Funktory sprzężone

Funktory sprzężone – jedno z centralnych pojęć zaawansowanej teorii kategorii, ściśle związane z innymi ważnymi pojęciami, w szczególności z rozmaitymi zagadnieniami jednoznacznej faktoryzacji oraz z funktorami reprezentowalnymi poprzez funktory główne (zwane też hom-funktorami). W przeciwieństwie do wielu innych pojęć teorii kategorii, które można uznać za wysłowienie w języku kategorii intuicji oswojonych już w ramach algebry lub topologii, pojęcie funktora sprzężonego jest istotnie nowe.

Definicja funktorów sprzężonych kowariantnych

Załóżmy, że $𝔄$ i $𝔅$ są kategoriami, a $\mathrm{\Phi }:𝔄\to 𝔅$ i $\mathrm{\Psi }:𝔅\to 𝔄$ są funktorami kowariantnymi. Zbiór morfizmów $A_1\to A_2$ kategorii $𝔄$ będziemy oznaczać symbolem $⟨A_1,A_2{⟩}_{𝔄}.$ Funktor $\mathrm{\Phi }$ nazywa się lewym sprzężonym do funktora $\mathrm{\Psi }$ i zarazem $\mathrm{\Psi }$ nazywa się prawym sprzężonym do $\mathrm{\Phi },$ gdy istnieje naturalna równoważność bifunktorów:

${\omega }_{A,B}:⟨\mathrm{\Phi }(A),B{⟩}_{𝔅}\to ⟨A,\mathrm{\Psi }(B){⟩}_{𝔄}$

(naturalna w obu zmiennych $A\in \mathrm{O}\mathrm{b}𝔄,B\in \mathrm{O}\mathrm{b}𝔅$)Szablon:OdnSzablon:Odn. Będziemy używać zapisu typu ${\mathrm{\Gamma }}_1\rightleftharpoons {\mathrm{\Gamma }}_2$ na oznaczenie naturalnej równoważności funktorów ${\mathrm{\Gamma }}_1,{\mathrm{\Gamma }}_2.$ Warunek sprzężoności zapisany w postaci $⟨\mathrm{\Phi }(A),B⟩\rightleftharpoons ⟨A,\mathrm{\Psi }(B)⟩$ ułatwia zapamiętanie, który z funktorów jest lewym sprzężonym, a który prawym. Ponadto optycznie przypomina to definicję $⟨\mathrm{\Phi }x,y⟩=⟨x,\mathrm{\Psi }y⟩$ operatora sprzężonego w przestrzeni Hilberta.

Produkt i hom jako funktory sprzężone

Będziemy korzystać z tego, że dowolną funkcję dwóch zmiennych $f:A\times B\to C,$ tradycyjnie oznaczaną symbolem $f(x,y),x\in A,y\in B,$ można utożsamić z rodziną $\{g_x{\}}_{x\in A}$ funkcji jednej zmiennej $g_x:B\to C$ określonych jako $g_x(y)=f(x,y).$ Ponieważ $g_x\in C^B,$ gdzie $C^B$ oznacza zbiór wszystkich funkcji $B\to C,$ przyporządkowanie to prowadzi, przy ustalonym zbiorze $B,$ do naturalnej równoważności bifunktorów:

${\omega }_{A,C}:⟨A\times B,C⟩\to ⟨A,C^B⟩.$

Znaczy to, że funktor $-\times B:𝐒𝐞𝐭\to 𝐒𝐞𝐭$ mnożenia kartezjańskiego przez ustalony zbiór $B$ jest lewym sprzężonym do funktora głównego $⟨B,-{⟩}_{𝐒𝐞𝐭},$ wyznaczonego przez $B.$ Kreska $-$ jest tu symbolem zmiennej (za którą podstawić można symbole obiektów i morfizmów).

