Przestrzeń lokalnie zwarta

Przestrzeń lokalnie zwarta – przestrzeń topologiczna, która lokalnie wygląda jak przestrzeń zwarta. Ściśle mówiąc, przestrzeń topologiczna $(X, τ)$ jest lokalnie zwarta jeśli każdy punkt $x \in X$ ma bazę otoczeń złożoną ze zbiorów warunkowo zwartych.

Przykłady

Następujące przestrzenie topologiczne są lokalnie zwarte:

Następujące przestrzenie nie są lokalnie zwarte:

przestrzeń liczb wymiernych $ℚ$ z topologią podprzestrzeni $ℝ,$
przestrzeń Baire’a $ℕ^{ℕ},$
przestrzeń liczb niewymiernych $ℝ ∖ ℚ$ z topologią podprzestrzeni $ℝ$ (będąca homeomorficzna z przestrzenią Baire’a),
przestrzeń ${(0, 0)} \cup {(x, y) \in ℝ^{2} : y > 0}$ (z topologią podprzestrzeni płaszczyzny).

X

jest przestrzenią lokalnie zwartą wtedy i tylko wtedy, gdy każdy punkt

x \in X

ma otoczenie zwarte.

Każda lokalnie zwarta przestrzeń Hausdorffa jest całkowicie regularna.
Całkowicie regularna przestrzeń $X$ jest lokalnie zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona otwartą podprzestrzenią swego uzwarcenia Čecha-Stone’a $β X .$
Każda lokalnie zwarta przestrzeń Hausdorffa jest zupełna w sensie Čecha.
Niezwarte, lokalnie zwarte przestrzenie Hausdorffa, to są dokładnie te przestrzenie których uzwarcenie jednopunktowe jest T₂.
Zarówno otwarte, jak i domknięte podprzestrzenie lokalnie zwartej przestrzeni Hausdorffa są lokalnie zwarte.
Jeśli $(X, τ)$ jest lokalnie zwartą przestrzenią T₂, $U \in τ$ oraz $Z \subseteq U$ jest zwarty, to istnieje zbiór otwarty $V \in τ$ taki, że $Z \subseteq V \subseteq c l (V) \subseteq U$ oraz $c l (V)$ jest zwarte.
Na lokalnie zwartej grupie topologicznej można określić miarę (lewostronnie) niezmienniczą na działanie grupowe i mierzącą wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez zbiory zwarte; jest to tzw. miara Haara.