Algebra Heytinga

Algebra Heytinga – typ struktury algebraicznej, uogólnienie algebry Boole’a polegające na odrzuceniu trzech aksjomatów:

• prawa wyłączonego środka $p\vee \mathrm{\neg }p=1;$
• prawa podwójnej negacji $\mathrm{\neg }\mathrm{\neg }p=p;$
• pierwszego prawa de Morgana $\mathrm{\neg }(p\wedge q)=\mathrm{\neg }p\vee \mathrm{\neg }q.$

Ten typ algebr wprowadził Arend Heyting (1930) w celu zbudowania formalnego narzędzia dla logiki intuicjonistycznej, którą stworzyła holenderska szkoła logików inspirowana przez L.E.J. Brouwera. Jednakże sam Brouwer był przeciwny wszelkiej formalizacji jego idei intuicjonizmu, w szczególności używania takich narzędzi, jakie proponował jego uczeń Heyting. Zakwestionowanie prawa wyłączonego środka i prawa podwójnej negacji wynikało z ogólnych założeń filozoficznych Brouwera dotyczących tego, czym jest matematyka i jakiego typu rozumowania są w niej dopuszczalne.

Obecnie większość badań dotyczących algebr Heytinga nie jest związana z logiką i intuicjonizmem. Traktuje się je jako pewien typ struktur matematycznych, część algebry lub dział teorii kategorii. Rozmaite, równoważne podejścia do teorii algebr Heytinga mogą być sformułowane w ramach teorii częściowego porządku, algebry ogólnej (zwanej też algebrą uniwersalną), topologii ogólnej oraz w języku funktorów sprzężonych w pewnych specjalnych kategoriach. W teoriach tych rozumowania dotyczące algebr Heytinga są oparte na logice klasycznej (z prawem wyłączonego środka, nieintuicjonistycznej).

Definicje

Algebra Heytinga (zwana też algebrą pseudoboolowską) zdefiniowana w języku częściowego porządku to krata dystrybutywna mająca element najmniejszy 0, element największy 1, w której jest dodatkowo dane działanie dwuargumentowe implikacji $\to$ spełniające następujący warunek:

(H)     nierówność $p\wedge q⩽r$ jest równoważna nierówności      $p⩽q\to r.$

Tutaj symbol typu $p\to q$ nie oznacza zdania (które mogłoby być prawdziwe lub fałszywe), lecz pewien element zbioru $L,$ podobnie jak elementy $p\wedge q$ i $p\vee r.$ Symbol $\to$ oznacza więc pewną funkcję z $L\times L$ w $L.$ Przy interpretowaniu napisów takich jak $p\wedge q⩽r,$ symbol $p\wedge q$ można traktować jako koniunkcję, a symbol $s⩽r$ jako potocznie rozumiane: $s$ pociąga $r$ (przez analogię z relacją zawierania: $S\subseteq R$).

Negację (zwaną też pseudodopełnieniem) określa się wzorem: $\mathrm{\neg }p=p\to 0.$

Można też zdefiniować algebrę Heytinga jako kratę $L$ z elementami 0 i 1, spełniającą warunek: dla dowolnych $p,r\in L$ istnieje element największy w zbiorze tych $q,$ dla których $p\wedge q⩽r;$ ten największy element $q$ jest zwany relatywnym pseudodopełnieniem elementu $p$ względem $r$ i jest oznaczany symbolem $p\to r$.

W języku algebr ogólnych algebra Heytinga jest strukturą $A=⟨L,\vee ,\wedge ,\to ,0,1⟩$ z trzema działaniami dwuargumentowymi $\vee ,\wedge ,\to$ z $L\times L$ w $L,$ w której $A=⟨L,\vee ,\wedge ,0,1⟩$ jest kratą dystrybutywną z elementami $0,1,$ z uporządkowaniem $x⩽y$ zdefiniowanym w terminach pierwotnych przez warunek $x\vee y=y,$ a działanie $\to$ spełnia warunek (H). Ponadto dla dowolnych elementów $x,y$ nierówność $x⩽y$ zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy $x\to y=1.$

Algebry Heytinga tworzą klasę algebr definiowalnych równościowo – ich system aksjomatów, w tym warunek (H), da się zapisać w postaci skończonej liczby aksjomatów mających postać równości.