Rozpatrzmy przypadek, gdy $𝔄$ jest kategorią $𝐀𝐛$ grup abelowych, kategorią $𝐕𝐞𝐜{𝐭}_{𝐊}$ przestrzeni liniowych nad ciałem $K$ lub ogólniej kategorią $𝐌𝐨{𝐝}_{𝐑}$ modułów nad pierścieniem przemiennym $R$ z jednością i oznaczmy przez $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(A,B)$ zbiór $⟨A,B{⟩}_{𝔄}$ zaopatrzony w strukturę obiektów danej kategorii. W ten sposób Hom staje się bifunktorem ${𝔄}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}\times 𝔄\to 𝔄.$ Wiążąc to ze znanymi związkami bimorfizmów na produktach $A\times B$ (tzn. homomorfizmów względem każdej zmiennej osobno) z homomorfizmami na produktach tensorowych $A\otimes B,$ stwierdzamy naturalną równoważność funktorów trzech zmiennych

$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}({?}_1\otimes {?}_2,{?}_3)$ i $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}({?}_1,\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}({?}_2,{?}_3)),$

gdzie ${?}_1,{?}_2,{?}_3$ są symbolami tych zmiennychSzablon:Odn.

Zastosowania w teorii homotopii

Ze sprzężenia funktorów $-\times A$ i $⟨A,-⟩$ wynikają dalsze związki, kluczowe dla teorii homotopii. Rozważmy kategorię ${𝐓𝐨𝐩}_{\diamond }$ przestrzeni topologicznych $X$ z wyróżnionymi punktami bazowymi $x^{\diamond }\in X$ i przekształceń ciągłych zachowujących punkty bazowe. Jeśli $(A,a^{\diamond })$ i $(B,b^{\diamond })$ są obiektami, to przestrzeń $A\vee B$ złożona z wszystkich par $(a,b)$ takich, że $a=a^{\diamond }$ lub $b=b^{\diamond },$ jest ich koproduktem. Przestrzeń ilorazowa $A\wedge B=(A\times B)/(A\vee B)$ zwana jest produktem ściągniętym (ang. smash product). Przez ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{p}}_{*}(X,Y)$ oznaczymy zbiór morfizmów $⟨X,Y{⟩}_{{𝐓𝐨𝐩}_{\diamond }}$ z topologią zwarto-otwartą. Jeżeli $A,X,Y$ są przestrzeniami Hausdorffa i $A$ jest ustaloną przestrzenią lokalnie zwartą, to otrzymujemy równoważność naturalną:

$⟨X\wedge A,Y{⟩}_{{𝐓𝐨𝐩}_{\diamond }}\rightleftharpoons ⟨X,{\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{p}}_{*}(A,Y){⟩}_{{𝐓𝐨𝐩}_{\diamond }}.$

Oznaczmy przez ${𝐒}^n$ sferę $n$-wymiarową $(n⩾0).$ Przestrzeń $\mathrm{\Sigma }(X)=X\wedge {𝐒}^1$ może być utożsamiona ze zredukowanym zawieszeniem przestrzeni $X$ (ang. reduced suspension lub based suspension). W teorii homotopii odwzorowania ciągłe ${𝐒}^1\to X$ zwane są pętlami (ang. loop) w przestrzeni $(X,a^{\diamond }).$ Funktor pętli $\mathrm{\Omega }$ obiektowi $(X,a^{\diamond })$ przyporządkowuje przestrzeń pętli w $X,$ tzn. zbiór $\mathrm{\Omega }(X)={\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{p}}_{*}({𝐒}^1,X).$ Wstawiając $A={𝐒}^1$ do powyższej równoważności naturalnej funktorów $-\times A$ i $⟨A,-⟩$ stwierdzamy, że funktor zawieszenia $\mathrm{\Sigma }$ z kategorii ${𝐓𝐨𝐩}_{\diamond }$ do ${𝐓𝐨𝐩}_{\diamond }$ jest lewym sprzężonym do funktora $\mathrm{\Omega }.$ Po przejściu do klas homotopii otrzymuje się równoważność naturalnąSzablon:Odn

$[\mathrm{\Sigma }X,Y{]}_{\mathrm{H}\mathrm{t}\mathrm{p}}\rightleftharpoons [X,\mathrm{\Omega }Y{]}_{\mathrm{H}\mathrm{t}\mathrm{p}},$

gdzie $[X,Y{]}_{\mathrm{H}\mathrm{t}\mathrm{p}}$ oznacza zbiór klas homotopii przestrzeni ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{p}}_{*}(X,Y).$ Wykorzystując $n$-krotnie te sprzężenia i to, że $\mathrm{\Sigma }({𝐒}^n)$ jest homeomorficzne z ${𝐒}^{n+1},$ otrzymuje się ciąg równoważności naturalnych:

${\pi }_n(X)\rightleftharpoons [{\mathrm{\Sigma }}^n{𝐒}^0,X{]}_{\mathrm{H}\mathrm{t}\mathrm{p}}\rightleftharpoons [{\mathrm{\Sigma }}^{n-1}{𝐒}^0,\mathrm{\Omega }X{]}_{\mathrm{H}\mathrm{t}\mathrm{p}}\rightleftharpoons \dots \rightleftharpoons [{𝐒}^0,{\mathrm{\Omega }}^{n}X{]}_{\mathrm{H}\mathrm{t}\mathrm{p}}$

w których ${\pi }_n(X)=[{𝐒}^n,X{]}_{\mathrm{H}\mathrm{t}\mathrm{p}}$ oznacza $n$-tą grupę homotopii przestrzeni $(X,x^{\diamond }).$

Funktory sprzężone kontrawariantne

W przypadku funktorów kontrawariantnych mamy dwa rodzaje sprzężenia. Mianowicie jeśli $\mathrm{\Phi }:𝔄\to 𝔅$ i $\mathrm{\Psi }:𝔅\to 𝔄$ są funktorami kontrawariantnymi, to wyznaczają one cztery funktory kowariantneSzablon:Odn.

${*}^{}\mathrm{\Phi }:{𝔄}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}\to 𝔅,{\mathrm{\Phi }}^{*}:𝔄\to {𝔅}^{\mathrm{o}\mathrm{p}},{}^{*}\mathrm{\Psi }:{𝔅}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}\to 𝔄,{\mathrm{\Psi }}^{*}:𝔅\to {𝔄}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}.$

Dokonuje się tego poprzez złożenia funktorów $\mathrm{\Phi },\mathrm{\Psi }$ z funktorami dualizacjiSzablon:Odn.

${𝔄}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}\to 𝔄\to 𝔅,𝔄\to 𝔅\to {𝔅}^{\mathrm{o}\mathrm{p}},{𝔅}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}\to 𝔅\to 𝔄,𝔅\to 𝔄\to {𝔄}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}$

Funktory kontrawariantne $\mathrm{\Phi },\mathrm{\Psi }$ nazywają się prawostronnie sprzężone, gdy ${\mathrm{\Phi }}^{*}$ jest lewym sprzężonym do ${*}^{}\mathrm{\Psi }.$ Jest to równoważne temu, że ${*}^{}\mathrm{\Phi }$ jest prawym sprzężonym do ${\mathrm{\Psi }}^{*}.$ Funktory $\mathrm{\Phi },\mathrm{\Psi }$ nazywają się lewostronnie sprzężone, gdy ${\mathrm{\Phi }}^{*}$ jest prawym sprzężonym do ${*}^{}\mathrm{\Psi }.$ Jest to równoważne temu, że ${*}^{}\mathrm{\Phi }$ jest lewym sprzężonym do ${\mathrm{\Psi }}^{*}.$

Na przykład jeśli $B$ jest ustaloną przestrzenią liniową nad ciałem $K,$ to kontrawariantny funktor $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(-,B):𝐕𝐞𝐜{𝐭}_{𝐊}\to 𝐕𝐞𝐜{𝐭}_{𝐊}$ jest prawostronnie sprzężony sam do siebie.

Związek z pojęciem jednoznacznej faktoryzacji

Funktory sprzężone mogą być zdefiniowane w języku zagadnień jednoznacznej faktoryzacji. Mianowicie dowodzi się, że funktor kowariantny $\mathrm{\Phi }:𝔄\to 𝔅$ jest lewym sprzężonym do funktora $\mathrm{\Psi }:𝔅\to 𝔄$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje transformacja naturalna $\{{\eta }_A{\}}_{A\in \mathrm{O}\mathrm{b}𝔄}$ z funktora tożsamościowego $i:𝔄\to 𝔄$ do złożenia $\mathrm{\Psi }\mathrm{\Phi }:𝔄\to 𝔄$ taka, że dla dowolnych obiektów $A\in \mathrm{O}\mathrm{b}𝔄,B\in \mathrm{O}\mathrm{b}𝔅$ i dowolnego morfizmu $\xi :A\to \mathrm{\Psi }(B)$ kategorii $𝔄$ istnieje jeden i tylko jeden morfizm $\theta :\mathrm{\Phi }(A)\to B$ kategorii $𝔅$ taki, że odpowiedni diagram komutuje, tzn. $\mathrm{\Psi }(\theta ){\eta }_A=\xi$Szablon:Odn.

Kluczowym narzędziem dowodowym w omawianym tu kręgu zagadnień jest lemat Yonedy.

Reflektory i quasi-reflektory

Załóżmy, że $𝔅$ jest podkategorią kategorii $𝔄.$ Funktor $\mathrm{\Phi }:𝔄\to 𝔅$ jest lewym sprzężonym do funktora inkluzji $i:𝔅\to 𝔄$ wtedy i tylko wtedy, gdy jest reflektorem, tzn. ma następującą własność: Każdemu $A\in \mathrm{O}\mathrm{b}𝔄$ przyporządkowany jest morfizm ${\tau }_A:A\to \mathrm{\Phi }(A)$ w kategorii $𝔄$ (tu $\mathrm{\Phi }(A)\in \mathrm{O}\mathrm{b}𝔅\subset \mathrm{O}\mathrm{b}𝔄$) mający własność jednoznacznej faktoryzacji: dla każdego $B\in \mathrm{O}\mathrm{b}𝔅$ i każdego morfizmu $\xi :A\to B$ w podkategorii $𝔅$ istnieje jeden i tylko jeden morfizm $\theta :\mathrm{\Phi }(A)\to B$ w $𝔅$ taki, że diagram komutuje, tj. $\theta \tau =\xi .$ Podobnie definiuje się pojęcie quasi-reflektora jako lewego sprzężonego do funktora zapominania $◻:𝔅\to 𝔄.$

Liczne przykłady reflektorów i quasi-reflektorów można znaleźć w rozmaitych dziedzinach matematykiSzablon:Odn. Oto niektóre z nich.

• Uzupełnienie przestrzeni metrycznej (metodą Cantora) wraz z przedłużeniem przekształceń spełniających warunek Lipschitza z przestrzeni do ich uzupełnień wyznacza reflektor z kategorii $𝐌𝐞𝐭𝐫$ do podkategorii pełnej przestrzeni zupełnych.
• Abelianizacja grupySzablon:Odn. Jeżeli $N=[G,G]$ oznacza komutant grupy $G,$ to epimorfizmy kanoniczne $G\to G/N$ wyznaczają reflektor z $𝐆𝐫𝐩$ do $𝐀𝐛.$
• Uprzemiennianie pierścienia $R$ przez epimorfizm kanoniczny $R\to R/I,$ gdzie $I$ jest ideałem dwustronnym generowanym przez komutatory $ab-ba$ wyznacza reflektor z kategorii pierścieni do podkategorii pełnej pierścieni przemiennychSzablon:Odn.
• Grupa abelowa $A$ nazywa się beztorsyjna, gdy każdy jej niezerowy element $u$ ma rząd nieskończony, tzn. $nu\ne 0$ dla $n\ne 0$ ($n$ naturalne). Dla dowolnego obiektu $A$ kategorii $𝐀𝐛$ kanoniczny epimorfizm z $A$ na grupę ilorazową $A/N$ (gdzie $N$ jest podgrupą wszystkich elementów rzędu skończonego) ma powyższą własność jednoznacznej faktoryzacji i wyznacza reflektor z $𝐀𝐛$ do jej podkategorii pełnej grup beztorsyjnychSzablon:Odn.
• Kategoria ${𝐕𝐞𝐜𝐭}_{ℂ}$ przestrzeni wektorowych nad ciałem $ℂ$ liczb zespolonych nie jest podkategorią kategorii ${𝐕𝐞𝐜𝐭}_{ℝ},$ ale można rozważać funktor zapominania $◻:{𝐕𝐞𝐜𝐭}_{ℂ}\to {𝐕𝐞𝐜𝐭}_{ℝ}$ („zapomina się” o mnożeniu przez skalary urojone). Dla dowolnej przestrzeni wektorowej A nad ciałem $ℝ$ rozpatrujemy przyporządkowanie obiektowe funktora Φ jako Φ(A) = A×A z działaniem dodawania określonym jak w sumie prostej i mnożeniem wektora $(a,b)$ przez skalar $s+it$ określonym wzorem $(s+it)(a,b)=(sa-tb,sb+ta)$Szablon:Odn.

Funktory reprezentowalne

Funktor kowariantny $\mathrm{\Gamma }:𝔄\to 𝐒𝐞𝐭$ nazywa się reprezentowalny przez obiekt $A_0,$ gdy jest naturalnie równoważny funktorowi głównemu $⟨A_0,-{⟩}_{𝔄}.$

W analogiczny sposób definiuje się reprezentowalność funktora kontrawariantnego jako naturalną równoważność funktorowi $⟨-,A_0{⟩}_{𝔄}$Szablon:Odn.

Na przykład funktor zapominania $◻:𝐓𝐨𝐩\to 𝐒𝐞𝐭,$ który każdej przestrzeni topologicznej przyporządkowuje jej nośnik (tzn. zbiór jej elementów, bez żadnej topologii), jest reprezentowalny przez przestrzeń jednopunktową. Podobnie funktor zapominania $◻:𝐆𝐫𝐩\to 𝐒𝐞𝐭$ z kategorii grup jest reprezentowalny przez grupę $𝐙$ (wolną o jednym generatorze).

Funktor kowariantny z \mathbf{Set} do \mathbf{Set}, którego przyporządkowaniem obiektowym jest $A\to A\times A,$ jest reprezentowalny przez zbiór $\mathrm{𝟐}=\{0,1\};$ opiera się to na tym, że każdy element $\phi$ zbioru $⟨\mathrm{𝟐},A{⟩}_{𝐒𝐞𝐭}$ jest funkcją $\phi :\{0,1\}\to A,$ odpowiadającą parze $(a_0,a_1)$ w $A\times A.$

Kontrawariantny funktor potęgowy ${𝒫}_{-}:𝐒𝐞𝐭\to 𝐒𝐞𝐭$ jest też reprezentowalny przez zbiór $\mathrm{𝟐}=\{0,1\},$ bowiem każdy element zbioru $⟨A,\mathrm{𝟐}⟩$ (czyli funkcja z $A$ do $\mathrm{𝟐}$) jest funkcją charakterystyczną jakiegoś podzbioru zbioru $A.$

Podstawowy związek między omawianymi tu pojęciami wyraża następujące twierdzenieSzablon:Odn. Na to, aby funktor kowariantny $\mathrm{\Psi }:𝔅\to 𝔄$ miał lewy sprzężony, potrzeba i wystarcza, aby dla każdego obiektu $A\in \mathrm{O}\mathrm{b}𝔄$ istniał obiekt $B\in \mathrm{O}\mathrm{b}𝔅$ taki, że funktor $⟨A,\mathrm{\Psi }(-){⟩}_{𝔄}$ z $𝔅$ do $𝐒𝐞𝐭$ jest reprezentowalny przez $B.$ Okazuje się, że wówczas $\mathrm{\Phi }(A)=B.$

Własności funktorów sprzężonych

Załóżmy, że funktor $\mathrm{\Phi }:𝔄\to 𝔅$ jest lewym sprzężonym do funktora $\mathrm{\Psi }:𝔅\to 𝔄.$ Wówczas funktory te mają następujące własnościSzablon:Odn.

• $\mathrm{\Phi }$ zachowuje epimorfizmy, tzn. dla każdego epimorfizmu $\lambda :A_1\to A_2$ kategorii $𝔄$ morfizm $\mathrm{\Phi }\lambda :\mathrm{\Phi }(A_1)\to \mathrm{\Phi }(A_2)$ kategorii $𝔅$ jest też epimorfizmem. Dualnie, funktor $\mathrm{\Psi }$ zachowuje monomorfizmy.
• $\mathrm{\Phi }$ zachowuje koprodukty, tzn. jeżeli $A_1\bigsqcup A_2$ jest koproduktem obiektów $A_1,A_2$ w kategorii $𝔄,$ to $\mathrm{\Phi }(A_1\bigsqcup A_2)$ jest koproduktem obiektów $\mathrm{\Phi }(A_1),\mathrm{\Phi }(A_2)$ w kategorii $𝔅.$ Dotyczy to również koproduktów nieskończonych rodzin obiektów. Dualnie, funktor $\mathrm{\Psi }$ zachowuje produkty.
• $\mathrm{\Phi }$ zachowuje obiekty początkowe, a $\mathrm{\Psi }$ zachowuje obiekty końcowe.
• $\mathrm{\Phi }$ zachowuje koekwalizatory, a $\mathrm{\Psi }$ zachowuje ekwalizatory.
• Ogólniej, $\mathrm{\Phi }$ zachowuje kogranice (końce) diagramów, a $\mathrm{\Psi }$ zachowuje granice (początki) diagramów.

Twierdzenie Freyda o istnieniu funktora sprzężonego

W przypadku kategorii zupełnych powyższe własności funktora $\mathrm{\Psi }$ są niemal warunkami dostatecznymi na istnienie lewego sprzężonego do $\mathrm{\Psi }.$

Twierdzenie FreydaSzablon:OdnSzablon:Odn. Załóżmy, że $𝔅$ jest kategorią zupełną i lokalnie małą. Na to, by funktor $\mathrm{\Psi }:𝔅\to 𝔄$ miał lewy sprzężony, potrzeba i wystarcza, by $\mathrm{\Psi }$ zachowywał granice diagramów oraz spełniał tzw. warunek zbioru rozwiązującego.

Warunek ten, dość skomplikowany, jest spełniony przez większość typowych kategorii. Wystarczy np. by kategoria $𝔅$ miała separator, tzn. obiekt $S$ taki, że każdej pary morfizmów $\phi :B_1\to B_2,$ $\psi :B_1\to B_2,$ $\phi \ne \psi$ istniał morfizm $\xi :B_2\to S$ taki, że $\xi \phi \ne \xi \psi$ (takim obiektem $S$ jest np. ciało skalarów w $𝐕𝐞𝐜{𝐭}_{𝐊}$ oraz przedział [0,1] w $𝐂𝐨𝐦𝐩$)Szablon:Odn.

Dalsze przykłady funktorów sprzężonych

Pary funktorów sprzężonych ujawniają się w dość nieoczekiwanych miejscach. Wymienimy niektóre z nich.

1) W każdej algebrze Heytinga $L,$ dla każdego $a\in L$ funktor ${\mathrm{\Phi }}_a$ z $L$ w $L$ o przyporządkowaniu obiektowym ${\mathrm{\Phi }}_a(b)=a\wedge b$ jest lewym sprzężonym funktora ${\mathrm{\Psi }}_a$ o przyporządkowaniu obiektowym ${\mathrm{\Psi }}_a(b)=a\to b.$

2) Niech $𝐈:𝔄\to \mathrm{𝟏}$ oznacza jedyny funktor z danej kategorii $𝔄$ do kategorii $\mathrm{𝟏}$ utworzonej ze zbioru jednoelementowego $1$ i jego identyczności ${𝐢}_1:1\to 1.$ Istnienie funktora $\mathrm{\Lambda }:\mathrm{𝟏}\to 𝔄$ lewego sprzężonego do $𝐈$ jest równoważne istnieniu obiektu początkowego w $𝔄,$ a istnienie funktora $\mathrm{\Gamma }:\mathrm{𝟏}\to 𝔄$ prawego sprzężonego do $𝐈$ jest równoważne istnieniu obiektu końcowego w $𝔄$.

3) Symbolem $\mathrm{F}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}(x_1,\dots ,x_n)$ oznaczmy kategorię, w której obiektami są formuły $\phi (x_1,\dots ,x_n)$ języka logiki pierwszego rzędu, a morfizmami

$\phi (x_1,\dots ,x_n)⊢\psi (x_1,\dots ,x_n)$

są wynikania. Oczywiste zanurzenie $𝐈:\mathrm{F}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}(x_1,\dots ,x_n)\to \mathrm{F}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}(x_1,\dots ,x_n,y),$ w którym $y$ nie jest zmienną wolną w $(x_1,\dots ,x_n),$ jest funktorem. Z reguł rachunku kwantyfikatorów wynika, że funktor ${\mathrm{\exists }}_y:\mathrm{F}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}(x_1,\dots ,x_n,y)\to \mathrm{F}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}(x_1,\dots ,x_n)$ jest lewym sprzężonym funktora $𝐈,$ a funktor

${\mathrm{\forall }}_y:\mathrm{F}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}(x_1,\dots ,x_n,y)\to \mathrm{F}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}(x_1,\dots ,x_n)$

jest prawym sprzężonym funktora $𝐈$.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Marek Zawadowski, Elementy teorii kategorii, skrypt dla studentów Wydziału MIM UW, 29 listopada 2019 [dostęp 2021-08-17].
• Szablon:Otwarty dostęp Adjoint functor Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].