Zbiór Cantora

Zbiór Cantora – podzbiór prostej rzeczywistej opisany w 1883 przez niemieckiego matematyka Georga Cantora. Zbiór ten odkrył w 1875 Henry John Stephen Smith.

Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.

Topologicznym zbiorem Cantora nazywa się każdą przestrzeń topologiczną homeomorficzną z trójkowym zbiorem Cantora (kostką Cantora wagi ${\mathrm{\aleph }}_0$).

Definicje

Podstawowa konstrukcja

Klasyczny zbiór Cantora (zwany także trójkowym zbiorem Cantora) to podzbiór przedziału domkniętego $C_0:=[0,1]$ liczb rzeczywistych wyznaczony przez następującą konstrukcję. Indukcyjnie wybieramy zstępujący ciąg zbiorów domkniętych $⟨C_0,C_1,C_2,\dots ⟩,$ takich że

$(\otimes {)}_n$   zbiór $C_n$ jest sumą $2^n$ rozłącznych odcinków domkniętych.

W kroku bazowym deklarujemy, że

zbiór $C_0$ to odcinek $[0,1]$

(oczywiście, zbiór ten spełnia warunek $(\otimes {)}_0$). Krok indukcyjny konstrukcji jest opisany w sposób następujący.

Przypuśćmy, że wyznaczyliśmy już zbiór $C_n$ tak, że jest sumą $2^n$ rozłącznych odcinków domkniętych (tzn. spełnia $(\otimes {)}_n$). Każdy z $2^n$ odcinków tworzących ten zbiór dzielimy na 3 rozłączne odcinki równej długości z których środkowy odcinek jest otwarty, a odcinki skrajne są domknięte. Wyrzucamy ze zbioru $C_n$ wszystkie środkowe odcinki otwarte kładąc $C_{n+1}=C_n\setminus (I_1\cup \dots \cup I_{2^n})$ (gdzie $I_1,\dots ,I_{2^n}$ to „środkowe” odcinki z podziałów wykonanych przed chwilą). Można sprawdzić, że zbiór $C_{n+1}$ jest sumą $2^{n+1}$ rozłącznych odcinków domkniętych (czyli warunek $(\otimes {)}_{n+1}$ jest spełniony).

Zbiory C₀, C₁, C₂, C₃, C₄, C₅ i C₆

Po zakończeniu procesu indukcyjnego, gdy ciąg $⟨C_0,C_1,C_2,\dots ⟩$ jest wyznaczony, definiujemy trójkowy zbiór Cantora jako część wspólną tego ciągu:

$C:=\bigcap _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_n.$

Alternatywna definicja

Trójkowy zbiór Cantora definiuje się także jako zbiór wszystkich liczb rzeczywistych mających postać:

$a=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_i}{3^i},$

gdzie $a_i\in \{0,2\}.$ Tak więc jest to zbiór tych liczb rzeczywistych z przedziału $[0,1],$ dla których istnieje rozwinięcie w układzie trójkowym, w którym nigdzie po przecinku nie występuje jedynka albo występuje jedna i jest ona równocześnie ostatnią cyfrą tego rozwinięcia (ściślej: ostatnią różną od zera).

Modyfikacje konstrukcji

Odpowiednik zbioru Cantora w 3 wymiarach (kostka Cantora dla ${\mathrm{\aleph }}_1$ - 5 stopni rekurencji) o wymiarze fraktalnym $\frac{\ln 8}{\ln 3}=1,892789260\dots$

W klasycznej konstrukcji zbioru Cantora (opisanej powyżej) wybiera się zbiory $C_n,$ tak że każdy z nich jest sumą $2^n$ rozłącznych odcinków domkniętych długości ${\left(\frac{1}{3}\right)}^n.$ Możemy zmodyfikować tę konstrukcję tak, że wybierając zbiory $C_{n+1}$ wyrzucamy środkowe części odcinków składających się na $C_n,$ ale długość wyrzuconych odcinków może być różna od 1/3 długości odcinków dzielonych.

Jedna z konstrukcji tego typu prowadzi do zbioru Smitha-Volterra-Cantora. Indukcyjnie wybieramy zstępujący ciąg zbiorów domkniętych $⟨D_0,D_1,D_2,\dots ⟩$ tak, że każdy zbiór $D_n$ jest sumą $2^n$ rozłącznych odcinków domkniętych. Proces indukcyjny zaczyna się od określenia

$D_0=[0,1].$

Następnie, przypuśćmy, że zbiór $D_n$ jest już wyznaczony i jest on sumą $2^n$ rozłącznych odcinków domkniętych, $D_n=I_1\cup \dots \cup I_{2^n}.$ W centrum każdego z odcinków $I_k$ wybieramy otwarty pododcinek $J_k$ długości $|J_k|=2^{-2(n+1)}.$ Kładziemy $D_{n+1}=D_n\setminus (J_1\cup \dots \cup J_{2^n}).$

Zbiory D₀, D₁, D₂, D₃, D₄, D₅

Zbiór Smitha-Volterra-Cantora jest zdefiniowany jako

$D:=\bigcap _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{D}_n.$

Podstawowe właściwości

Trójkowy zbiór Cantora $C:$

• ma moc continuum
• jest zwartym zbiorem doskonałym (tzn. nie ma punktów izolowanych),
• jest nigdziegęstym podzbiorem odcinka $[0,1],$
• jest zbiorem miary zero (w sensie Lebesgue’a),
• jako podprzestrzeń prostej ma bazę złożoną ze zbiorów $P_1,P_2,\dots$ domknięto-otwartych i takich, że $\lim \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}(P_n)=0.$ W szczególności jest on przestrzenią zerowymiarową. Jest on homeomorficzny z produktem przeliczalnie wielu kopii przestrzeni dyskretnych $\{0,1\}.$

Wymiar fraktalny klasycznego zbioru Cantora wynosi

$\frac{\ln 2}{\ln 3}=0,630929754\dots$

Nie wszystkie zbiory Cantora mają miarę Lebesgue’a zero – poprzez odpowiednie zmiany w konstrukcji (wyrzucanie odpowiednio mniejszych odcinków) możemy skonstruować zbiór Cantora, którego miara jest dowolną liczbą z przedziału $[0,1).$ Na przykład opisany wcześniej zbiór Smitha-Volterra-Cantora $D$ ma miarę 1/2 (i jest nigdziegęsty).

Konsekwencją istnienia nieprzeliczalnych zbiorów miary zero oraz tego, że miara Lebesgue’a jest zupełna jest fakt, iż σ-ciało zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a jest mocy $2^{𝔠}.$

Zbiór Cantora w szerszym sensie

Topologicznie zbiór Cantora to każda przestrzeń zwarta, metryzowalna, której składowe spójności składają się z jednego punktu i której każdy punkt jest punktem skupienia. Ważne jest twierdzenie, które mówi, że przestrzeń jest zwarta i metryzowalna wtedy i tylko wtedy, kiedy jest ciągłym obrazem zbioru Cantora.

Topologiczna charakteryzacja zbioru Cantora

Brouwer udowodnił, że zbiór Cantora jest jedyną z dokładnością do homeomorfizmu przestrzenią topologiczną, która jest doskonała, niepusta, zwarta, metryzowalna i zerowymiarowa.

Zobacz też

• dywan Sierpińskiego
• funkcja Cantora
• kostka Cantora
• kostka Mengera