Własności algebr Heytinga

W każdej algebrze Heytinga dla dowolnych $p,q,r\in L$ oprócz warunku (H) spełnione są następujące warunki:

$\mathrm{\neg }0=1,\mathrm{\neg }1=0,\mathrm{\neg }(p\vee q)⩽\mathrm{\neg }p,p\wedge \mathrm{\neg }p=0,$

$\mathrm{\neg }\mathrm{\neg }p⩾p,\mathrm{\neg }\mathrm{\neg }\mathrm{\neg }p=\mathrm{\neg }p,\mathrm{\neg }\mathrm{\neg }(p\vee \mathrm{\neg }p)=1.$

Działanie dwuargumentowe $\to$ spełnia następujące warunki:

$p\to q⩽p\to (q\vee r),(p\vee r)\to q⩽p\to q,$

$p\to p=1,p\wedge (p\to q)=p\wedge q,$

$p\to (q\wedge r)=(p\to q)\wedge (p\to r),q⩽p\to q.$

W algebrach Heytinga prawdziwe jest tylko drugie prawo de Morgana w postaci równości $\mathrm{\neg }(p\vee q)=\mathrm{\neg }p\wedge \mathrm{\neg }q,$ pierwsze zaś prawo ma znacznie słabszą postać:

$\mathrm{\neg }(p\wedge q)=\mathrm{\neg }\mathrm{\neg }(\mathrm{\neg }p\vee \mathrm{\neg }q).$

Algebra Heytinga $L$ jest algebrą Boole’a wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi w niej prawo podwójnej negacji $\mathrm{\neg }\mathrm{\neg }p=p,$ a także wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi prawo wyłączonego środka $p\vee \mathrm{\neg }p=1.$

Każda algebra Boole’a (w szczególności każde ciało zbiorów) jest algebrą Heytinga z działaniem $p\to q$ zdefiniowanym jako $\mathrm{\neg }p\vee q.$ Jednakże równość $p\to q=\mathrm{\neg }p\vee q$ nie jest na ogół spełniona w algebrach Heytinga, bowiem zawsze $p\to p=1,$ a $\mathrm{\neg }p\vee p$ może nie być równe 1.

Jeżeli $L$ jest kratą z największym elementem 1 i z uporządkowaniem całkowitym (zwanym również liniowym, tzn. $L$ jest zarazem łańcuchem, w którym każde dwa elementy $p,q$ są porównywalne), to $L$ staje się algebrą Heytinga, gdy $p\to q$ określimy jako równe 1 w przypadku $p⩽q$ i jako $q$ w przypadku przeciwnym $p>q$.

Algebra Heytinga zbiorów otwartych przestrzeni topologicznej

Szablon:Osobny artykuł Tak jak typowym przykładem algebry Boole’a jest ciało podzbiorów dowolnego ustalonego zbioru $X$ wraz z częściowym porządkiem wyznaczonym przez relację inkluzji $\subseteq$ i z działaniami na zbiorach $\cup ,\cap ,\setminus$ jako operacjami algebraicznymi, tak typowym przykładem algebry Heytinga jest krata $𝒪$ wszystkich podzbiorów otwartych przestrzeni topologicznej $X$ (oznaczanej w tej algebrze symbolem $1$) ze zwykłymi działaniami $\cup ,\cap$ oraz z działaniami $\to ,\mathrm{\neg }$ zdefiniowanymi jako

$A\to B=\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}[(1\setminus A)\cup B]$ oraz $\mathrm{\neg }A=\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}(1\setminus A)$ dla $A,B\in 𝒪,$

gdzie $\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}(A)=1\setminus \overline{(1\setminus A)}$ oznacza wnętrze zbioru $A,$ a $\bar{E}$ oznacza domknięcie zbioru $E.$ To, że w takiej algebrze Heytinga $\mathrm{\neg }(\mathrm{\neg }A)$ może być różne od $A,$ pokazuje następujący przykład. Niech $X$ oznacza płaszczyznę kartezjańską ${ℝ}^2$ i niech $A=\{(x,y)\in {ℝ}^2|0<x^2+y^2<1\}$ oznacza koło otwarte bez środka. Wówczas dopełnieniem zbioru $A$ jest zbiór $E=\{(x,y)|x^2+y^2⩾1\}$ z dołączonym punktem izolowanym $(0,0),$ zatem $\mathrm{\neg }A=\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}(E)=\{(x,y)|x^2+y^2>1\},$ skąd wynika, że $\mathrm{\neg }(\mathrm{\neg }A)=\{(x,y)|x^2+y^2<1\}\ne A.$

Każdy element $A$ algebry Heytinga $𝒪$ spełnia warunek $A\subseteq \mathrm{\neg }\mathrm{\neg }A,$ równość zaś zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy $A$ jest dziedziną otwartą (zbiór $A$ nazywa się dziedziną otwartą, gdy spełnia warunek $A=\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}(\bar{A})$).

Algebra Heytinga $𝒪$ jest algebrą Boole’a wtedy i tylko wtedy, gdy topologia $𝒪$ jest dyskretna, tzn. $𝒪$ jest rodziną ${\mathrm{𝟐}}^X$ wszystkich podzbiorów zbioru $X.$

Reprezentacja algebr Heytinga w topologicznych algebrach Boole’a

Szablon:Osobny artykuł Topologiczna algebra Boole’a to algebra Boole’a $𝔄$ wraz z dodatkową strukturą operatora wnętrza $𝐈:𝔄\to 𝔄$ określoną aksjomatycznie przez następujące warunki:

$𝐈(A\cap B)=𝐈(A)\cap 𝐈(B),𝐈(A)\subseteq A,𝐈(1)=1,𝐈(𝐈(A))=𝐈(A)$

dla $A,B\in 𝔄.$ Jest to uogólnienie operacji wnętrza $\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}$ w przestrzeni topologicznej. Element $A\in 𝔄$ nazywa się otwartym, jeżeli $𝐈(A)=A,$ jego dopełnienie nazywa się domknięte, a operator domknięcia $𝐂:𝔄\to 𝔄$ zdefiniowany jako $𝐂(A)=1\setminus 𝐈(1\setminus A)$ spełnia warunki analogiczne do aksjomatów Kuratowskiego przestrzeni topologicznej:

$𝐂(A\cup B)=𝐂A\cup 𝐂B,A\subseteq 𝐂A,𝐂(\mathrm{\varnothing })=\mathrm{\varnothing },𝐂(𝐂(A))=𝐂(A).$

W topologicznych algebrach Boole’a prawdziwe są te wszystkie zdania o przestrzeniach topologicznych, które dadzą się wywieść z aksjomatów wnętrza $\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}$ bądź z aksjomatów domknięcia Kuratowskiego bez używania pojęcia elementu $x\in A.$

Topologiczne algebry Boole’a można zaliczyć do szerszej dziedziny topologii bezpunktowej, do której należą różnorakie obiekty matematyczne, rozpatrywane w nieprzekładalnych wzajemnie bezpośrednio ujęciach różnych teorii.

Krata $𝒪(𝔄)$ wszystkich elementów otwartych w topologicznej algebrze Boole’a $𝔄$ jest algebrą Heytinga. Odwrotnie, prawdziwe jest następujące twierdzenie o reprezentacji McKinseya i Tarskiego: dla każdej algebry Heytinga $L$ istnieje topologiczna algebra Boole’a $𝔄$ taka, że $L$ jest izomorficzna z algebrą $𝒪(𝔄)$.

Algebry Heytinga w teorii kategorii

Każda krata $L$ jest zbiorem częściowo uporządkowanym, może więc być traktowana jako kategoria. W tym ujęciu krata $L$ jest algebrą Heytinga, jeśli istnieje w niej obiekt początkowy 0, obiekt końcowy 1 i jest na niej określona struktura kategorii kartezjańsko zamkniętej, tzn. dla każdego $a\in L$ funktor ${\mathrm{\Phi }}_a$ z $L$ w $L$ o przyporządkowaniu obiektowym ${\mathrm{\Phi }}_a(b)=a\wedge b$ jest lewym sprzężonym funktora ${\mathrm{\Psi }}_a$ o przyporządkowaniu obiektowym ${\mathrm{\Psi }}_a(b)=a\to b.$ Warunek (H), tzn. równoważność nierówności $p\wedge q⩽r$ i $p⩽q\to r,$ tłumaczy się bezpośrednio na warunek sprzężoności tych funktorów. Wymienione wyżej tożsamości i nierówności dla algebr Heytinga mogą być wyprowadzone z ogólnych własności funktorów sprzężonych.

Linki zewnętrzne

• Szablon:SEP
• Szablon:Cytuj
• Szablon:Cytuj
• Szablon:Otwarty dostęp Pseudo-Boolean algebra Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-03-25].