Dywan Sierpińskiego

Dywan Sierpińskiego po 6 krokach

Dywan Sierpińskiego – fraktal otrzymany z kwadratu za pomocą podzielenia go na dziewięć (3×3) mniejszych kwadratów, usunięcia środkowego kwadratu i ponownego rekurencyjnego zastosowania tej samej procedury do każdego z pozostałych ośmiu kwadratów. Nazwa pochodzi od nazwiska Wacława Sierpińskiego.

Definicja formalna

Niech $D_0$ będzie kwadratem jednostkowym na płaszczyźnie kartezjańskiej ${ℝ}^2,$ czyli $D_0=\{(x,y)\in {ℝ}^2|x,y\in [0,1]\}.$ Dla danego $n\in \mathbb{N},$ mając zbiór $D_n,$ będący sumą $8^n$ kwadratów o bokach długości $\frac{1}{3^n}$ i rozłącznych wnętrzach, definiujemy zbiór $D_{n+1},$ będący sumą $8^{n+1}$ kwadratów o bokach długości $\frac{1}{3^{n+1}}$ i rozłącznych wnętrzach następująco: każdy z kwadratów, których sumą jest zbiór $D_n$ dzielimy na 9 kwadratów o bokach długości $\frac{1}{3^{n+1}}$ i rozłącznych wnętrzach i usuwamy ze zbioru $D_n$ wnętrza środkowych kwadratów. Dywan Sierpińskiego D jest częścią wspólną ciągu zbiorów $D_n:$

$D=\bigcap _{n\in \mathbb{N}}{D}_n.$

Alternatywna definicja

Dywan Sierpińskiego jest domknięciem zbioru punktów $(x,y)\in {ℝ}^2,0⩽x⩽1,0⩽y⩽1,$ takich że w rozwinięciu liczb $x$ i $y$ w trójkowym systemie liczbowym nigdzie nie występuje cyfra 1 na tym samym miejscu po przecinku.

Topologicznym dywanem Sierpińskiego nazywamy każdą przestrzeń topologiczną homeomorficzną z powyżej zdefiniowanym dywanem Sierpińskiego.

Własności dywanu Sierpińskiego

• Wymiar fraktalny dywanu Sierpińskiego wynosi $\log (8)/\log (3)\approx 1,8928.$
• Pole powierzchni dywanu Sierpińskiego jest zerowe.

Dowód: W kolejnych krokach konstrukcji fraktala usuwamy z każdego z kwadratów składowych środkowy kwadrat o polu 9 razy od niego mniejszym, pozostaje zaś z niego 8 kwadratów o łącznym polu równym $\frac{8}{9}$ jego pola. Niech $S_n$ oznacza pole zbioru $D_n.$ Mamy zatem:

$S_{n+1}=\frac{8}{9}{S}_n,n=0,1,2,\dots ;S_0=1,$

skąd:

$S_n={\left(\frac{8}{9}\right)}^n,n=0,1,2,\dots$

Zatem dla $n$ dostatecznie dużych $S_n$ jest dowolnie małe, co oznacza, że dywan Sierpińskiego zawarty jest w figurach o dowolnie małych polach powierzchni, musi zatem mieć zerowe pole powierzchni.

• Dywan Sierpińskiego jest przestrzenią uniwersalną dla krzywych płaskich, tzn. każde jednowymiarowe continuum na płaszczyźnie jest homeomorficzne z podzbiorem dywanu Sierpińskiego.

Zobacz też

• fraktal
• kostka Mengera
• krzywa
• trójkąt Sierpińskiego
• zbiór Cantora

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę