyto symboli $\cup ,\cap ,\sim ,$ ale w częstym użyciu są również $+,\cdot ,-$ oraz $\vee ,\wedge ,\mathrm{\neg }.$ Symbole oznaczające operacje dwuczłonowe algebry Boole’a są prawie zawsze wprowadzane przez wybór jednej z par $(+,\cdot ),$ $(\vee ,\wedge )$ albo $(\cup ,\cap ).$ W oznaczeniach operacji jednoargumentowej algebry istnieje mniejsza konsekwencja i można się spotkać zarówno z symbolami $+,\cdot ,\sim ,$ jak i $\vee ,\wedge ,{\prime }^{}.$

System oznaczeń przedstawiony powyżej (i dalej przyjmowany w tym artykule) jest używany, między innymi, w podręczniku Heleny Rasiowej.

W badaniach teoriomnogościowych aspektów algebr Boole’a przeważa tradycja używania oznaczeń $(+,\cdot ,-)$Szablon:Fakt. Ten sam system został też wybrany za wiodący przez redaktorów monografii Handbook of Boolean Algebras.

Z kolei symbole $\wedge ,\vee$ zgodne z oznaczeniami w teorii krat są częściej używane w kontekstach algebraicznych (i teoriokratowych)Szablon:Fakt.

Spotykane są też inne kombinacje tychże symboli lub wręcz inne symbole (na przykład & w miejsce $\cap ,$ lub $a^{\prime }$ zamiast $\sim a$). W elektronice i informatyce często stosuje się OR, AND oraz NOT w miejsce $\cup ,$ $\cap$ oraz $\sim .$ W języku C oraz w językach nim inspirowanych używa się odpowiednio symboli: |, &, !.

Minimalna aksjomatyzacja

Powyższa (tradycyjna) definicja algebry Boole’a nie jest minimalna, np.Szablon:Fakt:

• nie jest konieczne wprowadzanie w niej symboli 0 i 1. Mogą one być konsekwencją aksjomatyki, a nie niezbędną dla niej definicją. 0 można zastąpić przez $\sim (x\cup (\sim x))$ a 1 przez $(x\cup (\sim x));$
• dzięki prawom de Morgana można też z aksjomatyki wyeliminować działanie $\cap$ lub $\cup ;$
• wszystkie działania można tak naprawdę zastąpić jednym – dysjunkcją (NAND) lub binegacją (NOR).

Istnieją równoważne, ale oszczędniejsze definicje algebry Boole’a. Przykładowy układ niezależnych aksjomatów to:

• $\cup$ jest przemienne
• $\cup$ jest łączne
• aksjomat Huntingtona: $\sim (\sim x\cup y)\cup \sim (\sim x\cup \sim y)=x.$

Inny taki układ to:

• $\cup$ jest przemienne
• $\cup$ jest łączne
• aksjomat Robbinsa: $\sim (\sim (x\cup y)\cup \sim (x\cup \sim y))=x$

Istnieją też systemy z jednym aksjomatem.

Przykłady

Najprostsza algebra Boole’a ma tylko dwa elementy, 0 i 1, a operacje tej algebry są zdefiniowane przez następujące tabele działań:

$\cdot$ 0 1 0 0 0 1 0 1

$+$ 0 1 0 0 1 1 1 1

a $\sim$ a 0 1 1 0

Algebra ta stanowi podstawę elektroniki cyfrowej.

Jeśli $ℱ$ jest ciałem podzbiorów zbioru $X,$ to $(ℱ,\cup ,\cap ,{\prime }^{},\varnothing ,X)$ jest algebrą Boole’a (gdzie $\text{'}$ oznacza operację dopełnienia).

Niech $𝒵$ będzie zbiorem zdań w rachunku zdań. Niech $\equiv$ będzie relacją dwuargumentową na zbiorze $𝒵$ określoną jako:

$\phi \equiv \psi$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\phi \iff \psi$ jest tautologią rachunku zdań.

Można sprawdzić, że $\equiv$ jest relacją równoważności na zbiorze $𝒵.$ Na zbiorze $X$ wszystkich klas abstrakcji $[\phi ]$ relacji $\equiv$ można wprowadzić operacje $\cup ,\cap ,\sim$ przez następujące formuły:

$[\phi ]\cup [\psi ]:=[\phi \vee \psi ],$

$[\phi ]\cap [\psi ]:=[\phi \wedge \psi ],$

$\sim [\phi ]:=[\mathrm{\neg }\phi ].$

W ten sposób otrzymuje się poprawnie zdefiniowane operacje na zbiorze $X$ (tzn. wynik nie zależy od wyboru reprezentantów klas abstrakcji), a $(X,\cup ,\cap ,\sim ,[p\wedge \mathrm{\neg }p],[p\vee \mathrm{\neg }p])$ jest algebrą Boole’a. Algebra ta jest nazywana algebrą Lindenbauma-Tarskiego.

Algebry Lindenbauma-Tarskiego rozważa się również dla języków pierwszego rzędu. Niech $𝐙$ będzie zbiorem zdań w ustalonym alfabecie $\tau$ i niech $T\subseteq 𝐙$ będzie niesprzeczną teorią w tym samym języku. Relację dwuargumentową $\equiv$ na zbiorze $𝐙$ można wprowadzić przez określenie

$\phi \equiv \psi$ wtedy i tylko wtedy, gdy $T⊢\phi \iff \psi .$

Wówczas $\equiv$ jest relacją równoważności na zbiorze $𝐙.$ Podobnie jak wcześniej:

$[\phi ]\cup [\psi ]:=[\phi \vee \psi ],$

$[\phi ]\cap [\psi ]:=[\phi \wedge \psi ],$

$\sim [\phi ]:=[\mathrm{\neg }\phi ].$

Można pokazać, że $(𝐙/\equiv ,\cup ,\cap ,\sim ,[\psi \wedge \mathrm{\neg }\psi {]}_{\equiv },[\psi \vee \mathrm{\neg }\psi {]}_{\equiv })$ jest algebrą Boole’a.

Własności

Niech $𝔹=(B,\cup ,\cap ,\sim ,0,1)$ będzie algebrą Boole’a. Dla wszystkich $a,b\in B$ zachodzi:

$a\cup a=a$

$a\cap a=a$

$a\cup 0=a$

$a\cap 1=a$

$a\cup 1=1$

$a\cap 0=0$

$\sim 0=1$

$\sim 1=0$

prawa De Morgana:

$\sim (a\cup b)=(\sim a)\cap (\sim b)$

$\sim (a\cap b)=(\sim a)\cup (\sim b)$

podwójne przeczenie:

$\sim (\sim a)=a$

Uporządkowanie

W zbiorze $B$ wprowadza się porządek boole’owski $⩽:$

$a⩽b$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a\cap b=a$

Tak zdefiniowana relacja $⩽$ jest częściowym porządkiem na zbiorze $B.$ Zbiór $B$ z relacją ≤ jest kratą rozdzielną.

Ideały, algebry ilorazowe i homomorfizmy

Niepusty zbiór $I\subseteq B$ jest ideałem w algebrze $𝔹$, jeśli są spełnione następujące dwa warunki:

$(\mathrm{\forall }a,b\in I)(a\cup b\in I),$ oraz

$(\mathrm{\forall }a\in B,b\in I)((a⩽b)\Rightarrow (a\in I)).$

Każdy ideał zawiera element $0.$ Ideał, który nie zawiera elementu $1,$ nazywany jest ideałem właściwym. Jedynym niewłaściwym ideałem jest całe $B.$

Pojęciem dualnym jest pojęcie filtru: niepusty zbiór $F\subseteq B$ jest filtrem w algebrze $𝔹,$ jeśli:

$(\mathrm{\forall }a,b\in F)(a\cap b\in F)$

oraz

$(\mathrm{\forall }a\in F,b\in B)((a⩽b)\Rightarrow (b\in F)).$

Każdy filtr zawiera element $1.$ Filtr, który nie zawiera elementu $0,$ nazywany jest filtrem właściwym. Jedynym niewłaściwym filtrem jest całe $B.$

Niech $I\subseteq B$ będzie właściwym ideałem w algebrze $𝔹.$ Niech ${\approx }_I$ będzie relacją dwuczłonową na $B$ taką, że

$a{\approx }_{I}b$ wtedy i tylko wtedy, gdy $(a\cap (\sim b))\cup (b\cap (\sim a))\in I.$

Wówczas ${\approx }_I$ jest relacją równoważności na $B.$ W zbiorze $B/{\approx }_I$ klas abstrakcji tej relacji można zdefiniować działania $\vee ,\wedge ,\mathrm{\neg }:$

$[a]\vee [b]:=[a\cup b],$

$[a]\wedge [b]:=[a\cap b],$

$\mathrm{\neg }[a]:=[\sim a].$

Pokazuje się, że powyższe definicje są poprawne (tzn. wynik operacji nie zależy od wyboru reprezentantów z klas abstrakcji) oraz że $(B{/}_{{\approx }_I},\vee ,\wedge ,\mathrm{\neg },[0],[1])$ jest algebrą Boole’a. Algebra ta jest nazywana algebrą ilorazową i jest oznaczana przez $𝔹/I.$

Niech ${𝔹}^{*}:=(B^{*},{\cup }^{*}0,{\cap }^{*},{\sim }^{*},0^{*},1^{*})$ będzie algebrą Boole’a i niech $h:B\to B^{*}$ będzie funkcją odwzorowującą $B$ w $B^{*}.$ Mówimy, że funkcja $h$ jest homomorfizmem algebr Boole’a, jeśli zachowuje ona działania w algebrze, tzn. dla wszystkich $a,b\in B$ zachodzą trzy równości:

$h(a\cup b)=h(a){\cup }^{*}h(b),$

$h(a\cap b)=h(a){\cap }^{*}h(b),$

$h(\sim a)={\sim }^{*}h(a).$

Jeśli dodatkowo $h$ jest funkcją wzajemnie jednoznaczną z $B$ na $B^{*},$ to funkcja $h$ zwana jest izomorfizmem algebr Boole’a.

Jeśli $I$ jest ideałem w algebrze $𝔹,$ to odwzorowanie $a\mapsto [a{]}_{{\approx }_I}:𝔹\to 𝔹/I$ jest homomorfizmem.

Jeśli ${𝔹}^{*}:=(B^{*},{\cup }^{*},{\cap }^{*},{\sim }^{*},0^{*},1^{*})$ jest algebrą Boole’a oraz $h:B\to B^{*}$ jest homomorfizmem na $B^{*},$ to $h^{-1}(0^{*})$ jest ideałem w algebrze $𝔹$ a algebra ilorazowa $𝔹/h^{-1}(0^{*})$ jest izomorficzna z ${𝔹}^{*}.$

Autodualność

Niech $ℂ=(B,\cap ,\cup ,\sim ,1,0)$ (operacje $\cup$ i $\cap$ zostały zamienione rolami, podobnie jak stałe 0 i 1). Wtedy także $ℂ$ jest algebrą Boole’a izomorficzną z wyjściową algebrą $𝔹.$ Kanoniczny izomorfizm d tych dwóch algebr jest swoją własną odwrotnością (jest inwolucją zbioru B) i jest dany wzorem:

$d(x):=\sim x$

dla dowolnego $x\in B.$

Algebry wolne

Algebra Boole’a $𝔹$ jest wolna, jeśli pewien zbiór $X\subseteq B$ ma następującą własność:

dla każdej algebry Boole’a ${𝔹}^{*}:=(B^{*},{\cup }^{*},{\cap }^{*},{\sim }^{*},0^{*},1^{*})$ i każdego odwzorowania $f:X\to B^{*}$ istnieje dokładnie jeden homomorfizm $h:B\to B^{*}$ z algebry $𝔹$ w algebrę ${𝔹}^{*},$ przedłużający $f$ (czyli taki, że $h\upharpoonright X=f$).

Zbiór $X\subseteq B$ o własności opisanej powyżej jest nazywany zbiorem wolnych generatorów algebry $𝔹.$ Jeśli moc zbioru $X$ jest $\kappa ,$ to mówimy, że $𝔹$ jest wolną algebrą Boole’a z $\kappa$ generatorami.

Skończona algebra Boole’a jest wolna wtedy i tylko wtedy, gdy ma ona $2^{2^n}$ elementów (dla $n=0,1,2,\dots$). Algebra mocy $2^{2^n}$ jest izomorficzna z ciałem wszystkich podzbiorów zbioru z $2^n$ elementami i jako taka ma $n$ wolnych generatorów.

Nieskończona przeliczalna algebra Boole’a jest wolna wtedy i tylko wtedy, gdy jest bezatomowa, tzn. każdy niezerowy element algebry zawiera przynajmniej dwa różne niezerowe elementy algebry. W zapisie formalnym:

$(\mathrm{\forall }b\in B\setminus \{0\})(\mathrm{\exists }a\in B\setminus \{0\})(a⩽b\wedge a\ne b)$

Zupełne algebry Boole’a

Działania nieskończone

Ponieważ w algebrze Boole’a istnieje porządek częściowy, to dla zbioru $A\subseteq B$ można rozpatrywać jego kresy (które istnieją lub nie).

Jeśli dwuczłonowe operacje algebry Boole’a są oznaczane przez $\cap ,\cup$ (tak jak w tym artykule), to kres górny zbioru $A$ (gdy istnieje) jest oznaczany przez $\bigcup A,$ a jego kres dolny (gdy istnieje) jest oznaczany przez $\bigcap A.$ Jeśli natomiast symbolami dla tych operacji są $+,\cdot ,$ to kresy oznaczane są przez $\sum A,$ $\prod A.$

Dla zbioru pustego:

$\bigcup \varnothing =0$ oraz $\bigcap \varnothing =1.$

Zakładając istnienie odpowiednich kresów, zachodzą wzory de Morgana:

$\sim \bigcup A=\bigcap \{\sim a:a\in A\}$ oraz $\sim \bigcap A=\bigcup \{\sim a:a\in A\}.$

Ponadto jeśli $\varnothing \ne A\subseteq B,$ to:

• $b=\bigcup A$ wtedy i tylko wtedy, gdy

$(\mathrm{\forall }a\in A)(a⩽b)$ oraz

$(\mathrm{\forall }c⩽b)(c\ne 0\Rightarrow (\mathrm{\exists }a\in A)(a\cap c\ne 0)),$

• $b=\bigcap A$ wtedy i tylko wtedy, gdy

$(\mathrm{\forall }a\in A)(b⩽a)$ oraz

$(\mathrm{\forall }c\ne 0)(c\cap b=0\Rightarrow (\mathrm{\exists }a\in A)(c\cap (\sim a)\ne 0)).$

Zupełność

Następujące dwa stwierdzenia są równoważne dla algebry Boole’a $𝔹:$

• każdy podzbiór $𝔹$ ma kres górny;
• każdy podzbiór $𝔹$ ma kres dolny.

Algebry, w których każdy zbiór ma kres górny (tzn. takie dla których porządek boole’owski $⩽$ jest zupełny), są nazywane zupełnymi algebrami Boole’a. Zupełne algebry Boole’a są szczególnie ważne w teorii forsingu; są one też przykładami krat zupełnych.

Niech $\kappa$ będzie liczbą kardynalną, a $𝔹$ będzie algebrą Boole’a. Powiemy, że algebra $𝔹$ jest $\kappa$-zupełna, jeśli każdy zbiór $A\subseteq B$ mocy mniejszej niż $\kappa$ ma kres górny (tzn. $\bigcup A$ istnieje ilekroć $0<|A|<\kappa$). Równoważnie: algebra $𝔹$ jest $\kappa$-zupełna wtedy i tylko wtedy, gdy każdy zbiór $A\subseteq B,$ o mocy mniejszej niż $\kappa ,$ ma kres dolny (tzn. $\bigcap A$). Algebry ${\mathrm{\aleph }}_1$-zupełne są też nazywane algebrami $\sigma$-zupełnymi.

Jeśli $ℬ$ jest $\sigma$-ciałem borelowskich podzbiorów prostej rzeczywistej (a więc jest to $\sigma$-zupełna algebra Boole’a) oraz $𝒦,$ jest rodziną wszystkich zbiorów $A\in ℬ,$ które są pierwszej kategorii, to $𝒦$ jest ideałem w algebrze $ℬ$ i algebra ilorazowa $ℬ/𝒦$ jest zupełna. Podobnie dla rodziny $ℒ$ wszystkich borelowskich zbiorów miary zero.

Zbiory niezależne

Podzbiór $X$ algebry Boole’a $𝔹$ nazywany jest niezależnym, gdy dla dowolnych zbiorów skończonych $\{x_1,\dots ,x_n\},\{y_1,\dots ,y_m\}\subseteq X$

$x_1\cap x_2\cap \dots \cap x_n\cap (\sim y_1)\cap (\sim y_2)\cap \dots +(\sim y_m)=0.$

Do klasycznych twierdzeń dotyczących zbiorów niezależnych w algebrach Boole’a należą:

• twierdzenie Balcara-Franka.
• twierdzenie Fichtenholza-Kantorowicza

Funkcje kardynalne

W badaniach i opisach algebr Boole’a często używa się funkcji kardynalnych. Przykładami takich funkcji kardynalnych są następujące funkcje.

• Celularność $c(𝔹)$ algebry Boole’a $𝔹$ jest to supremum mocy antyłańcuchów w $𝔹.$
• Długość $\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{t}\mathrm{h}(𝔹)$ algebry Boole’a $𝔹$ to

$\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{t}\mathrm{h}(𝔹)=\sup \{|A|:A\subseteq 𝔹$ jest łańcuchem $\}$

• Głębokość $\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{h}(𝔹)$ algebry Boole’a $𝔹$ to

$\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{h}(𝔹)=\sup \{|A|:A\subseteq 𝔹$ jest dobrze uporządkowanym łańcuchem $\}.$

• Nieporównywalność $\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{c}(𝔹)$ algebry Boole’a $𝔹$ to

$\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{c}(𝔹)=\sup \{|A|:A\subseteq 𝔹$ oraz $(\mathrm{\forall }a,b\in A)(a\ne b\Rightarrow \mathrm{\neg }(a⩽b\vee b⩽a))\}.$

• Pseudo-ciężar $\pi (𝔹)$ algebry Boole’a $𝔹$ to

$\pi (𝔹)=\min \{|A|:A\subseteq 𝔹\setminus \{0\}$ oraz $(\mathrm{\forall }b\in B\setminus \{0\})(\mathrm{\exists }a\in A)(a⩽b)\}.$

Reprezentacja

Twierdzenie Stone’a o reprezentacji algebr Boole’a mówi, że każda algebra Boole’a jest izomorficzna z pewnym ciałem zbiorów (traktowanym jako algebra Boole’a). Dokładniej mówiąc, algebra Boole’a $𝔹$ jest izomorficzna z ciałem otwarto-domkniętych podzbiorów przestrzeni ultrafiltrów na $𝔹,$ tzw. przestrzeni Stone’a algebry $𝔹.$ Twierdzenie Stone’a nie może być udowodnione przy użyciu tylko aksjomatyki Zermela-Fraenkla – wymaga ono założenia pewnej formy aksjomatu wyboru (rozszerzalności ideałów w algebrach Boole’a do ideałów pierwszych).

Każda skończona algebra Boole’a jest izomorficzna z całym zbiorem potęgowym $(P(X),\cup ,\cap ,{\prime }^{},\varnothing ,X)$ dla pewnego $X.$

Historia

XIX wiek

Nazwa „algebra Boole’a” pochodzi od nazwiska George’a Boole’a (1815–1864), angielskiego matematyka samouka. Wprowadził on algebraiczne ujęcie logiki matematycznej w niewielkiej pracy The Mathematical Analysis of Logic (Matematyczna analiza logiki), opublikowanej w 1847 roku. W późniejszej książce The Laws of Thought (Prawa myśli), opublikowanej w 1854, Boole formułuje problem w bardziej dojrzały sposób, zauważając dualność operacji ∪ i ∩. Dalszy rozwój algebra Boole’a zawdzięcza Williamowi Jevonsowi i Charlesowi Peirce’owi, których prace opublikowane zostały w latach sześćdziesiątych XIX wieku. W 1890 w Vorlesungen (Wykłady) Ernsta Schrödera pojawia się pierwszy systematyczny wykład algebry Boole’a i krat rozdzielnych. Dokładniejsze badania algebr Boole’a podjął Alfred North Whitehead w wydanym w 1898 roku dziele Universal Algebra (Algebra ogólna).

XX wiek

Algebra Boole’a jako aksjomatyczna struktura algebraiczna pojawiła się w 1904 roku w pracach Huntingtona. Garrett Birkhoff w Lattice Theory (1940) rozwinął teorię krat. W latach sześćdziesiątych Paul Cohen, Dana Scott i inni osiągnęli głębokie rezultaty w dziedzinie logiki matematycznej i aksjomatycznej teorii zbiorów, korzystając z metody forsingu osadzonej w teorii algebr Boole’a.

Pierścienie Boole’a

Z pojęciem algebry Boole’a związane jest pojęcie pierścienia Boole’a. Pierścień Boole’a to pierścień przemienny z jedynką $(P,\oplus ,\odot ,0,1),$ w którym mnożenie spełnia warunek

$a\odot a=a$ dla każdego elementu $a.$

W pierścieniu Boole’a każdy element jest rzędu 2, to znaczy spełnia równość: $a\oplus a=0$ Dowód:

$a\oplus a\oplus a\oplus a=(a\odot a)\oplus (a\odot a)\oplus (a\odot a)\oplus (a\odot a)=(a\oplus a)\odot (a\oplus a)=a\oplus a$

więc $a\oplus a=0.$

Wynika stąd, że:

$a\odot (1\oplus a)=0$ oraz $a\oplus (1\oplus a)=1.$

Niech $𝔹=(B,\cup ,\cap ,\sim ,0,1)$ będzie algebrą Boole’a. Jeżeli w zbiorze $B$ określi się operację alternatywy wykluczającej (różnicy symetrycznej) $\oplus$ przez

$a\oplus b=(a\cap (\sim b))\cup (b\cap (\sim a)),$

to $(B,\oplus ,\cap ,0,1)$ będzie pierścieniem Boole’a; za mnożenie $\odot$ przyjmuje się $\cap .$

I na odwrot – niech $(B,\oplus ,\odot ,0,1)$ będzie pierścieniem Boole’a. Jeżeli zdefiniuje się operacje $\cup ,\cap$ i $\sim$ na $B$ przez

$a\cup b=(a\oplus b)\oplus (a\odot b),$ $a\cap b=a\odot b$ i $\sim a=1\oplus a,$

to $𝔹:=(B,\cup ,\cap ,\sim ,0,1)$ będzie algebrą Boole’a spełniającą

$a\oplus b=(a\cap (\sim b))\cup (b\cap (\sim a)).$

Dalsze struktury związane z algebrami Boole’a

Uogólnieniem algebr Boole’a są algebry pseudoboolowskie, zwane też algebrami Heytinga, w których z aksjomatów usunięte jest prawo wyłączonego środka $a\cup \sim a=1.$

Rozpatrywane są też algebry Boole’a z dodatkowymi strukturami. Należą do nich:

• monadyczne algebry Boole’a z dodatkowym działaniem jednoargumentowym $\mathrm{\exists },$
• topologiczne algebry Boole’a z dodatkowym operatorem wnętrza.

Zobacz też

• funkcja boolowska

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Wiktor Bartol, Algebry Boole’a, Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej (MiNI PW), kanał „Archipelag Matematyki” na YouTube, 27 września 2017 [dostęp 2024-09-04].
• Szablon:MathWorld [dostęp 2024-03-25].
• Szablon:Otwarty dostęp Boolean Algebra Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-03-25].
• Szablon:SEP
• Szablon:Paywall Boolean algebra Szablon:Lang, Routledge Encyclopedia of Philosophy, rep.routledge.com [dostęp 2023-05-10].